A MATH II PC

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Niveau: Supérieur

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A 2008 MATH. II PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2008MATH. IIPC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Stabilité d’un polynôme trigonométrique
Définition 1.On appelle polynôme trigonométrique toute fonctioncde la variable réellexde la forme X inx c(x) =cne n=−∞ où lescnsont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux. On appelle degré dec, notédegc, le plus petit entierKtel quecj= 0pour tout|j|> K. On désigne parEl’ensemble des polynômes trigonométriques; on tiendra pour acquis queEest unC-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions. Pour un nombre complexez,<(z)représente sa partie réelle et=(z)sa partie imaginaire.
I Stabilitéd’un polynôme trigonométrique 1. Montrerque l’on définit une norme surEen posant X kck=|cn| n=−∞ pour toutcE.
2. SoitcE, établir pour tout entierpde{−degc,∙ ∙ ∙,degc}, l’identité Z π 1 ipx cp=c(x)edx. 2ππ
3. Montrerque pour toutcE, on a sup|c(x)|6kck6(2 degc+ 1) sup|c(x)|. xRxR
Définition 2.On dira que le polynôme trigonométriquecest stable lorsque la suite k kckdes normes de ses puissances successives est bornée quandkdécritN.
4. Montrerque s’il existex0Rtel que|c(x0)|>1alorscn’est pas stable.
Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition|c(x)|61pour tout réelxn’est pas suffisante pour quecsoit stable. 2
II Unpolynôme trigonométrique particulier Dorénavant,αdésigne une constante réelle telle que0< α <1etadésigne le polynôme trigonométrique 2 2 a(x) =αcosxsinx+ 1α . Pour tout entierk>2, on noteak,nles nombres complexes tels que la puissancek-ième dea(x)s’écrive k X k inx a(x) =ak,ne . n=k
5. Établir,pour tout réelx, l’identité x 2 24 4 |a(x)|= 14(αα) sin2 En déduire queavérifie les propriétésa(0) = 1et|a(x)|<1pour toutx appartenant à]0, π].
6.Donner les développements limités à l’ordre4au voisinage de0des fonctionsget hdéfinies par  ! =(a(x)) 2 g(x) = ln(|a(x)|)eth(x) = arctan. <(a(x))
7. Endéduire que l’on a, au voisinage de0:, la relation suivante   3 24 αα αα 3 44 a(x) = expiα x+i xx+o(x). 6 8
Il existe donc trois réelsα,βetγstrictement positifs et une fonctionε: [π, π]C, tendant vers0quandxtend vers0tels que l’on ait, pour toutxdans un voisinage de0,   3 4 a(x) = expiαx+iβ xγx(1 +ε(x)).
1 On admet que la fonctionεest définie et de classeCsur[π, π]. Dans toute la suite, on posera    3 4 d(x) = expiαx+iβ xetb(x) = expγx(1 +ε(x)),
de sorte quea(x) =d(x)b(x)et|a(x)|=|b(x)|. 3
k III Majorationdes coefficients dea 2 Soit[r, s]un segment de longueur non nulle deR, soitfune fonction de classeC 0 surRà valeurs réelles. On suppose qu’il existeK >0tel que|f(t)|>Kpour tout 00 t[r, s]et que de plusf(t)>0pour toutt[r, s].
8. Montrerl’inégalité
Z 00 s f(t) 2 dt602 r(f(t))K
9. Enintégrant par parties l’intégrale Z s 1 0 f(t) cosf(t)dt, 0 rf(t) établir que Z s 4 cosf(t)dt6  rK
Dans les question 10 à 12,[u, v]désigne un segment de longueur non nulle deR 2 etfune fonction de classeCsur[u, v], à valeurs réelles. On suppose cette fois que 00 f(t)>M >0pour touttappartenant à[u, v]. 0 10. Onsuppose quef(u)>0. Établir, sur[u+ 2/ M, v], l’inégalité suivante 0 f(t)>2M .
11. Endéduire que
Z v 4 cosf(t)dt6√ ∙ M u
0 On admettra que le résultat est identique lorsquef(v)60.
0 0 12.On suppose quef(u)f(v)<0. Montrer qu’il existe un unique réelwde]u, v[tel 0 quef(w) = 0. En déduire que Z v 8 cosf(t)dt6√ ∙   M u
4
Dans les questions 13 et 14 ,ζdésigne un nombre réel,kun entier naturel non nul etJk,ζla fonction définie par Z x 3 Jk,ζ(xcos() =ζt+kβt)dt, 0 βest le nombre réel non nul défini après la question 7.
1/3 13. Montrer,pour toutxappartenant à[k ,π], l’inégalité : Z1/3 x 8k 3 cos(ζt+kβt)dt6√ ∙ 1/3 k6β
14.En déduire qu’il existe une constanteC1>0, indépendante deζetk, telle que pour toutxde[0, π]on ait la relation
1/3 |Jk,ζ(x)|6C1k .
On admet que l’on peut démontrer de la mme manière qu’il existe une constante C2, indépendante deketζ, telle que pour toutxde[0, π]:on ait la relation suivante Z x 31/3 sin(ζt+kβt)dt6C2k .(1)   0
15.Montrer qu’il existe une constanteλ >0telle que pour toutxde[π, π], on ait
4 |b(x)|6exp(λx).
16.Montrer qu’il existe une constanteC3>0telle que pour toutxde[π, π], on ait 03 |b(x)|6C3|x|.
17.À l’aide d’une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu’il existe une constanteC4indépendante denet dektelle que pour tout entier non nulket pour tout entier relatifn:, on ait l’inégalité Z π 0k1/3 J(x)(b(x))dx6C4k . k,αk+nπ
5
18.En déduire qu’il existe une constanteC5>0indépendante deketntelle que pour toutkNet pour toutn∈ {−k,∙ ∙ ∙, k},on ait l’inégalité
1/3 |ak,n|6C5k .
On admet dorénavant l’existence d’une constanteC6>0telle que, pour tout entierk non nul, Z π 2k1/4 |a(x)|dx>C6k . π
19. Montrerqu’il existeC7>0tel que, pour tout entierk,
k1/12 kak>C7k ,
c’est-à-dire quean’est pas stable!
Fin du problème
6
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