Cette publication est accessible gratuitement
Télécharger
A 2006MATH. IIPC
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PC.
L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
L’objectif de ce problme est de montrer la proprit suivante: soient deux familles de rels(ak, k= 1,∙ ∙ ∙, n)et(bk, k= 1,∙ ∙ ∙, n)satisfaisant
0< a1akanet0< b1bkbnpour toutk∈ {1,∙ ∙ ∙, n},
les ingalits suivantes sont vrifies: n n P P 2 2 a b k k2 (a b k=1k=1nbn+a1 1) .(1) 1 2n P4a1b1anbn akbk k=1 On dsignera dans tout le problme par: Mn, pl’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0n, p, la matrice nulle. Mn, l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0n, la matrice nulle. t Mla transpose d’une matriceM. Sn, le sous-ensemble deMn, constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. Inla matrice identit d’ordren. (X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeMn, pet tout couple de matrices colonnes(X,Y)X∈ Mn,1etY∈ Mp,1:, l’identit suivante est satisfaite
t (AX|Y) = (X|AY).
Definition 1Une matriceAest dite positive lorsque pour toutXdeMn,1, (AX|X)0. Une matriceAest dite dÉfinie positive lorsque pour toutX6= 0 deMn,1,(AX|X)>0.
2
I. PrÉliminaires
Dans cette partie,Aest un lment deSn.
1) MontrerqueAest positive si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes positives.
2) MontrerqueAest dfinie positive si et seulement siAest positive et inversible.
3) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.
2 4) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: Ker(AλIn) =Ker(CλIn).
5) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positive telle queC=Aet que dans toute base de vecteurs propres deA,Cest diagonale.
1/2 On notera dsormaisC=A.
6) OnsupposeAdfinie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice, 1/21/21/21 noteA, symtrique dfinie positive telle queA A=A.
1/211/2 7) Prouverque(A) =A.
8) SoitBune matrice symtrique positive qui commute avecA. Est-ce que 1/2 1/2 AetBcommutent ?
3
II. InÉgalitÉdeKantorovitch
Dans cette partie,Aest une matrice fixe deSn, dfinie positive. On range les valeurs propres deA, rptes suivant leur multiplicit, dans l’ordre croissant :0< λ1. . .λn. On notemetMdeux rels strictement positifs tels quemλ1etλnM.
9) Pourtout lmentX∈ Mn,1:, montrer l’ingalit suivante 21 (X|X)(AX|X)(A X|X).
(2)
10) Quellessont les matrices pour lesquelles cette ingalit est une galit pour toutXdeMn,1?
SoitFla fonction polynomiale qui À toutsdeIRassocie 2 F(s) =s(m+M).s+mM.
11) Quellessont, en fonction de celles deA, les valeurs propres de la ma-triceF(A)?
12) Montrerque toutes les valeurs propres deF(A)sont de mme signe. Prciser ce signe.
13) SoitNla matrice dfinie par   1 N=A(m+M) In+.mM A Montrer queNest symtrique positive.
Pour tout lmentX∈ Mn,1, on considre l’application polynomialef deIRdansIR:dfini par 21 f(s) = (AX|X).s(m+M)(X|X).s+ (A X|X)mM.
4
14) Calculerf(0)etf(1)et montrer quef(0)f(1)0.
15) tablirque pour toutX∈ Mn,1, l’ingalit suivante est satisfaite: 2 (m+M) 1 2 (AX|X)(A X|X)(X|X).(3) 4mM
2 16) SoitD={(m, M)IR/0< mλ1λnM}. tablir l’identit suivante : 2 2 (m+M) (λ1+λn) inf =. mM λ1λn D
17) Onsuppose queAn’est pas une homothtie. On considreX1(respecti-vementXn) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre λ1(respectivementλn). On poseX=X1+Xn. Calculer 1 (AX|X)(A X|X) . 2 (X|X)
18) Quepeut-on en dduire sur l’ingalit (3)?
III. InÉgalitÉdePlya-Szeg
On suppose dornavant queA1etA2sont deux matrices symtriques, dfinies positives qui commutent. On notemi(respectivementMi), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deAi, pouri= 1,2.On 1 poseD=A1A . 2
19) Dterminerun relαtel que pour tout lmentXdeMn,1, l’ingalit suivante soit satisfaite:
1 2 (DX|X)(D X|X)α(X|X).
5
1/2 1/2 20) Exprimer(D(A1A2)X|(A1A2)X)en fonction deA1X, pour tout X∈ Mn,1.
21) Montrerque pour toutX∈ Mn,1:, l’ingalit suivante est satisfaite
2 (A1X|A1X)(A2X|A2X)α(A1X|A2X).
22) tablirla relation (1).
FIN DU PROBLME
6