A MATH II PSI

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2009 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • filière tsi

  • convention h?1

  • inégalité de cauchy schwarz

  • disposition des concours

  • signature de la permutation ?

  • développement en série entière

  • entier naturel

  • supérieure de l'aéronautique et de l'espace


Publié le : mardi 29 mai 2012
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A 2009 MATH. II PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Aspects déterministes de l’étude des matrices aléatoires
Rappels
On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent den!quandntend vers l’infini n+1/2n n!2e .π n On rappelle aussi que le déterminant d’une matriceMde coefficient(mi, j; 16i, j6n) peut s’exprimer comme X detM=ε(σ)m1(1)m2(2). . . mn,σ(n), σSn Snest l’ensemble des permutations de{1,∙ ∙ ∙, n}etε(σ)est la signature de la permutationσ.
I
Polynômes d’Hermite
Pour tout entier naturelk,on définit la fonctionhkpar
hk:R−→R k (1) 2 2 x kx x7eD(e), k 2 2 2 kxt D(e)désigne la dérivéek-ième de la fonctiong(t) =eprise au pointt=x. 2 2 0xx (Par conventionD(e) =e.)
1)Calculerh0eth1et établir pour tout entiern, pour tout réelx, l’identité suivante :
0 (x)2xh 2hn+1n(x) +hn(x) = 0.
2) En déduire quehnest un polynôme de degrénet de coefficient dominant1.
On admet que pour tous les entiersmetn, Zn +2π n! 2 x hm(x)hn(x)edx= 0 −∞
2
sim=n sim6=n.
(1)
(2)
On notera dorénavant
n dn=π n! 2.
3) Montrer que pour tout réelx, l’identité suivante est satisfaite : n d 2 2 (xt)nx e= 2e hn(x). n dt t=0
4) Montrer que pour tout réelx, la fonctionfxde la variable réelletdéfinie par 2 (xt) fx(t) =e , admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de convergence, +k X2 t kx fx(t2) = hk(x)e . k! k=0
On considère la fonctionwdéfinie par w:R×R−→R 2 2xtt (x, t)7e . Il est évident (et admis dans la suite) quewsatisfait la propriété suivante : pour tout réelxet tout réelt, ∂w (x, t)(2x2t)w(x, t) = 0.(3) ∂t
5)Établir pour tout réelxet tout entier positifn,l’équation de récurrence suivante : 2hn+1(x)2xhn(x) +nhn1(x) = 0,(4) avec la conventionh1(x) = 0.
0 6) Montrer que pour tout entiern,l’identitéh=nhn1est satisfaite. n
On pose maintenant pour tout entierket pour tout réelx, 2 1 x φk(x) =e hk(x). 2 dk
3
Dans toute cette partie,mest un entier naturel fixé. Soientβetγdeux réels non nuls etrune fonction continue surR, on considère l’équation différentielle suivante : 002 ρ(x) +γ ρ(x) =r(x),pour tout réelx, (S(r, β, γ)) ρ(0) =β, 0 ρ(0) = 0.
10)Montrer que l’équation différentielle(S(r, β, γ))a une solution unique dont on donnera l’expression.
4
r n1 X n φn(x)φn1(y)φn1(x)φn(y) φk(x)φk(y) =2xy k=0
II
(xy)hk(x)hk(y)
8) Pour tout entierk,tout réelxet tout réely, exprimer
0 7) Calculerφn(0)etφ(0)pour tout entiern. n
9) Établir, pour des réelsxetydistincts, les identités suivantes :
Les égalités (2) impliquent que Z Z ++2 φm(x)dx= 1et queφm(x)φn(x)dx= 0,sim6=n. −∞ −∞
n1 X 1 1 (xy)hk(x)hk(y() = hn(x)hn1(y)hn(y)hn1(x)), dkdn1 k=0
Étude deφ2m
(5)
uniquement en fonction dehk+1(x), hk+1(y),hk(x),hk(y),hk1(x)ethk1(y).
(6)
Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l’admet dorénavant) que pour toutm,φ2mest solution de l’équation différentielle suivante : 002 ρ(x) + (4m+ 1)ρ(x) =x ρ(x),pour tout réelx, (S) ρ(0) =φ2m(0), 0 0 ρ(0) =φ(0). 2m
11) Montrer que pour tout réelx, Z x sin( 4m+ 1(xy)) 2 φ2m(x) =α2mcos( 4m+ 1x) +y φ2m(y)dy, 4m+ 1 0 avec pour tout entierm: q m (2m)! (1) α2m=1m 2m! π 4
12) Trouver un équivalent deα2mquandmtend vers l’infini.
13) Montrer que pour tout réelx, l’inégalité suivante est vérifiée : 5 Z x2 sin( 4m+ 1(xy)) 1|x| 2 y φ2m(y)dy6√ √   4m4+ 1 m+ 1 5 0 On pourra utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations(5).
14) Établir pour tout réelx >0, la limite suivante : x 1 m 4 lim (1)φπ m 2m() = cos(x). 2m m+
III
Intégrales de déterminants
(N) 2 Pour tout entierN, on noteKla fonction deRdansRdonnée par N1 X (N) K(x, y) =φk(x)φk(y), k=0
2 pour tout(x, y)R.
5
15) Montrer, pour toutxetydansR,les identités suivantes : Z +(N) (N) (N) K(x, z)K(z, y)dz=K(x, y), −∞ Z +(N) K(x, x)dx=N. −∞
Soitkun entier tel quek>2, etσune permutation de l’ensemble{1, . . . k}. Pour deux entiersietjde{1, . . . k}, on note(i, j)la transposition qui échangeietj. On fait la convention :(i, j)est égale à l’identité deSksii=j. On pose bσ= (k, σ(k))σ.
16)Montrer quebσdéfinit une permutation de{1, . . . , k}telle quebσ(k) =k. Calculer sa signature en fonction de celle deσ. (On distinguera le cas oùσ(k) =kdu cas σ(k)6=k.)
On noteσela restriction debσà{1,∙ ∙ ∙, k1}. On considère l’applicationθdéfinie par : θ:Sk−→Sk1 σ7σe. SoitσSk, on rappelle que   1 θ{θ(σ)}={τSk/ θ(τ) =θ(σ)}.
17) SoitσSk, établir les propriétés suivantes :   1 1 cardinalθ({θ(σ)}) = k1
siσ(k) =k, sinon.
k 18)Montrer pour tout(x1,∙ ∙ ∙, xk)R, pour tout entierN, les identités suivantes : k1 Y (N) N K(xi, x)siσ(k) =k, σe(i) Zki=1 +Y (N) K(xi, xσ(i))dxk= −∞ i=1k1 Y (N) K(xi, x)sinon. eσ(i) i=1
6
2 SiLest une fonction deRà valeur dansR,on note pour tout(x1,∙ ∙ ∙, xk)dans k R,   L(x1, x1)L(x1, x2). . . L(x1, xk) L(x2, x1)L(x2, x2) DetL(x1,∙ ∙ ∙, xk) = det. .. ...L(xk, x1). . . . . . L(xk, xk) 2k On notera que siLest continue surRalorsDetLest continue surR.
19)En utilisant l’expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, déduire, des questions précédentes, que pour tout entierk>1, Z +(N) (N) DetK(x1,∙ ∙ ∙, xk)dxk= (Nk+ 1) DetK(x1,∙ ∙ ∙, xk1), −∞ (N) avec par conventionDetK(x1,∙ ∙ ∙, xk) = 1sik= 0.
IV
Déterminants
et intégrales
(N)N Pour tout entierN>1,on noteΨla fonction deRdansRdéfinie par P NY 2 (N)x2 i=1i Ψ (x1, . . . , xN) =e(xixj). 16i<j6N
(N) k Pour16k6N, on noteΨla fonction deRdansRdéfinie par récurrence par k (N) (N) Ψ = Ψ, N et pourk < N Z +(N)1(N) Ψ (x1, . . . , xkΨ () = x1, . . . , xk, y)dy. k k+1 Nk−∞
20) SoientNréels,x1,∙ ∙ ∙, xN, montrer les deux égalités suivantes :   h0(x1)h1(x1)∙ ∙ ∙hN1(x1) 1x1∙ ∙ ∙  det = det . . .. . . . h0(xN)h1(xN)∙ ∙ ∙hN1(xN) 1xN∙ ∙ ∙
7
Y = (xixj). 16i<j6N
N1 x 1 .N1 x N
21)SoientNréels(x1,∙ ∙ ∙, xN), établir pour tout entier16k6N, l’identité suivante : 1(N) (N) Ψk(x1, . . . , xk) = DetK(x1,∙ ∙ ∙, xk). d0∙ ∙ ∙dN1 On commencera par le cask=N.
Fin du problème
k On déduit de tout ce qui précède, que pour tout entierk >0et tout(x1, . . . , xk)R, 1(N)x1xk k 2 lim (2N) Ψ (, . . . ,) = detS(x1,∙ ∙ ∙, xk), k d0∙ ∙ ∙dN12N2N N+
2 S:R−→R sin(xy) (x, y)7six6=y π(xy) 1 (x, x)7. π Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l’on choisit une matrice hermitienne de tailleN,« au hasard », la probabilité quekde ses valeurs propres soit dans un voisinage de(x1, . . . , xk)est proportionnelle àdetS(x1,∙ ∙ ∙, xk)pourNgrand. Ces considérations sont particulièrement d’actualité pour l’étude des systèmes radio à plusieurs antennes utilisés dans les « box ».
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