A MATH II PSI

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2008 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

  • filière tsi

  • somme de la série double ∑

  • disposition des concours

  • classe c∞ sur r2

  • solution du problème posé

  • série ∑

  • ∂u ∂y


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 20
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 6
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A 2008MATH. IIPSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Équation de la chaleur en dimension 2
Dans ce qui suit, on dira qu’une fonction de plusieurs variables est de classeCsi elle admet des dérivées partielles de tous ordres et si toutes ces dérivées partielles sont continues. Définition 1.Soit(an)nZune suite de réels positifs indexée parZ. La série de terme général(an, nZ)est convergente lorsque les séries ++X X anetan n=0n=1 sont convergentes. On a alors ++X XX an=an+an. nZn=0n=1 2 Définition 2.Soit(am,n)(m,n)Zune suite double (indexée parZ) de nombres com-2 plexes telle que la série X XX X (|am,n|() [respectivement|am,n|)] nZmZmZnZ converge. On admet alors que la série X XX X (|am,n|) [respectivement(|am,n|)] mZnZnZmZ P converge également. On dira alors que la série doublem,nZam,nest sommable. En outre, on a : X XX X (am,n) =(am,n). nZmZmZnZ P La valeur commune de ces deux nombres complexes sera notéem,nZam,net appelée P somme de la série doublem,nZam,n. 2 Pourufonction bornée deRdansC, on note kuk= sup|u(x, y)|. x, y 2 Soit(un(x, y), nZ)une suite de fonctions bornées deRdansC. Définition 3.La série de terme général(un(x, y), nZ)est dite normalement 2 convergente surRlorsque la série de terme général(kunk, nZ)est convergente. 2
On admet le théorème suivant : Théorème 1.Si 2 a) pourtout entier relatifn,unest continue surR, b) etla série de terme général(un(x, y), nZ)est normalement convergente alors la fonctionudéfinie par X u(x, y) =un(x, y) nZ 2 est continue surR.
I Sériede Fourier à deux variables 2 Dans les questions 1 à 9,uest une fonction de classeCsurR, à valeurs complexes et doublement2πpériodique, c’est-à-dire que pour tous les entiers relatifsk, let tout couple de réels(x, y),on a : u(x, y) =u(x+ 2kπ, y+ 2). On pose pour chaque couple d’entiers relatifs(m, n): Z Z 2π2π 1 imxiny am,n(u) =u(x, y)e edxdy.(1) 2 4π0 0
Pour tout entier relatifm, on introduit la fonctionumdéfinie pour tout réely, par Z 2π 1 imx um(y) =u(x, y)edx. 2π0
1.Montrer, pour tout entier relatifm,queumest2π-périodique, continue surRet que l’on a la relation suivante : Z 2π X 2 2 |um(y)|dy= 2π|am,n(u)|. 0 nZ
2. Pourtout réely, établir l’identité Z X 2π 1 2 2 |um(y)|=|u(x, y)|dx. 2π0 mZ
3
3. Prouverque la série double X X 2 |am,n(u)| mZnZ converge et établir l’identité Z Z X X 2π2π 1 2 2 |am,n(u)|=|u(x, y)|dxdy. 2 4π0 0 mZnZ
(2)
On suppose maintenant, que pour tous les entiers positifsketl, la suite double   k l |am,n(u)|(1 +|m|+) (1|n|) 2 (m,n)Z
est bornée.
4.Prouver que pour tout couple de réels(x, y),la série double suivante est sommable : X X imx+iny am,n(u)e . mZnZ
On pose alors
X X imx+iny v(x, y) =am,n(u)e . mZnZ
5. Prouverquevainsi définie est continue.
2 6.Démontrer quevest de classeCsurRet que pour tout couple(k, l)d’entiers naturels : k+l X X ∂ v k limx+iny (x, y) =(im) (in)am,n(u)e . k l ∂x ∂y mZnZ
7. Soitun réely. Montrer que pour tout entier relatifk, Z X 2π 1 ikx iny v(x, y)edx=ak,n(u)e . 2π0 nZ
8. Pourtout couple(k, l)d’entiers relatifs, calculerak, l(v).
9. Endéduire queu=v.
4
II Application 2 Soitu0(x, y)une fonction de classeCsurRà valeurs complexes et doublement 2πpériodique. On cherche à déterminer l’existence et l’unicité d’une fonctionu(t, x, y) 2 a) continuesur[0,+[×R, b) doublement2πpériodique en(x, y), ∞ ∗2 c) declasseCsurR×R + d)et dont toutes les dérivées partielles en(t, x, y)admettent un prolongement continu 2 à[0,+[×R, e) quisoit solution du problème suivant : 2 (x, y)R, u(0, x, y) =u0(x, y),et(3) 2 2 ∂u ∂u ∂u 2 (t, x, y)R×R,(t, x, y)(t, x, y)(t, x, y) = 0.(4) + 2 2 ∂t ∂x∂y
∂u0 10.Pour tout couple d’entiers relatifs(m, n), exprimeram,n( )en fonction de ∂x am,n(u0).
11. Démontrer,pour tous les entiers naturelsketl, que la suite double   k l |am,n(u0)|(1 +|m|+) (1|n|) 2 (m,n)Z est bornée.
12. Construireune fonctionuqui soit solution du problème posé. Indication : on pourra chercherusous la forme X X imx+iny u(t, x, y) =ϕm, n(t)αm, ne . mZnZ
Soitu(t, x, y)une solution du problème précédent. Pourtréel positif, on pose Z Z 2π2π 1 2 Eu(t) =|u(t, x, y)|dxdy 20 0   2 2 Z ZZ t2π2π ∂u ∂u   + (s, x, y() +s, x, y)dxdyds.  0 00∂x ∂y
5
+13.Montrer que la fonctionEuest continue surRet dérivable surR. Exprimer sa + 2 dérivée sous forme d’une intégrale sur[0,2π].
2 14. Pourtout(t, x, y)appartenant àR×R, établir l’identité suivante : +  ! ∂u ∂¯u ∂u¯∂uu u¯u¯∂u + ++ (t, x, y) ∂x ∂x∂y ∂y2∂t2∂t  ! !! 1∂ ∂¯∂ ∂u ∂u¯u ∂u =u+u¯ +u+u¯ (t, x, y). 2∂y ∂y∂x ∂y∂x ∂x
15. ProuverqueEu(t) =Eu(0)pour toutt>0.
16. Montrerque le problème posé possède au plus une solution.
Fin du problème
6
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