A Math PSI

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


A 2002 Math PSI 2 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI). CONCOURS D'ADMISSION 2002 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI. Cet énoncé comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Dans tout le problème, I est le segment 0,1, f est une fonction réelle définie et continue sur le segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment I, positive (pour tout réel x de I, px 0). L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, définies sur le segment I, deux fois continûment dérivables (de classe C2) des équations différentielles suivantes : E0 ux px ux 0, E ux px ux fx.

  • u1x

  • matrice carrée de mnr

  • approximation des solutions réelles

  • px ux

  • ux2 dx

  • solution de l'équation différentielle

  • supérieure de l'aéronautique et de l'espace

  • unicité de la solution


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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A 2002 Math PSI 2
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).
CONCOURS D’ADMISSION 2002
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI (Durée de lépreuve:3 heures) (Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Dans tout le problème,Iest le segment0, 1,fest une fonction réelle définie et continue sur le segmentI,pest une fonction définie et continue sur le segmentI, positive(pour tout réelxde I,px0). L’objet du problème est l’étude et l’approximation des solutions réelles, définies sur le 2 segmentIfois continûment dérivables (de classe, deuxC) des équations différentielles suivantes : E0u´´xpxux0,
Eu´´xpxuxfx. vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segmentI: Cu00,u10. 2 Une fonctionu, de classeC, définie sur le segmentIles conditions, vérifiantC, est dite solution du problèmeP0si elle est solution de l’équation différentielleE0, respectivement solution du problèmePsi elle est solution de l’équation différentielleE.
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Première partie Exemples, r�sultats g�n�raux. I-1.Exemples: D�terminer toutes les solutions de l'�quation diff�rentielleEv�rifiant les conditionsCdans les deux cas suivants : a. La fonctionpest nulle et la fonctionfconstante et �gale 1 : px0,fx1.
x b. La fonctionpest constante et �gale 1 ; la fonctionfest la fonctionxeest un r�el donn�: x px1,fxe.
I-2.Unicit�des solutions: a. Soituune fonction solution de l'�quationE0v�rifiant les conditionsC; d�montrer que cette solutionuv�rifie la relation : 1 2 2 uÂxpxuxdx0. 0 En d�duire que la seule solution du problmeP0est la solution nulle. b. D�montrer que, pour des fonctionspetfdonn�es, il existe, au plus, une solution du problmeP. I-3.Existence d'une solution: a. tant donn�es deux fonctionsu1etu2solutions de l' �quation diff�rentielleE0, soitgla fonction d�finie sur l' intervalleIpar la relation suivante : gxu10u2xu20u1x. D�montrer que, si la fonctiongau point 1s' annulleg10, la fonctiongest nulle sur l' intervalleI. En d�duire une condition n�cessaire et suffisante sur les deux solutionsu1etu2pour que la fonctiongannulle pas en 1ne s'g10. Soientu1etu2deux solutions de l' �quation diff�rentielleE0,v�quationune solution de l'E etetdeux scalaires. SoituetXla fonction et le vecteur d�finis par les relations suivantes : uxu1xu2xvx;X. b. D�montrer que, pour que la fonctionusoit solution du problmeP, il faut et il suffit que le vecteurXv�rifie la relation matricielle suivante : U.XB, Uest une matrice carr�e d'ordre 2 etBun vecteur qui seront pr�cis�s. c. D�montrer que le problmePadmet une solution unique.
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Deuxième partie Quelques propri�t�s de certaines matrices deMnR. nIl est admis que l'application de l' espaceRdansR: Xxi X sup |xi|, 1in i1,2,...,n est une norme. Il est admis que l'application de l' espace des matrices carr�es d' ordren, MnRdansR: ANAsupA.X, X1 n xdeRses coordonn�esest esxsont est une norme. Un vecteurXi1indit positif si touti positives ou nullesxi0�crit :. Cette propri�t�s' X0. Une matriceAadeMnRest dite positive si tous ses termesasont i ji j 1in, 1jn positifs ou nuls. Cette propri�t�s' �crit : A0. n tant donn�e la base canonique deR,e1,e2,,en, soitEle vecteur dont toutes les 1 1 coordonn�es sont �gales 1 :E. 1 II-1.Quelques propri�t�s matricielles: SoitAaune matrice carr�e deMnR: i j 1in, 1jn a aa 1 11 21n a aa 2 12 22n A.    a aa n1n2n n a. D�montrer que, pour que cette matriceAsoit positive, il faut et il suffit que le vecteur n image de tout vecteur de la base canonique deRsoit positif.
n b. tablir la propri�t�: pour tout vecteurXdeR,
A.XNAX.
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c. D�montrer, pour une matriceApositive, la relation : n NAsupai j.   1ji n1 Comparer les deux expressionsNAetA.E; en d�duire la norme de la matriceA. d. SoitAune matrice deMnRun vecteurposs�dant la propri�t�suivante : chaque fois qu'X n deRa une image positive (A.X0), le vecteurXest positif (X0). D�montrer que la matrice 1 Aest injective puis qu'elle est inversible et que son inverseAest une matrice positive.
II-2.Un exemple: SoientAetHles deux matrices carr�es d' ordrensuivantes : Les termes de la matriceAsitu�s sur la diagonale principale sont �gaux 2, ceux situ�s juste au dessus et juste au dessous 1, les autres sont nuls. La matriceHest diagonale et positive ; les termeshi, 1in, dela diagonale principale sont positifs ou nulshi0: 21 00h10 00 1 210 0h200 A01 20 ;H0 0h30 .          0 0 02 00 0hn
n a. SoitXun vecteur deRde coordonn�esxi,i1, 2,,n, telque le vecteurAH.X soit positif. D�montrer que le vecteurXun raisonnement par l' absurde, par exemple,aide d'est positif l' en compl�tant la suitexipar des termesx0etxn1nulsx0xn10en consid�rant, et 1in l' entierkpour lequel le r�elxkest �gal au plus petit des r�elsxi, 0in1 : xkminxi. 0in1
b. D�duire du r�sultat pr�c�dent que les deux matricesAHetAsont inversibles. 1 II-3.Norme de la matriceAH: SoitVetWles deux vecteurs d�finis par les relations suivantes : 11 VAHE,WA E. a. D�montrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurAWV. n b. Comparer les normes des deux vecteursVetW; en d�duire : pour tout vecteurXdeR, 1 AH.XW X.
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II.4.Une majoration de la norme du vecteurW: SoitSl' ensembledes suites r�elles infiniesxkv�rifiant, pourk0, la relation de k0 r�currence suivante : xk12xkxk11. SoitS0l' ensembledes suites r�ellesxkv�rifiant, pourk0, la relation de r�currence k0 suivante : xk12xkxk10.
a. D�terminer les suites qui appartiennent l'espaceS0.
b. D�terminer une suiteykespaceappartenant l'Squi soit un monome du deuxime k0 degr�:
2 yka k.
c. D�terminer les suites qui appartiennent l'espaceS; en particulier celles qui v�rifient les deux conditions suivantes : x00,xn10.
1 d. D�terminer les coordonn�es du vecteurWA E; en d�duire que la norme de ce vecteur v�rifie l'in�galit�suivante : 1 2 Wn1. 8
Troisième partie
Approximation de la solution du problmeP.
Dans toute la suite l' entiernest sup�rieur ou �gal 3n3. Soithettk,k0, 1, 2,, nr�els d�finis par les relations suivantes :1, les 1k h,tkh.k,k0, 1, 2,,n1. n1n1
III-1 Une approximation de la d�riv�e seconde: Soituune fonction quatre fois continûment d�rivable sur le segmentI. SoitMle maximum de la valeur absolue de la d�riv�e quatrime : 4Msup |ux|. xI Soienttethdes r�els tels que les r�elsthetthappartiennent au segmentI. D�montrer l' existenced' unefonctionRdes r�elstethqui v�rifient les relations suivantes : 4 2h uthuth2uth uÂtRt,h, |Rt,h|M. 12
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III-2.ProblèmePdiscr�tis�: a. D�montrer que, si les deux fonctionspetfsont deux fois continûment d�rivables, la solutionudu problmePest quatre fois continûment d�rivable. n SoientXetYles vecteurs deRetHla matrice diagonale deMnRd�finis par les relations suivantes : 2 2 ut1ft1h pt1h00 2 2 ut2ft2h0pt2h0 X,Y,H.     2 2 utnftnh0 0ptnh
b. D�terminer, en d�signant toujours parAla matrice d�finie la question II-2, un majorant de la norme du vecteurZAH.XY, au moyen des r�elsMeth. SoitXle vecteur d�fini par la relation suivante : 1 XAHY. c. D�montrer la majoration : 2 XXK h, oKest une constante ; en donner une valeur l'aide deM. Donner une signification du vecteurX. Pr�ciser comment ce vecteur se calcule. FIN DU PROBLÈME
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