Agregation de Mathematiques Universite de Nice Sophia Antipolis Cours et TD Annee Equations differentielles

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Agregation de Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Cours et TD, Annee 2006-2007 Equations differentielles. I. Definition d'une solution Soit ? un ouvert de R ? RN et f : ? ? RN . On s'interesse a l'equation differentielle y? = f(t, y), (t, y) ? ?, t ? R, y ? RN . (E) Definition 1, Solution : Une solution de (E) sur un intervalle I ? R est une fonction derivable y : I ? RN telle que (i) ?t ? I, (t, y(y)) ? ? et (ii) ?t ? I, y?(t) = f(t, y(t)). Lemme, Formulation integrale : Soit (t0, y0) ? ?. Une fonction y : I ? RN est une solution de (E) telle que y(t0) = y0 si et seulement si (i) y est continue, (ii) ?t ? I, (t, y(t)) ? ? et (iii) ?t ? I, y(t) = y0 + ∫ t t0 f(s, y(s)) ds. Definition 2, Prolongement : Soient y1 : I1 ? RN et y2 : I2 ? RN deux solutions de (E).

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Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 28
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 6
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Agr´egationdeMathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, Cours/TDetD´eveloppement,Anne´e20072008 Equationsdie´rentielles.
I.D´enitiondunesolution N N Soit Ω un ouvert deR×Retf: ΩRitnoqeaula´ss`eletielerendi´ntire´ens.O N y=f(t, y),(t, y)Ω, tR, yR.(E) De´nition1,Solution:Une solution de (E) sur un intervalleIRetsnufenotcoivari´endebl Ny:IRtelle que (i)tI, (t, y(y))Ω et (ii)tI,y(t) =f(t, y(t)). N Lemme,Formulationint´egrale:Soit (t0, y0)Ω. Unefonctiony:IRest une solution de (E) telle quey(t0) =y0si et seulement si (i)yest continue, (ii)tI, (t, y(t))Ω et (iii)tI, R t y(t) =y0+f(s, y(s))ds. t0 N N De´nition2,Prolongement:Soienty1:I1Rety2:I2Rdeux solutions de (E). Ondit quey2est un prolongement dey1siI1I2ety2|I1=y1. D´enition3,Solutionmaximale:On dit queyest une solution maximale si elle n’admet pas dautreprolongementquellemˆeme. Exercice 1(Exemples et contreexemples de solutions) 3/22/3 R´esoudrey= 2yety= 3ytnlnietvrlaelamenpr´ecisa.ecnetsixedlamix Exercice 2(Comparaison de solutions) ′ ′ Soientyetzd´er0[rubavissel, T] et telles quey(t) =f(t, y(t)) etz(t)< f(t, z(t)) pour tout t[0, T]. Onsuppose quez(0)< y(0). Montrer quepour toutt[0, T], on az(t)< y(t). Exercice3(Re´gularite´dessolutions) N kk+1 Montrer que sif: ΩRest de classeC, alors toute solution de (E) est de classeC. —————————————————— II.Lesthe´or`emesdexistence De´nition4,Localementlipschitzienparrapport`alasecondevariable:Soit Ω un ouvert de N N R×R.f: ΩRopparrapenneiztichpslintmelecaloi(eciailbevarcondlasert`aetsidet ˜ ˜˜ y) si(t, y˜)Ω, il existeC0= [tT, t+T]×B(y˜, r)Ω avecT, r>0 etk0 tels que (t, y1),(t, y2)C0,||f(t, y1)f(t, y2)|| ≤k||y1y2||. N N Th´eor`emedeCauchyLipschitz:Soit Ω un ouvert deR×Retf: ΩRcontinue (dans touteslesvariables)etlocalementlipschitzienneparrapport`alasecondevariable(iciy). Soit N (t0, y0)il existe une solution maximale et une seuleΩ. Alorsy:IRde (E) telle que y(t0) =y0plus, l’intervalle. DeIest ouvert. N N Th´eor`emedeCauchyP´eano:Soit Ω un ouvert deR×Retf: ΩRcontinue. Soit N (t0, y0)il existe une solution maximaleΩ. Alorsy:IRde (E) telle quey(t0) =y0. De plus, l’intervalleIest ouvert. Exercice 4[Cours, Dvlpt] (CauchyLipschitz dans la cas globalement lipschitzien) 1)Rappel:unth´eor`emedepointxe.Soit(E, dpscamee´rtqieuoclempSot.it)unef:E−→E telle qued(f(x), f(y))kd(x, y)x, yEu`o,k[0,1[ (fest contractante). a) Soientx0Eet (xn)nNieparlled´eniuet´reelsaxn+1=f(xn) ,nNque. Montrez n d(xn+1, xn)k d(x1, x0lasuequeduirnd´ee)et(etixn)nNest de Cauchy. b) Montrez qu’il existexEtel quex=f(x) et que ce point fixe est unique. c)Montrezquecesr´esultats(existenceetunicite´dupointxe)restentvraissilonremplacef Kcontractanteparlexistenceduneite´r´eefdef(avecKN) qui soit contractante. N 2)Applicationaux´equationsdie´rentielles.Onseplacedanslecasdef:R×RRune N application continue telle que||f(t, x)f(t, y)|| ≤k||xy||,x, yR, tRou`kR.
0N a) NotonsEl’espaceC([0, T],R) muni de la norme||y||E= sup||y(t)||Rque. Montrez N t[0,T] N lapplicationΦquia`toute´l´ementydeEassocie la fonction Φ(y) de [0, T] dansReinpera´d Z t Φ(y)(t) =y0+f(s, y(s))dsest une application continue deEem.uislˆemand 0 p t p pp b) Soienty, y˜Ee´tilage´lintrezemon.D´||Φ (y)(t)Φ (y˜)(t)|| ≤k||yy˜||E,t[0, T]. p! c)Ende´duirequeleprobl`eme(E) avec la conditiony(0) =y0admet une unique solution sur [0, T]. Exercice5[Cours,Dvlpt](CauchyLipschitzline´aire) Onvamontrerdanscetexerciceleth´eor`eme: The´ore`medeCauchyLipschitzline´aire:SoitIun intervalle deR,Eun Banach,AC(I, Lc(E)), BC(I, E(). Soitt0, y0)I×E. Alorsil existe une solution et une seuleY:IEde Y(t) =A(t)Y(t) +B(t) telle queY(t0) =y0. 1)Noterlesdie´rencesaveclecasnonlin´eaire. Z t 2)Montrerle´quivalenceaveclaformulationint´egraleY(t) =y0+A(s)Y(s) +B(s)ds. t0 Z t 3)Onde´nitsurIles fonctionsY0(t) =y0et pourn0,Yn+1(t) =y0+A(s)Yn(s)+B(s)ds. t0 a) SiIest un intervalle compact, montrer que l’on a une majoration du typekYn(t)Yn1(t)k ≤ n1n α|tt0| CEn.urncessietlxeiuer´ddeIdans ce cas. n! b) Passer au cas non compact. 4)Montrerlunicite´. Exercice6[Cours,Dvlpt](Cylindresdese´curit´eetCauchyLipschitzlocal) N N Soit Ω un ouvert deR×Retf: ΩRcontinue. De´nition5,Cylindredes´ecurit´e:On dit queC= [t0α, t0+α]×B(y0, r0)Ω, avec N α, r0>´eesricuept´r(ouse,0cnutnilyderdE) si toute solutiony:IRtelle quey(t0) =y0 (avecI[t0α, t0+α]) reste contenue dansB(y0, r0). 1) SoientT0, r0>que pour tout (0. Montrert0, y0)Ω et pour tout cylindreC0= [t0T0, t0+ T0]×B(y0, r0)derdnilycnuetsixle,iΩe´seiruce´tC= [t0α, t0+α]×B(y0, r0)C0. 2) On suppose quefestlocalemenavirnoedS.iobaelt(ihcspiltpenneiztorppraarecasalt`t0, y0)0 Ω. Obtenirα >0 etr0>0 afin que pour toutyE=C([t0α, t0+α], B(y0, r0)), Φ(y) de Z t n [t0α, t0+α] dansR´ed(Φrapeiny)(t) =y0+f(s, y(s))dsest dansE. 0 3)Sinspirerdelapreuvedelexercicepr´ece´dantpourconclure`alexistencedunesolutionsur [t0α, t0+α]. Exercice7[Cours](De´monstrationdeCauchyP´eanolocal) Onabesoinpourprouvercer´esultatdesdeuxe´nonce´ssuivants: Th´eor`emedeSchauder:Soit Φ :KKnuti`ueooncKcee´eedvenxotsemrefEpseueiqrte´meca complet avec Φ(K) relativement compact dansE. AlorsΦ admet au moins un point fixe dansK. The´ore`medAscoli:SoitL,ctpaomecqurietunespacem´Yeetuqirte´mecapsenuHun sous 0 ensembleborne´deC(L, Y). Onsuppose queHe´mrtnemutseofintinue,c´equiconriqeeuseta`d′ ′ ε >0,δ >0 tel qued(x, x)< δd(f(x), f(x))< ε. AlorsHest relativement compacte dans 0 C(L, Y). Onsupposequeleshypothe`sesdeCauchyP´eanosontv´eri´ees.IlexisteT >0 etr >0 tels que C0= [t0T, t0+T]×B(y0, r)Ω. Montrerqu’il existe 0< αTseoileuqntidne´rsut Z t 0 E=C([t0α, t0+α], B(y0, r)) l’application Φ(y) par Φ(y)(t) =y0+f(s, y(s))ds,alors Φ a 0
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