Agregation de Mathematiques Universite de Nice Sophia Antipolis Cours et TD Annee

Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
Agregation de Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, Cours et TD, Annee 2007-2008 Integrale a Parametre. Etude de ∫ b a f(t, x) dt dans le cadre de l'integrale de Riemann Soit U un ouvert de Rn, E un espace de Banach, a < b deux reels et f : [a, b]? U ? E. On s'interesse a la regularite de ? : U ? E definie par ?(x) = ∫ b a f(t, x) dt. Th. 1, Resultat de continuite : On suppose que f est continue sur [a, b]?U . Alors ? est continue sur U . Th. 2, Resultat de derivation : On suppose que n = 1, que f est continue et admet une derivee partielle par rapport a la seconde variable (ici x) telle que ∂xf soit continue sur [a, b]? U . Alors ? est de classe C1 sur U et ??(x) = ∫ b a ∂xf(t, x) dt pour tout x ? U . Exercice 1 [Cours, Dvlpt] (Continuite et derivation dans le cadre de Riemann) 1) On cherche a demontrer le Th. 1. a) Rappeler la definition de l'uniforme continuite d'une application g entre deux espaces metriques (F, d) et (G, ?).

  • resultat de continuite

  • cadre de l'integrale de riemann

  • theoreme

  • seconde variable

  • consequences du theoreme de convergence dominee

  • e?tx ? e?t

  • uniforme continuite de ∂xf

  • e?t2 dt


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 40
Tags :
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
Agr´egationdeMathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, CoursetTD,Ann´ee20082009 Inte´grale`aParame`tre.
Z b Etude def(t, x)dtdaeredldnalsceledeRiemint´egranna a n SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach,a < bxu´redeteelsf: [a, b]×UE. Z b Onsinte´resse`alare´gularit´edeΦ:UE(Φrdn´epaiex) =f(t, x)dt. a Th.1,R´esultatdecontinuit´e:On suppose quefest continue sur [a, b]×UΦ est continue. Alors surU. Th.2,R´esultatdede´rivation:On suppose quen= 1, quefee´vituned´erueetadmetsoctnnie partielleparrapport`alasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b]×U. Z b 1Alors Φ est de classeCsurU(et Φx) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Exercice1[Cours,Dvlpt](Continuit´eetde´rivationdanslecadredeRiemann) 1)Oncherche`ad´emontrerleTh.1. a)Rappelerlad´enitiondeluniformecontinuit´eduneapplicationgeertnsmcetr´euxdepaessueiq (F, d) et (G, δ). b) SoitxUetVun voisinage compact dexdansU. Conclureen majorantkΦ(x)Φ(y)kpour yassez proche dexdansV. 2)Oncherchea`d´emontrerleTh.2. a)Rappelerline´galite´desaccroissementsnispourg: [a, b]FavecFun e.v.n. b) SoitxUetα < βtels quex[α, β]U(staipr´`ee)sll.aEvcoriirrjeucenoitunuinofmr´eit dexfsur [a, b]×[α, β]. c) Ate´x[dansa, bd´e],oninΓtt(y) =f(t, y)y∂xf(t, x). Soitε >0. Montrerqu’il existeη >0 tel que si|xy| ≤η, alorskΓt(x)Γt(y)k ≤ε|xy|pour toutt[a, b]. Z b Φ(x+h)Φ(x) Ende´duireunemajorationdexf(t, x)dtpourhassez petit, et conclure.   ha Exercice2(Calculduneinte´grale) Z π/2 2 2 2 On poseG(x, yln() =xsinθ+ycosθ)pour>x, y0. π0 a)Calculerlesde´rive´espartiellesdeG. 1 b) Ayx,o´eosnpeF(x) =G(x, yque). MontrerFestCsur ]0,+[ et obtenir queF(x) = 2 ln(x+y) +Cpourx6=yavecCune constante.. c)End´eduirelavaleurdeG(x, y) pour tout>x, y0. Exercice 3(Un exemple classique) f(x)f(0) SoitfC(R,R).Odne´ntiG:]0,+[RparG(xsi) =x6= 0. x a) Quelle valeur fautil pourG(0) afin queGsoit continue sur [0,+[ ? b) ExprimerG`marerteocmmueenni´tgearled´ependantdupaxirduueeqetee´dnGestCsur (n) [0,+[. CalculerG(0). Exercice 4(Calcul de la Gaussienne) Z(t+1)x 2 2 1 e Soitg: [0,+[Ritnrpa´edg(x) =dt. 2 01 +t
Z x 2 1t a) Montrer quegestCreuncalcend´eduiteluedg(x) en fonction def(x) =e dt. 0 Z +2 t b)End´eduirelavaleurdee dt. 0 —————————————————— Z v(x) Etude def(t, x)dtsnelacrddeleitn´egraledeRiemannda u(x) SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach,a < beted´rxusleef: [a, b]×UE. Soit u, v:U]a, b[. Z v(x) Onsint´eresse`alare´gularite´deΦ:UEn´ed(rΦpaiex) =f(t, x)dt. u(x) Th.3,Re´sultatdede´rivation:On suppose quefrpaleeltsemetuetadinuecontraite´perevien´d rapport`alasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b]×U. Onsuppose de plus queuetvire´dtno.selbavs Z v(x) 1′ ′ Alors Φ est de classeCsurUet Φ (x) =f(v(x), x)v(x)f(u(x), x)u(x) +xf(t, x)dtpour u(x) toutxU. Exercice5[Cours](D´erivationavecbornesvariables) Z v 2 a)Oncherche`ad´emontrerleTh.3.SoitH:]a, b[×UEparneide´H(u, v, x) =f(t, x)dt. u 2 Etudierlesde´riv´eespartiellesdeHuireque.nE´ddeHtnerlbairuse]estdi´ea, b[×U. ′ ′ b) On poseθ(x) = (u(x), v(x), xfonction deΦ en). ExprimerdH,θetθet conclure. Z2 x 1 c)Exemple:Calculerlad´eriv´eedeF(x) =u(xt)dtavecude classeC. 0 Exercice 6(Exemple d’application) Z Z2 1x t1 1 Calculerdtcela, on posera. PourF(x) =dtd´oniveraser]0urqleu,1[ et on 0lntxlnt ´etudieralalimitedeF(x) en 1. —————————————————— Z b Etude def(t, x)dt´eiserelae´´nlagee´rgeinturunpo a n SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach, [a, b]]− ∞,+] etf: [a, b[×UE. (On peutfairedes´etudessemblablespourf:]a, b]×UEavec [a, b][−∞,+[ etf:]a, b[×UE avec [a, b]R.) Z b Onsinte´ressea`lare´gularit´edeΦ:UEd´enieparΦ(x) =f(t, x)dt. a Th.4,R´esultatdecontinuit´e(viaCVU):On suppose quefest continue sur [a, b[×Uet que pour R β tout compactKdeU,f(t, x)dtconverge vers Φ(xifunm´or)menestruKquandβb. a Alors Φ est continue surU. Th.4bis,Re´sultatdecontinuite´(viaDomination):On suppose quefest continue sur [a, b[×U R b et qu’il existe une fonction positivegtelle quegtnaire´onctveergvekf(t, x)k ≤g(t),(t, x)a [a, b[×U. AlorsΦestbiende´nieetestcontinuesurU. Th.5,Re´sultatdede´rivation(viaCVU):On suppose quen= 1, quefest continue et admet une de´rive´epartielleparrapport`alasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b[×U. R β O n suppose que pour toutxU, Φ(x) converge et que pour tout compactKdeU,axf(t, x)dt convergeuniform´ementsurKquandβb.
Z b 1Alors Φ est de classeCsurUet Φ(x) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Th.5bis,R´esultatdede´rivation(viaDomination):On suppose quen= 1, quefest continue etadmetuned´erive´epartielleparrapport`alasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b[×Usuppose que pour tout. OnxU, Φ(x) converge et qu’il existe une fonction positive R b gtelle quegtre´vnaiocegtevnrekxf(t, x)k ≤g(t),(t, x)[a, b[×U. a Z b 1Alors Φ est de classeCsurU(et Φx) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Remarque :On a rarement des majorations par une fonctiongvalables sur toutU. Commela continuite´etlade´rivationsontdesproprie´te´slocales,ilsutdavoircettemajorationlocalement pour conclure. Exercice7[Cours,Dvlpt](Continuite´etd´erivabilit´epourlesint´egralesg´en´eralise´es a`parame`tre) 1)Oncherche`ad´emontrerlesthe´ore`mes4et4bis. a)Montrerlethe´or`eme4. b)Onseplacemaintenantdansleshypoth`esesduth´eor`eme4bis.MontrerqueΦestbiende´nie surU. Z bn c) Pourbnbaveca < bn< b, montrer quef(t, x)dtstnerurofime´mgeunnvercoUvers a Z b f(t, x)dtet conclure. a 2)Montrerdemˆemelesth´eor`eme5et5bis. Exercice8(Calculduneint´egrale) Z +sin(tx) SoitF(x) =dt. 2 0t(1 +t) ′′ a) Montrer queF0]retsedxuisfoerd´abivsule,+[ et queF(x)F(x) est constante pour x >0. Z +cos(tx) b)Ende´duireF(x) etdt. 2 01 +t Exercice9(Calculduneinte´graleII) Z txt +ee Pourx >0, on poseG(x) =dt. 0t a) Montrer queGpuisquee´d,eintseneibGestd´eri0]avlbseru,+[. CalculerG(x). Z atbt +ee b)Ende´duirelavaleurdeG, puis celle deI(a, b) =dtpour>a, b0. 0t Remarque:lint´egraleI(a, b)dedialaimerpalermfore`eameledulenyoneeptuaussisecalculer` (voir Gourdon). Exercice10(Calculduneint´egraleIII) Z +2 tCalculerF(x) =ecos(tx)dt. (EtudierF.) 0 Exercice 11(Avec Cauchy uniforme) Z +2 +ixt Pourf: [1,+[Rno,etnassiorce´dopesF(x) =e f(t)dt. MontrerqueFest bien 1 de´nieetcontinuesur]0,+[. Exercice 12[Dvlpt] (Fonction Gamma) Z +t x1On pose Γ(x) =dte tietbeseΓ.qMuertronteeine´dnCsur ]0,+[. 0
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.