Agregation interne Universite de Orleans

Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
Agregation interne- Universite de Orleans - 2010/2011 Theme 4 Probabilites 1 Modelisation d'experiences aleatoires Exercice 1. Une urne contient 3 boules rouges, 4 vertes et 5 bleues. Une deuxieme en contient 5 rouges, 6 blanches et 7 bleues. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Quelle est la probabilite que les deux boules tirees soient de la meme couleur ? Exercice 2. Il y a 18 chevaux au depart d'une course. a- En supposant que certains chevaux peuvent ne pas terminer la course (abandon, chute), combien y-a-t-il de groupes de chevaux susceptibles de terminer la course ? On suppose qu'il n'y a ni chute ni abandon. b- Combien d'ordres d'arrivee differents y -a-t-il ? c- Combien y-a-t-il de tierces dans l'ordre ? d- Combien y-a-t-il de tierces dans le desordre(un tierce dans le desordre est ici un sous-ensemble de trois chevaux) ? Pour un tierce dans le desordre, combien y-a-t-il de tierces dans l'ordre ? Exercice 3. Vous jouez avec un de. Quelle est la probabilite d'obtenir un nombre pair ? Vous jouez avec deux des. Quelle est la probabilite d'obtenir au moins un 6 ? d'obtenir une somme paire ? Vous jouez avec trois des.

  • somme des resultats

  • loi de poisson de parametre ?

  • independantes

  • probabilite

  • variables aleatoires

  • meme loi

  • pile

  • agregation interne- universite de orleans

  • densite de probabilite


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 19
Source : univ-orleans.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
Agr´egationinterne-Universit´edeOrl´eans-2010/2011 The`me4 Probabilit´es
1Mode´lisationdexpe´riencesale´atoires Exercice 1.obluseornoitne3trteset5buges,4veuedee`ixeuelnU.sntieou5renmentcoes7tcnehb6aleg,ses.bleucenruenU Ontireunebouleauhasarddanschaqueurne.Quelleestlaprobabilite´quelesdeuxboulestir´eessoientdelamˆemecouleur?
Exercice 2. Ilya18chevauxaude´partdunecourse. a- En supposant que certains chevaux peuvent ne pas terminer la course (abandon, chute), combien y-a-t-il de groupes de chevaux susceptibles de terminer la course? On suppose qu’il n’y a ni chute ni abandon. b- Combien d’ordresardidee´virstnere´y-a-t-il? c- Combien y-a-t-il deesc´nsdaorledritre? d- Combien y-a-t-il denalse´dseicrtresorded´erose´delsnade´crs-ounsiuicsteedrntie(uedrtiocsneesbmelPourhevaux)? undelsose´´crenadetirerd, combien y-a-t-il derdrolsnetidaesc´er?
Exercice 3.e´Q.ucdneetseullVouszavejoueair?etbourinmonnperbprlaabobitild´e Vousjouezavecdeuxde´s.Quelleestlaprobabilite´dobteniraumoinsun6?dobtenirunesommepaire? Vousjouezavectroisde´s.Quelleestlaprobabilite´dobtenirun1,un2etun4?dobtenir(1,2,4) ? Exercice 4.(Formule du crible)Montrer que la relation Card(A1A2) = Card(A1) + Card(A2)Card(A1A2) se g´en´eralisedelamani`eresuivante:(Ai)1indetie´etantunesun,otse´nane´vneme   n n [ XX \ k+1 Card(Ai() =1) Card(Ai) i=1 k=1I∈Pk(n)iI o`uPk(n`aesspdetiar´d)lneigeslembseenkeel´eme´dstn{1, . . . , n}. Application:Unmonsieurdistraite´critna`setnere´isdrettlenrepevolsenemrleteefctesstinesdisonncr´eitseppnavaadtriov les adresses, qu’il inscrit ensuite au hasard sur les enveloppes. Quelle est le nombreanquupouretinatnadierssoisdpe´tseibil an aumoinsre¸coivelalettrequilui´etaitdestin´ee?Querepre´sentelaquantit´e;calculersalimitelorsquen+. n!
2D´ependanceetinde´pendance Exercice 5.ertuafneostntinoQ.eulleetsalrpobabilit´equelaexuedaylodstnafnesunlnt¸carngtusuneDanlleifami une fille? Dansunefamilleilyadeuxenfantsdontlecadetestungar¸con.Quelleestlaprobabilit´equelautreenfantsoitunelle?
Exercice 6.Une maladie affecte 0,05% de la population d’un pays. Un testTadieemallaavece´ipdtdeectttsremeerp abilite´suivante: i)Taect´eesparlama9lra%di5eedpsreosnnseeposttisioufp ii)Ttafiopru59d%seepestn´egpseealraalameidonrssnneaont´ec Quelleestlaprobabilite´quunindividuayantuntestpositifsoitaecte´parlamaladie?
Exercice 7.nlancedeOsont´inbrliet´e´e´diuqeofxunusisA=[vantssuimente`en´xveesuareseraitpesattluse´rreimerpel], B = [lceoser´ndulestetaaptsri] et C=[mmedesr´esultatsseptiaerosal] . Montrer queA, BetCainntsoadnepe´d`xuedstn deux mais pas dans leur ensemble.
3Variablesal´eatoiresr´eelles Exercice 8.SoitXlancatduund´erdnaltestnustlree´v.larea.´epr.e 1 2 De´terminerlaloideZ= etY= (X3) . X Exercice 9.Une urne contientNboules noires etBboules blanches. On extrait successivementnboules de cette urne et l’on noteSnle nombre de boules noires obtenues. Quelle est la loi deXlaregasises?nose´prenaecs?avariance?(onenv tirages avec remise puis sans remise) Exercice 10.Dans un jeu de pile ou face on noteTdiolalrennoD.elitpentiobonl`utotsnarenierimlpeeTp´erance,sones et sa variance. Exercice 11.etiu(ere`senucoOnidnsXn)n1iloesetnadnemeˆmedtoire´eat´epesindveradselaailb n1P[Xn=1] =P[Xn= +1] = 0,5. On poseSn=X1+∙ ∙ ∙+Xn. Donner la loi de (Sn)n1(on pourra remarquer que les variables (1+Xn)/2 sont de Bernoulli).
Exercice 12. ` c 1. Soitf(x) =21[0,+[(x). A quelle conditionfest-ellee´edrpboaledsntie´tilibaravenud´ealleiareoiatX? Calculer (1+x) safonctionder´epartitionetende´duireP(1X2). c 2.Mˆemesquestionspourg(x) =p1[1,+[(x) avecp >1. x
c Exercice 13.SoitXopteedrutisnale´ncfoontilav.a.quiadmf(x) =2. (1+x) 1.De´terminerc.Xre´pseen?ecnaadmlleuet-e 2 2. CalculerP(XX >0). 2 3.D´eterminerladensite´deX.
Exercice 14.SoitXneue´laiotairavelbaansursdvalere`aNde´eeti´prroltpadenaso´septrtpeeriome´medesuivante : n, m1P[X > n+m/X > n] =P[X > m]. Montrer queXloig´eom´etrique.siuuten + Montrer maintenant que siXadsnuesralavt`esRroprelap´ei´etrei´vP[X > s+t/X > s] =P[X > t] pour touss, t>0, alors elle suit une loi exponentielle. 1−|x| Exercice 15.SoitXisneded.r.a.venut´ef(x) :=esurR(loi de Laplace). 2 1. Montrerquefienuestbnsitnedeborpede´e´tilibarsuRpse´arcneestvaraiance.doetnesoernn 2 2.Quelleestlaprobabilite´pourquel´equationa+Xa`edeposs+1: (a)deuxracinesr´eellesdistinctes? (b) uneracine double? (c)deuxracinescomplexesnonr´eelles?
1 Exercice 16.SoitX`eamarepetreVdeinouRl.eAd..dnossioPλ >deance.Q0eetseull´prelseY= ? 1+X
Exercice 17.SoientXetYerte`marapedilulnoereBtdenemivdevauxabrisaleendantes,respect´laeotriseni´dpep]0,1[ et dePoissondeparame`treλ >0. On noteZ=XY. 1.Calculerlespe´ranceetlavariancedeZ. 2.Retouverlesr´esultatsdelaquestionpr´ec´edenteavecunminimumdecalcul.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.