Agregation septembre

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Agregation, septembre 2006 Soit A un anneau commutatif unitaire, on se propose de donner quelques premiers exercices sur la A algebre A[X] des polynomes a une indeterminee. Quelques references : - [Gour] Les maths en tete, Algebre, X. Gourdon, Ellipse - [Dema] Cours d'Algebre, Michel Demazure, Cassini - [Bri-Mai] Elements d'algebre commutative, J. Brianc¸on, Ph. Maisonobe, Ellipse - [Per] Cours d'algebre commutative, Daniel Perrin , Ellipse - [Be-Ma-Pe] Objectif agregation, V. Beck, J. Malick, A. Peyre, H K -[Fr-Gi-Ni-1] Exercice de mathematiques , oraux x-ens, algebre 1 Il faut savoir ce qu'on entends par sructure de A-algebre de A[X]. Le degre d'un polynome est une definition incourtounable. Par convention, on pose deg(0) = ?∞. L'algorithme de division est l'outil de base de l'etude des polynomes. Exercice 1 – Si A est integre, montrer que pour tout P1, P2 ? A[X] : deg(P1P2) = deg(P1) + deg(P2) . Montrer : A integre ?? A[X] integre. Rappelons l'ennonce du lemme de division : Lemme 1.1 (algorithme de division) Soit P ? A[X] un polynome dont le coefficient du monome de plus haut degre, note ct(P ), est inversible.

  • ennonce du lemme de division

  • polynome

  • polynomes egaux

  • algorithme de division

  • propriete du lemme d'euclide et du theoreme de gauss

  • deduire sur le cercle unite de r2

  • couples de polynomes definies


Publié le : vendredi 1 septembre 2006
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Agr´egation,septembre2006
SoitAun anneau commutatif unitaire, on se propose de donner quelques premiers exercices sur laAerbeg`alA[Xenni´dteoˆem`sua.ermin´ee]nylopsed
Quelquesre´fe´rences:
-[Gour]Lesmathsenteˆte,Alge`bre,X.Gourdon,Ellipse -[Dema]CoursdAlg`ebre,MichelDemazure,Cassini ´ -[Bri-Mai]Ele´mentsdalg`ebrecommutative,J.Brian¸con,Ph.Maisonobe, Ellipse -[Per]Coursdalg`ebrecommutative,DanielPerrin,Ellipse -[Be-Ma-Pe]Objectifagr´egation,V.Beck,J.Malick,A.Peyre´,HK -[Fr-Gi-Ni-1]Exercicedemathe´matiques,orauxx-ens,alg`ebre1
Il faut savoir ce qu’on entends par sructure deA-edreebg`alA[X]. Le degre´dunpolynˆomeestuned´enitionincourtounable.Parconvention,on pose deg(0) =−∞desabedlituoltsesedudet´elglroL.aioneivisededithm polynˆomes.
Exercice 1SiAopeuotrutnomqrernt`egre,utestiP1, P2A[X] : deg(P1P2) = deg(P1) + deg(P2). Montrer :Aegreint´⇐⇒A[Xer.´tge]in Rappelonsl´ennonce´dulemmededivision: Lemme 1.1(algorithme de division) SoitPA[X]lentdoemoˆnylopnu coecientdumonoˆmedeplushautdegr´e,not´ect(P), est inversible. Alors, pour toutVA[X], il existe un couple unique(Q, R)deA[X]tel que : V=QP+Rdeg(R)<deg(P). Exercice 2mederithalgonsl.isnoidivonMticiade´rertnul Puis´etudierlasuite(Qi, Riylˆnmose´deinsepar:opedselpuoced) Q0= 0, R0=V ,
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pouriN, si deg(Ri)deg(P) : ( 1 deg(Ri)deg(P) Qi+1=Qi+ct(P)ct(Ri)X , 1 deg(Ri)deg(P) Ri+1=Rict(P)ct(Ri)X P; et pouriN, si deg(Ri)<deg(P) : ( Qi+1=Qi, Ri+1=Ri. ´ Etudiercettesuiteetd´emontrerlelemmededivision. 3 Exercice 3Diviser dansQ[Xˆnylope]lemoX+ 3X+ 1par 2X+ 1. Pouvait-onpre´voirquelescoecientsduquotientetdurestesontdesfrac-tionsrationnellesdontled´enominateurestunepuisancede2? Exercice 4On supposeAeinveentslesdrsibssleltnoe´seme´lntigr`eQue. A[X?]oDnuopnnre´rgededesnad1eeiomnˆlyblsiernvZ/4Z[X].
Exercice 5Montrer :Kest un corps⇐⇒K[X] est principal. (Danslesensdroitegauche,onpourra´etudierpouraK− {0}e´dil,al (X, a) de K[X]).
n n1 SoitP=a0X+a1X+∙ ∙ ∙+anA[X]u`oAest un sous-anneau d’un n n1 anneau commutatifB. On noteP(b) =a0b+a1b+∙ ∙ ∙+anet on dit quebest une racine dePdansBsiP(b) = 0. On rappelle que l’application APB ,7→P(b; on note) est alors un morphisme d’anneauA[b] le sous-anneau deBimage de ce morphisme.
Exercice 6SoitPA[X] etaA. Montreraest racine dePsi et seulement siPest divisible parXa. Soita1, . . . , apdsee´´lmetsenstdictinesdA. Montrer que siAros,elae`rgistetn a1, . . . , apracines dePa`tuaviuqe´Pest divisible par (Xa1)∙ ∙ ∙(Xap). Monter que siAestint`demeloptoˆnyergeuot,A[X] a moins de racines dans Atre-nconple`exemetsacateoisnestriesque´rgednourennoD.An’est pas suppose´inte`gre.
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Exercice 7(fonction polynomiale) SoitPA[Xalere`di-cnof.]nOocsn tionpolynomialeassocie´e`aP:ntsa`c,elapdireatioplic AA ,a7→P(a). Montrer que siA`tgeeredacdrnilainni,lafonctionopylonimlaaesscoi´eeinst `aunpolynˆomeestnulsietseulementsicepolynˆomeestnul.Donnerun contre-exemple`acetteassertionsiAalinni.decardinastpesn´eosppsu Exercice 8l´´eenemuerquttooMtneredtZ[iiqueonunfa¸crce´edtis]a+ib 2 avecaetbZ. Montrer que l’anneau quotientZ[X]/(X+ 1)est naturelle-mentisomorphe`aZ[i]. √ √ Montrerquetoute´l´ementdeZueiq[2]sedtirce´nunoc¸afa+b2 aveca 2 etbZ. Montrer que l’anneau quotientZ[X]/(X2) est naturellement isomorphe`aZ[ 2]. SoitPA[X]. On dit queaAe´ticilpitlmudeneciranetueslN l l+1 dePsi (Xa) divisePmais pas (Xaca.ninU)reluitdemeit´eplic1 n estappele´racinesimple.SiP=a0X+∙ ∙ ∙+annopaeplldee´ir´veede,Pet 0 0n1 on notePlopeoˆnyemlP=na0X+∙ ∙ ∙+a1. SiP, QA[X], on peut 0 00 00 0 v´erierque(P+Q) =P+Qet (P Q) =P Q+P Q. Exercice 9SoitPA[X] etaA. Montrer queaest une racine simple 0 dePsi et seulement siP(a) = 0 etP(a)6= 0. SoitKorncuracadepsirtstce´,0qieuPK[X] etaKrertalemon.D´ formuledeTaylor.Donneruncrite`reportantsurlesd´eriv´eessuccesivesde Ppour queailpitlumedtiosecit´l.
Exercice 10ceotneiomnˆace`uttolypoqteusinatulinE admet une racine (autrement dit queCiruqmeneetsla´gbetclos), touslespolynoˆmesirr´eductiblesdeC[Xreim´Dte.]stelensuinere irre´ductiblesdeR[X].
dansC[X] d´eterminer polynoˆmes
17 Exercice 11Montrer queXibctdalens2seitrre´udQ[X] etZ[X]. De´terminerlespolynˆomesirre´ductiblesdeZ/2Z[Xdede]f´in´egruorueirelage´ a`3.
Exercice 12hapitre5ercice6cN--i]1xe,eF[-riGouLillviˆeordeme´ht() Trouver deux fractions rationnellesAetBssdaneitneoc`caQnon constantes 3
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