Algebre L examen Decembre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Algebre L 1, examen Decembre 2008 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1 – On considere le systeme de 3 equations a 4 inconnues : (?) ? ?? ?? x1 + x2 ? x3 ? x4 = 0 (E1) 2x1 ? x2 + 2x3 ? x4 = 0 (E2) x1 + x2 + x3 ? 2x4 = 0 (E3) . 1) Les variables x1, x2, x3, x4 sont ordonnees naturellement. Trianguler ce systeme d'equations a l'aide de l'algorithme de Gauss. Quelles sont les variables libres de ce systeme ? 2) Soit D le sous-espace vectoriel de R4 constitue par les solutions du systeme (?). Resoudre le systeme (?) et donner une base de D. Verifier les calculs. Soit v1 = (1,?1, 1,?1), v2 = (1, 0,?1, 0), v3 = (3,?1,?1,?1), v4 = (1,?1, 2,?2). On designe par H le sous-espace vectoriel < v1, v2, v3, v4 > de R4 engendre par v1, v2, v3, v4. 3) A l'aide d'un algorithme du cours, donner une base de H echelonnee par rapport a la base canonique B4 de R4.

  • ?2 ?3

  • dim ker

  • x3 ?

  • dim im

  • x1


Publié le : lundi 1 décembre 2008
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Alg`ebreL1,examenD´ecembre2008 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1Ondie`ocsnystserel3´deme`eontiuaeqocni4a`s:seunn x= 0(E) 1+x2x3x4 1 () 2x1x2+ 2x3x4(= 0E2) x1+x2+x32x4= 0(E3). 1) Les variablesx1, x2, x3, x4sn`estdmequ´eioatdonnntorsonemellerutansee´syceerulngiaTrt. a`laidedelalgorithmedeGauss.Quellessontlesvariableslibresdecesyste`me? 4 2) SoitDle sous-espace vectoriel deR`est(mensiosydusseltulo´utirapenotscrde.)´Rseuo lesyst`eme() et donner une base deDs.ullccaesrleire´V. Soitv1= (1,1,1,1), v2= (1,0,1,0), v3= (3,1,1,1), v4= (1,1,2,neigesd´.)nO2 4 parHle sous-espace vectoriel< v1, v2, v3, v4>deRegnnerde´aprv1, v2, v3, v4.
3) A l’aide d’un algorithme du cours, donner une base deHtropparrapee´nnochel´esebala`a 4 canoniqueB4deR.
4)D´etermineralors,ensuivantlalgorithmeducours,unsyst`emed´equationsdontHest l’en-sembledessolutions.Ve´rierlescalculs.
Exercice 2tionlin´eaire:`dislereppaacilOonnc 3 3 f:R−→R: (x1, x2, x3)7(y1, y2, y3) = (x2x3,3x12x23x3,3x1+ 3x2+ 4x3). 3 Soite1= (1,0,0), e2= (0,1,0), e3= (0,0,1) les trois vecteurs de la base canoniqueB3deR.
2 2 1)Pr´eciserlamatriceAdefdans la baseB3. Calculer la matriceAice´resrP.f.
2) On poseu1= (1,1,0), u2= (0,1,1), u3= (1,3,3). Montrer que (u1, u2, u3) est une 303 famille libre deRqerieu.End´eduB= (u1, u2, u3) est une base deR.
0 3) Calculerf(u1), f(u2), f(u3eriude´dcirtamale).EnBdefdans la baseB.
4) Donner l’expression des vecteursu1, u2, u3surteecsvdeesirsnil´naebmniiaoscommecoe1, e2, e3. Montrer ensuite quee1=u33u2erldeiune´dterpxeisseednoe2ete3comme combinaisons line´airesdesvecteursu1, u2, u3.
0 0 5 bonus) Quelle est la matriceP=M(IdR,B3,B´eo`ntituiedd)leBteparsdteld´abasee 3 0 etB3amaltlesleelQue?ecirtavie´arrsadelbaQ=M(IdR,B,B3identit)dele´`ouB3est la 3 0 baseded´epartetBable´vi?edesarra
Exercice 3Soite1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e4= (0,0,0,1) les quatre 4 44 vecteurs deB4la base canonique deRaOtnic.nliol´eiredpnlsacpoe´nieriafdeRversR dont la matrice dans la baseB4est :   1 1 1 1 2 2 2 2 A= . 1 1 1 12 2 2 2
1)D´eterminerf(e1), f(e2), f(e3), f(e4nE.)de´deriubenuedasmeIfl’image def.
4 2) Soit (x1, x2, x3, x4)R, posons (y1, y2, y3, y4) =f(x1, x2, x3, x4relcesiseisxerponder´.P) (y1, y2, y3, y4ede(aid)`alx1, x2, x3, x4).
3) Quelle est la dimension de kerfle noyau def?noktreuqtaoidnnerune´eD´etermifest lensembledessolutions.Ende´duireunebasedekerf.
4 4) Les espaces kerfet Imfsp-eussoctveesace´xuedtnatroeisledR, montrer que leur intersec-tionestre´duiteauvecteurnul.Ende´duirequekerfet Imfsont deux sous-espaces vectoriels supple´mentaires. 5 bonus) Montrer quef(1,2,1,2) = 6(1,2,1,2). Montrer que (1/6)fest la projection par rapporta`Imfne`tlemekarel´alrrpaf. Solutions : Exercice1:1)Les´equationsE1, E2, E3drer.1aLedxu`imee´etapedelalgortimheets:onsotd x+xxx= 0(E 1 2 3 41) ()3x2+ 4x3+x4(= 0E22E1) 2x3x4(= 0E3E1). Cesyst`emeesttriangul´e:v(E1)< v(E22E1)< v(E3E1). Il admetx4comme seule variable libre. 2)Re´solvonscesyst`emeenremontantlese´quations.Onde´duitdeladernie`ree´quation: 1 x3=x4. 2 Remplac¸onsx3ioatonn,tiobt:enndaadlsixueeme`uqe´3x2+ 3x4= 0. Soit,x2=x4. Rem-1 pla¸consx3etx2tbeio,ontn:e´eri`emontiuaeqrpalsnadx1=x4. Ainsi,Dest l’ensemble : 2 1 11 1 D={(x4, x4, x4, x4) tels quex4R}={x4(,1, ,1) tels quex4R}. 2 22 2
2
1 1 4 Ainsi,Dest un sous-espace vectoriel deRde base (,1, ,1). 2 2 3)Commen¸conslalgorithme:   1 1 3 1 1 011 M(v1, v2, v3, v4) = . 111 21 012 Les vecteursv1, v2, v3, v4sont d’ordre 1. Utilisonsv1pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   1 0 0 0 2 01 1 0 00 M(v ,v=vv ,v=v3v) = . 1 22 13 3v1, v4=v4 1 124 121 11 0 0 00 0 00 On av ,v ,v >< v ,=< ,v 1 2 3 4v1, v3 4>. 2, vDe plus,v(v1)< v(v) =v(v)< v(v) Utilisonsv 2 3 42 pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   1 00 0 0 00 01 1 0 0 M(v1, v, v2v ,v) = . 2 32 4 112 01 1 01 0 0 On a>, v, v< v, v=>< v. Les vecteursvv ,v ,solehce´tnI.se´nnoenrmfolseasabtl 1 2 3 41, v2, v4 12 4 cherch´eede< v1, v2, v3, v4>. 4 4) Soitx= (x1, x2, x3, x4)Requationt`emed´dseurensysnuoP.nodr< v1, v2, v3, v4>, conside´ronslamatrice:   1 0 0x1 01 10x2 0 M(v1, v, v, x) =. 2 4 12 1x3   1 11x4 Utilisonsv1pouremorfaire`eniere:nnlocorolretndalederd   1 0 00 0 01 10x2+x1 , v, xx. M(v1, v2 41v1) =12 1x3x1   1 11x4+x1 0 Utilisonsvodretlrmenoafripour:ennoloeceri`rndeladere 2   1 0 00 1 10 0 0 0 , xx M(v1, v, v4 1v1(x2+x1)v2) =2 12 1 (x3x1) + 2(x1+x2)   1 11 (x4+x1)(x1+x2)   1 0 00 0 01 1 =. 12 1x3+x1+ 2x2   1 11x4+x2 3
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