Algebre L partiel duree 1h30 Novembre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Algebre L 1, partiel , duree 1h30, Novembre 2011 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1 – 1) Quel est le module et l'argument du nombre complexe : √ 2 2 + i √ 2 2 ? 2) Determiner algebriquement les nombres complexes ? tels que : ?2 = √ 2 2 + i √ 2 2 . 3) En deduire la valeur du complexe eipi/8. 4) Determiner les nombres complexes z tels que : z2 ? 2z + 1? √ 2 8 ? i √ 2 8 = 0 . Exercice 2 – 1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser son inverse : A = ( 1 2 3 4 ) 2) Puis, donner une expression de A?1 et de A comme produit de matrices elementaires. Exercice 3 – On considere le systeme d'equations lineaires a coefficients reels : (E) ? ?? ?? x1 + 4x2 ? 3x4 = 0 (E1) 2x1 + 4x2 ? x3 ? 3x4 = 0 (E2) 3x1 + 4x2 ? 2x3 ? 3x4 = 0 (E3) . On note P le sous-espace vectoriel de R4 constitue des solutions de (E).

  • equation ? ?

  • produit de matrices elementaires

  • premiere equation

  • systeme d'equations lineaires

  • unique solution


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Source : math.unice.fr
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Alg`ebreL1,partiel,dur´ee1h30,Novembre2011 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1√ √ 2 2 1) Quel est le module et l’argument du nombre complexe :+i? 2 2 √ √ 2 2 2 2)D´etermineralge´briquementlesnombrescomplexesδtels que :δ= +i . 2 2 iπ/8 3)End´eduirelavaleurducomplexee. 4)D´eterminerlesnombrescomplexesztels que: √ √ 2 2 2 z2z+ 1− −i= 0. 8 8 Exercice 21)Enutilisantlalgorithmeducours,montrerquelamatricesuivanteestinversibleetpre´ciser son inverse : ! 1 2 A= 3 4 1 2) Puis, donner une expression deAet deAesictrmadeitduropemmocse.atrimenee´´l Exercice 3acs`reaintiecoe:slee´rseonlseisd`Oenrcemedyst`auit´qenie´nols x1+ 4x23x4(= 0E1) (E) 2x1+ 4x2x33x4= 0(E2) 3x1+ 4x22x33x4= 0(E3). 4 On notePle sous-espace vectoriel deRnoitulossede´utionstce(sdE).
1)Donnerenutilisantavecpr´ecisionlalgorithmedetriangulationducoursunsyst`emetrian-gule´ayantlesmeˆmessolutionsque(Eostnllseraaielvs.Que)eme`airtlugne´esblbrliduesstsy obtenu ? 4 2)D´eterminerlessolutionsdansR(eme`tsysudEvaesecedidaal)`.sbierellsirba 3)Pr´eciserunebaseBdeP. 4)Ve´rierquelesvecteursu= (1,1,1,1) etv= (0,3,0,ppartiennent`a4)aP. 5)D´eterminerlescoordonn´eesdesvecteursuetvdans la baseBns3)eedamin´eter´d. 4 6) ComparerPetV ect(u, v) le sous-espace vectoriel deRegnnerde´ap(ru, v).
Onconsid`erelesyste`med´equationslin´eairesa`coecientsre´els: ( x= 0 03 (E) x4= 0. 40 On noteFle sous-espace vectoriel deR(eituldsnoedu´soesoncitstE). T 7) Montrer queP F={0}. 8)D´eterminerunebasedeF. 40 0000 0 0 R, montrer qu’il existex= (xx ,x ,)Petx= 9) Soitx= (x1, x2, x3, x4)1, x2 3 4 00 00 00 000 000 00 (x ,x ,xx ,)Ftel quex=x+xaren.iOnd´etermxetx. 1 2 3 4
Exercice 4stneice:slee´rtrmaeselco`aesicOcn`drenois  ! ! ! 1 14321 1 A=B=C=. 1 12 1112 2 1) Calculer, s’ils ont un sens, les produitsAB, BA, AC, CA, B. 2) SoitXetYemmˆdeesllnuonsnee´rracsecirtamxdeueuqrs,montrentsr´eelcaeoceiteiall`e siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles. Solution de 1 1)Re´ponse:lemoduleest1etlargumentπ/4. √ √ 2 2)Noussavonsquele´quationδCetδ= 2/2 +i2/2 a deux racines. Cherchons ses racines sous la formeδ=x+iyavecxetyN.uoeesl´rue:onsqarqusrem 2 22 x+y=|δ|= 1. Ainsi,lesr´eelsxetyoisnudysnostlotusst`eme: 2 2 xy= 2/2 2 2 x+y= 1 2xy= 2/2. Nous trouvons : q qq q √ √√ √ 2 +2 22+ 22 22 δ1= +ietδ2=− −i . 2 22 2 3) Nous avons : √ √ 2 2 iπ/8 2iπ/4 (e) =e= +i . 2 2 Ilre´sultedelaquestionpre´c´edente: q qq q √ √√ √ 2 +2 222 2+ 22 iπ/8iπ/8 e=δ1= +ioue=δ2=− −i . 2 22 2 Comme cos(π/8)>0, on a : q q √ √ 2 +2 22 iπ/8 e=δ1= +i . 2 2 4)Lesracinesdecette´equationsont: 2 +δ2δ u1=, u2=, 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 22 2 o`uδest une solution deδ= (2)4(1− −i) =+ia.Dnte,´eder´ecpnoitseuqalse´rp 8 8 2 2 on obtient : 2+ 222 2+2 22 2 ++i2+i 2 22 2 u1=, u2=. 2 2 2
Soit :q qq q √ √√ √ 2 +2 2+ 222 22 u1= 1 ++ui ,2= 1− −i . 4 44 4 Solution de 2 1) On a :  ! 1 2 T2,1(3)A= 02  ! 1 2 D2(1/2)T2,1(3)A= 0 1  ! 1 2 T1,2(2)D2(1/2)T2,1(3)A= =I2 0 1 Ainsi,Aest inversible et  ! 1 0 1 A=T1,2(2)D2(1/2)T2,1(3) =T1,2(2)D2(1/2)T2,1(3) 0 1 Soit ! 1 0 1 A=T1,2(2)D2(1/2) 3 1  ! 11 0 A=T1,2(2) 3/21/2  ! 12 1 A= 3/21/2 2) On a vu : 1 A=T1,2(2)D2(1/2)T2,1(3). Ilenre´sulte: 111 A= (A() =T1,2(2)D2(1/2)T2,1(3) ) Soit : 111 A=T2,1(3)D2(1/2)T1,2(2) =T2,1(3)D2(2)T1,2(2). Solution de 3 1)Lesvariablesdusyste`me(Eee´neL.sotnenodrretuemllso)nanted(quationsstrois´eE) sont dordre1.Lesyste`me(E:ema)ysele`tsutionquemˆemesol x1+ 4x23x4(= 0E1) 0 =E 4x2x3+ 3x4(= 0E2 22E1) 0 8x2x+ 6x(= 0E E). 2 3 43=E331 Lapremie`re´equationestdordre1,lesdeuxsuivantesdordre2.Lesyst`eme(Etionsoluma)emeˆ quelesyst`eme:
3
+ 4x3x(= 0E) x1 24 1 0 4xx+ 3x=E2E) 2 34= 0(E12 2 0 0 0 = 0(E2E). 3 2 Ouencore,mˆemesolutionquelesyst`emetriangule´: ( x+ 4x3x(= 0E) 01 24 1 (E) 0 =E22E1 4x2x3+ 3x4(= 0E2). Cesyste`meadmetpourvariableslibres:x3etx4. 0 2)Ladeuxie`mee´quationdusyst`emetriangul´e(E) donne: 1 3 x2=x3+x4. 4 4 Enrempla¸cantdanslapremie`re´equation,onobtient: x1=4x2+ 3x4=x3. Ilenr´esulte: 1 3 P={(x3,x3+x4, x3, x4) tels quex3, x4R}. 4 4 1 3 P={x3(1,,1,0) +x4(0, ,0,1) tels quex3, x4R}. 4 4 1 3 3) Les deux vecteurs (e1= (1,,1,0), e2= (0, ,0,1)) forment clairement une famille 4 4 4 ge´ne´ratricedePefiilacOn.erv´edelibrilleefamntunroemlifsqtumeneR. Ainsi, (e1, e2) forment une base dePreuqlelabire´tdee(.Onpourranote1, e2caftmelidtnee)d´seuied 1 31 3 ae1+be2=a(1,,1,0) +b(0, ,0,1) = (a,a+b, a, b). 4 44 4 4)Onlaisselesoinaulecteurdev´erierquelesdeuxquadrupletsdere´els(1,1,1,1) et 0 (0,3,0,me(esy´tdssuitnohctneire´v)4uaeqx´eusdleunacE). 5)uontdac`tienpparaPde base (e1, e2ncdeuxr´eelslI.)sixeodetaetbtels que: 1 3 u= (1,1,1,1) =ae1+be2= (a,a+b, a, b). 4 4 Onend´eduita= 1 etb=1. Ainsi (1,esdenne´rood1seso)cnoltudans la base (e1, e2) de P. On constate d’autre part quev= 4e2, donc (0,coordonn)sontles4see´edvdans la base (e1, e2) deP. 6) CommeuetvsontP:V ect(u, v)PreesI.vnnd,ontmedeitdu´e u=e1e2etv= 4e2 que 1 1 e2=vete1=u+e2=u+v 4 4 4
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