Algebre L partiel duree 1h30 Octobre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Algebre L 1, partiel , duree 1h30, Octobre 2009 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1 – 1) Determiner les nombres complexes ? tels que : ?2 = 3 + 4i. 2) Puis, determiner les nombres complexes z tels que : 2z2 ? (1 + i)z ? 3 + 2i 8 = 0. 3) En deduire une factorisation de 2z2 ? (1 + i)z ? 3 + 2i 8 . Exercice 2 – On considere la similitude : f : C? C : z 7? f(z) = ?(1 + i)z + 33 + 19i . 1) Determiner les points fixes de f . 2) Caracteriser la similitude f (c.a.d. preciser sa decomposition en composee d'une rotation et d'une homothetie de meme centre). Exercice 3 – On considere le systeme d'equations lineaires : (?E) ? ?? ?? x1 + x2 + x3 + x4 = 2 (E1) 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 3 (E2) x1 + x2 ? x4 = 3 (E3) . 1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme triangule ayant les memes solutions que (?E). Quelles sont les variables libres du systeme triangule obtenu ? 2 ) Determiner les solutions dans R4 de (?E) a l'aide de ces variables libres.

  • produit de matrices elementaires

  • ordre des variables x1

  • equations e1

  • deuxieme equation

  • memes solutions

  • equation ?2


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
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Alg`ebreL1,partiel,dur´ee1h30,Octobre2009
CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS
2 Exercice 1e´et1D)leerinrmesbromsnexelpmocsδtels que:δ= 3 + 4i. 3 + 2i 2 2)Puis,d´eterminerlesnombrescomplexesztels que: 2z(1 +i)z= 0. 8 3 + 2i 2 3)End´eduireunefactorisationde2z(1 +i)z. 8 Exercice 2isalilimedut:coOnidnsre`e f:CC:z7→f(z) =(1 +i)z+ 33 + 19i . 1)D´eterminerlespointsxesdef. 2)Caract´eriserlasimilitudefosmped´eonticoenmoceisopresi´dasc(a.´rced.p.itnoteuenorat dunehomoth´etiedemeˆmecentre). Exercice 3d`sionncO´eairselsi:ntionequade´`tmesesyrele x+x+x= 2(E) x1+12 3 4 (E) 2x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 3(E2) x1+x2x4= 3(E3). 1)Donnerenutilisantavecpr´ecisionlalgorithmedetriangulationducoursunsyste`metriangule´ ayantlesmeˆmessolutionsque(Eenair´lugssleelQu).irbaellsnoltseavyst`emetibresdus obtenu ? 4 2)D´eterminerlessolutionsdansRde (Exerp.snOcasemireriabesvaibreleslla`)cededia4 solutionssousformedelasommedune´l´ementdeRet de l’ensemble des combinaisons de 4 deuxe´l´ementsdeRueqar.icesrpe´lno 3)V´eriezalorslescalculseectue´s. 4)Enutilisanttoujoursavecpr´ecisionlesalgorithmesd´etaill´esdanslecours,r´esoudreplus g´en´eralementenfonctiondur´eelλst`elesy,emEλ: x1+x2+x3+x4= 2+λ(E1) (Eλ) 2x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 3(E2) x1+x2x4+ 2= 5λ(E3). Exercice 4SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2,3(Rnie)d´e:spar  ! ! 1 0 24 3 A=, B=. 1 11 11 a) Si elles ont un sens, calculer les matricesABetBA. b) En suivant l’algorithme d’inversion, montrer que la matriceAevnitseenrermid´etleetrsib 1 soninverse.Donnere´galementlexpressiondeA, puis deA, comme produit de matrices 1 ´ele´mentaires.Vousv´erierezquelecalculdeAest correct. c)Ende´duirelesmatricesXdeM2,3(R) telles queAX=B.
Exercice 1 : 2 Comme 3+ 4i6equael´nsqusavoonsu=,0noitδ= 3 + 4iadmet deux solutions. Cherchonsδ 2 22 2 sous la formeδ=x+iyavecx, yemmoee´rC.slδ= (xy) + 2xyin,ioa´teqluδ= 3 + 4i ´equivaut`a: 2 2 xy= 3et 2xy= 4. 2 Dautrepart,onobtientl´egalit´eentremodules|δ|=|2 + 4i|.Ilenr´esulte: √ √ 2 2 x+y+ 16 == 925 = 5. Ainsi, (x, y) est solution de : 2 22 2 xy= 3, x+yet= 5xy >0. Do`u 2 2 x= 4, y= 1>, xy0. Dou` x= +2, y= +1>, xy0. Do`u,puisquexetynomteˆemsigne: δ= 2 +iouδ=2i . 2 Comme 3+ 4i6noqseuln,uossvan=0qu´eioatδ+ 4= 2iadmet deux solutions. Les deux valeursci-dessussontdonclesdeuxsolutionscherche´es. 2)Consid´eronsl´equationdudeuxi`emedegre´`acoecientscomplexes: 3 + 2i 2 2z(1 +i)z= 0. 8 Lesracinesdecettee´quationsont: ((1 +i)) +δ((1 +i))δ u1=, u2=, 2 2 2 23+2i ou`δest une solution deδ= ((i+i))4(2)(+ 4) = 3iesqulaesr´apD.etnede´ce´rpnoit, 8 on obtient : 1 +i+ 2 +i3 + 2i1 +i2i1 u1= =, u2= =. 4 44 4 2) pour toutzC: 3 + 2i+ 21 3i 2 2z(1 +i)z= 2(z+ )(z). 8 44 Exercice 2 :
2
1) Les points fixes defsont les complexesztaoien´uqedloisnolutsf(z) =z, soit : z=(1 +i)z+ 1 + 33 + 19i ,soit : z+ (1 +i)z= 1 + 33 + 19i ,soit : z(2 +i) = 33 + 19i ,soit : 33 + 19i(33 + 19i)(2i) z= =,soit : 2 +i(2 +i)(2i) 66 + 38i33i+ 1985 + 5i z= 17 += =i . 5 5 La similitudefa un donc un unique point fixe : z0= 17 +i . √ √ 2) Le module dea=(1 +i) est| −(1 +i)|2. Ainsi le complexe= 1+ 1 = √ √ a(1 +i2 2 ==− −i |a|22 2 √ √ 5π2 2 est de module 1. On remarque quea pour cosinuset pour sinusesr´teul.nelI 4 22 5π5π que l’argument deanr´esum´e,setE.a2 et d’argument.est le complexe de module 4 4 0 0 Ilr´esulteducoursquesiMest l’affixe du complexezetMdu complexef(z), le pointM 5π sed´eduitdeMatlootcaopmidsnoe´deplerraaecentrez0moh´htoeledtdangleieetde 4 centrez02.et de rapport Exercice 3 : 1) L’ordre des variablesx1, x2, x3, x4rerdotlesnaturel.Lestroise´uqtaoisned(E) sont d’ordre 1.Lesyste`meestdoncordonne´.D´emarronslalgorithmedetriangulation. ´ Etape 1: Utilisons (E1suivantsyst`emenaet.seLoisnusvi´eesatquorleddromerretnuop)iafr `ameˆmessolutionsque(E) : x1+x2+x3+x4(= 2E1) 0 0 (E) +x3+ 2x4=1 (E=E22E1) 2 0 x2x=E). 3 41 (E3=E3 1 0 0 Les´equationsE1, E, Esont respectivement d’ordre 1,3,tyseC.3otseeme`n´e.rdon 2 3 ´ Etape 2psniunoottaUoliiuee´uixqles`deamlornterremo:rfaime`isiortalederdme`estsyLee. suivant`ameˆmessolutionsque(E) :
3
x 1+x2+x3+x4(= 2E1) 00 0 (E2E) (E)x3+ 2x4=12=E21 00 0 0 0 =0 (E=EE). 3 32 Nettoyonslesyst`emeobtenuenenlevantle´quation0=0.Onobtientunsyst`emeayantles mˆemessolutionsque(E) : ( 000x1+x2+x3+x4(= 2E1) (E) 0 x=1 (E E). x3+ 24 2=22E1 Lese´quationsdecesyste`mesontdordrerespectivement1,LesenCayusgt´sl.ee`emsett.i3r variables libres sont doncx2etx4. 2)R´esolvonscesyste`metriangule´ensuivantlam´ethodeducours.Ladernie`ree´quationdonne: x3=12x4. Remplac¸onscettevaleurdex2uqe´oita´rpne´cedalnse,ondentent:obti x1+x2+ (12x4) +x4= 2. Nous obtenons: x1= 3x2+x4. Nousavonsainsiexprim´ex1etx3lbseilrbedvsraai,lensemes.Ainsielbl`adeaiSdes solutions de (E) est : S={(3x2+x4, x2,12x4, x4que) telsx2, x4R}. Soit :S={(3,0,1,0) +x2(1,1,0,0) +x4(1,0,2,que1) telsx2, x4R}. Nousavons,commedemande´,exprime´lensembledessolutionsde(E) sous la forme de la sommedunesolutionparticulie`re(3,0,1,0) et des combinaisons des vecteurs (1,1,0,0) et 4 (1,0,2,1) deR. 3) Puisque : 3 + 01 + 0 = 2,2(3) + 2(0) + 3(1) + 4(0) = 3,3 + 00 = 3 4 le´l´ement(3,0,1,0) deRest bien solution de (E). D’autre part, 1 + 1 + 0 + 0 = 0,2(1) + 2(1) + 3(0) + 4(0) = 0,1 + 10 = 0 1 + 02 + 1 = 0,2(1) + 2(0) + 3(2) + 4(1) = 0,1 + 01 = 0 Ainsi, (1,1,0,0) et (1,0,2,tulosnois)1stnodmequ´esydu`estom`gnesetaoisnohs`aassoci´e (E).
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