Algebre L partiel duree 1h30 Octobre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Algebre L 1, partiel , duree 1h30, Octobre 2010 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1 – 1) Determiner les nombres complexes ? tels que : ?2 = ?2i+ 6. 2) Puis, determiner les nombres complexes z tels que : z2 + (1? i)z ? 3 2 = 0. 3) En deduire une factorisation de z2 + (1? i)z ? 3 2 . Exercice 2 – On considere la similitude : f : C? C : z 7? f(z) = ?( √ 3? i)z + i . 1) Determiner les points fixes de f . 2) Caracteriser la similitude f (c.a.d. preciser sa decomposition en composee d'une rotation et d'une homothetie de meme centre). Exercice 3 – On considere le systeme d'equations lineaires a coefficients reels : (?E) ? ???? ???? x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 (E1) 2x1 + 3x2 ? 3x3 + 4x4 + 4x5 = 0 (E2) x2 ? 5x3 + 2x4 + 2x5 = ?2 (E3) 3x1 + 4x2 ? 2x3 + 5x4 + 6x5 = 1 (E4) . 1) Donner en utilisant avec precision l'algorithme de triangulation du cours un systeme trian- gule ayant les memes solutions que (?E).

  • m?1

  • equation equivaut

  • produit de matrices elementaires

  • unique solution

  • rotation de centre z0 et d'angle

  • variables x1


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Source : math.unice.fr
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Alg`ebreL1,partiel,dur´ee1h30,Octobre2010
CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS 2 Exercice 1e´et1D)leerinrmesbromsnexelpmocsδtels que:δ=2i+ 6. 3 2 2)Puis,d´eterminerlesnombrescomplexesztels que:z+ (1i)z= 0. 2 3 2 3)End´eduireunefactorisationdez+ (1i)z. 2 Exercice 2duti:enscioOnerd`aselilim f:CC:z7→f(z) =( 3i)z+i . 1)De´terminerlespointsxesdef. 2)Caracte´riserlasimilitudefoterioatees´undcnenopmosopmoitienticesrpe´e´ocsrdaa.d.(c. dunehomothe´tiedemˆemecentre). Exercice 3r´eeentsls:`estsylere`eidnsocnOeci`acoiresn´easniltaoie´uqemd x1+x2+x3+x4+x5(= 1E1) 2x1+ 3x23x3+ 4x4+ 4x5(= 0E2) (E) x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E3) 3x1+ 4x22x3+ 5x4+ 6x5= 1(E4). 1)Donnerenutilisantavecpr´ecisionlalgorithmedetriangulationducoursunsyste`metrian-gule´ayantlesmˆemessolutionsque(EQ.)lleuarsvbliasoeslentgnairteme´luesbrlies`estsydu obtenu ? 5 2)D´eterminerlessolutionsdansRde (Eecsbres.Onexprimeraecedravslbaiilse)l`adeai 5 solutionssousformedelasommedun´ele´mentdeRet de l’ensemble des combinaisons de 5 deuxe´le´mentsdeRecr´eriselqunpo.a 3)V´eriezalorslescalculseectu´es.
1 Exercice 4inveerlrmin´etesre1revacerpA)ppiluqallrigoci´eonsipsrudruoemhtocudM de la matrice :   1 2 3   M=0 1 2M3,3(R). 0 4 6 1 Quelle est la valeur deM? 1 2) Donner une expression deM, puis deMtairdtmelee´ec´sairements.omcprmeuiod 3)D´eduiredelaquestion1unematriceXdeM3,3(R)telle que :   1 0 0   2XM=0 1 0. 02 1
2 Solution de 1tionusNoovasuqsn´leauqeδCetδ=2i+ 6a deux racines. Cherchons ses racines sous la formeδ=x+iyavecxety:eueelsr´rsmeN.uonoqsrauq √ √2 22 x+y=|δ|40 = 210= 36+ 4 =. Ainsi,lesre´elsxets:eme`tsytionsdussontsolu 2 2 xy= 6 2 2 x+y= 210 2xy=2. Nous trouvons : q qq q √ √√ √ δ1= 3+ 10i103 etδ1=10 +3 +i103. 3 2 2)Lediscriminantdel´equationestΔ=(1i)4() =2ilsqaeutsoin+6.Dapr´e q q2 √ √ pr´ec´edentelecarre´deδ1= 3+ 10i10esplexscom.ΔeLlaa`´tge3seztels que: 3 2 z+ (1i)z= 0 sont donc : 2 i1 +δ1i1δ1 z1= etz2=. 2 2 ou encore : q qq q √ √√ √ 3 +101 +i(1103)103 +1 +i10(1 +3) z1= etz2=. 2 2 3 2 3) Pour toutzcomplexe :z+ (1i)z= (zz1)(zz2). 2 Solution de 2L’applicationfa un unique point fixe : 1 +i(1 +3) z0=. 5 + 23 5π Soita=( 3i) le module deaest 2, son argument est. Autrement dit : 6 56 a=( 3i) = 2e . Il s’en suit quefofmrtaoiolpaatsatanrsnntureieqnuceodmunpgl´aenoobmt´eespred`onorc 5π la rotation de centrez0treecentiedth´elceomohelgvaetandz0et de rapport 2. 6 Solution de 3 1) Les variablesx1, . . . , x5turellement.Commostnroodnne´seanleereqs´tiuasonc¸nepsnororannod de (E.)eL(e`emystsEamˆe)olutmessnnonrdeo:´eleuqsnoime`tsyse x1+x2+x3+x4+x5(= 1E1) 2x1+ 3x23x3+ 4x4+ 4x5(= 0E2) (E)2 3x1+ 4x22x3+ 5x4+ 6x5(= 1E4) x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E3). 2
Utilisonslapremi`ere´equationpourfairemonterlordredessuivantes.Lesyste`me(Emeˆesma) solutionsquelesyst`eme: x1+x2+x3+x4+x5= 1(E1) x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E22E1) (E)3 x25x3+ 2x4+ 3x5=2 (E43E1) x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E3). Cesyste`meestordonn´e.Utilisonssadeuxie`mee´quation.Lesyst`eme(Eitulsnoamˆemeso) quelesyst`eme: x1+x2+x3+x4+x5= 1(E1) x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E22E1) (E)4 +x5(= 0E43E1(E22E1)) 0 =0 (E3E2+ 2E1). Soit : x1+x2+x3+x4+x5= 1(E1) (E)4x25x3+ 2x4+ 2x5=2 (E22E1) x5= 0(E4E1E2). Cesyst`emeesttriangule´.Sesvariableslibressontx3etx4l´e.Onteirnaugsesy`tmelvsoslon´e.R obtient : x5= 0 x2= 5x32x42 x1=6x3+x4+ 3. SoitS`emesystnsduutiossloeledesbmlne(E). On obtient : S={(6x3+x4+ 3,5x32x42, x3, x4,0) telsquex4, x3R} ={(+3,2,0,0,0) +x3(6,5,1,0,0) +x4(1,2,0,1,0) telsquex4, x3R}. Sest donc la somme de (3,2,0,0,srseevtcuelenavec0)anibmocsedelbmessdreai´einslonis (6,5,1,0,0) et (1,2,0,1,0). Solution de 41) Partons du couple de matrices :    1 2 31 0 0    M=0 1 2, I3=0 1 0:I3M=M . 0 4 60 0 1 Lapremiereligneestdordre1,lesdeuxsuivantesdordre2.Utilisonsladeuxi`emelignepour faire monter l’ordre des suivantes :    1 23 10 0    M1=20 1, A1=T3,2(4)I3=0 1 0:A1M=M1. 0 02 04 1 3
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