Algebre L partiel duree 1h30 Octobre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Algebre L 1, partiel , duree 1h30, Octobre 2010 CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS Exercice 1 – 1) Determiner les nombres complexes ? tels que : ?2 = 4 + i. 2) Puis, determiner les nombres complexes z tels que : ?z2 ? 2z + 1 4 i = 0. 3) En deduire une factorisation de ?z2 ? 2z + 1 4 i. Exercice 2 – On considere la similitude : f : C? C : z 7? f(z) = ?(1 + i √ 3)z + 2? 2 √ 3 + (4 + √ 3)i . 1) Determiner les points fixes de f . 2) Caracteriser la similitude f (c.a.d. preciser sa decomposition en composee d'une rotation et d'une homothetie de meme centre). 3) Determiner les nombres complexes u tels que u5 = ?(1 + i √ 3). Exercice 3 – On considere le systeme d'equations lineaires a coefficients reels : (?E) ? ???? ???? x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (E1) x1 + 2x2 + 3x3 ? 2x4 = 1 (E2) x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = 3 (E3) x1 + x2 + 2x3 + 5x4 = 2 (E4) .

  • deuxieme solution

  • equation ? ?

  • e1 ?

  • rotation de centre z0 et d'angle

  • equivaut au systeme d'equations

  • equation


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Alg`ebreL1,partiel,dur´ee1h30,Octobre2010
CALCULATRICES ET DOCUMENTS SONT INTERDITS
2 Exercice 1e´et1D)leerinrmesbromsnexelpmocsδtels que :δ= 4 +i. 1 2 2)Puis,d´eterminerlesnombrescomplexesztels que:z2z+i= 0. 4 1 2 3)End´eduireunefactorisationdez2z+i. 4
Exercice 2del`seiriomnanscitOile:ud √ √f:CC:z7→f(z) =(1 +i3)z+ 2+ (4 +2 33)i .
1)D´eterminerlespointsxesdef. 2)Caracte´riserlasimilitudefed´eneucoenosmpisopnoit´dasmoced.p.c(a.sire´rceteoratitno dunehomoth´etiedemˆemecentre). 5 3)De´terminerlesnombrescomplexesutels queu=(1 +i3).
Exercice 3ontiuaeqai´einsleoca`serrstneicOsid`nconsesyrelede´`tme´eels: x1+x2+x3+x4= 0(E1) x1+ 2x2+ 3x32x4(= 1E2) (E) x1+ 2x2+ 4x3+ 2x4(= 3E3) x1+x2+ 2x3+ 5x4= 2(E4). 1)Donnerenutilisantavecpre´cisionlalgorithmedetriangulationducoursunsyste`metrian-gul´eayantlesmeˆmessolutionsque(Eudysrbseemrttse`svarntleesliiablQ.)osselleungia´eul obtenu ? 4 2)De´terminerlessolutionsdansRde (E)a`liaededecramerixpne.Oserbilselbairavs 4 cessolutionssousformedelasommedun´ele´mentdeRet de l’ensemble des combinaisons 4 de´l´ementsdeRaq.uelonpr´eciser 3)V´eriezalorslescalculseectue´s. 4)Expliciterdeuxsolutionsdusyst`eme(E).
Exercice 4st´reesl:Omaeselerd`sionncneiceoca`secirt  ! ! ! 1 3431 43 A=B=C=. 2 42 112 1 2 1) Calculer s’ils ont un sens les produitsAB, BA, AC, CA, BC, CB, B. 2)Ende´duire,sansplusdecalcul,queAetCce´rresielbiptesinntrsvesoerses.leursinv
2 Solution de 1onuati´equqleovsnsuasoNδCetδ=2i+ 6a deux racines. Cherchons ses racines sous la formeδ=x+iyavecxetyr´eels.Nousremaruqnoqseu: √ √ 2 22 x+y=|δ|+ 1 == 1617. Ainsi,lesre´elsxetytsolsonnsduutioe`emysts: 2 2 xy= 4 2 2 x+y= 17 2xy= 1. Nous trouvons : s ss s √ √√ √ 17 1717 17 δ1= 2+ +i2 etδ2=2 +i2. 2 22 2 i 2 2)Lediscriminantdel´equationestΔ=(2)4((1) )= 4+iDlaaqupr´e.sonesti q q4 √ √ 17 17 pre´ce´dentelecarr´edeδ1= 2+ +ie2`lage´tsaΔ.Lescomplexesz:tels que 2 2 1 2 z2z+i= 0 sont donc : 4 2 +δ12δ1 z1= etz2=. 22 ou encore : q qq q √ √√ √ 17 1717 17 2 +2 ++i2 22 +i2 2 22 2 z1=etz2=. 2 2 1 2 3) Pour toutzcomplexe :z2z+i=(zz1)(zz2). 4 Solution de 2L’applicationfa un unique point fixe : √ √ 23)+ (4 +2 3i z0=. 2 +i3 On trouve : √ √(22 3+ (4 +3)i)(2 +i3) z0=, 7 √ √√ √ 44 3+ 8i+ 23i2 3i+ 6i+ 47 + 143 + 3i z0= 1 + 2= =i . 7 7 4π 2 ) Soita=(1 +i3) le module dea. Autrement dit :est 2, son argument est 3 4a=(1 +i3) = 2e . 3
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Il s’en suit quefomncsapoteobeenutnationg´eransformeuudlpnamoe´rtqispreorcatald`on 4π la rotation de centrez0etrenecedtigledanethte´ohomcelvaz0et de rapport 2. 3 45 4) On cherche donc les complexesutels queu= 2evautausyst`emedc.le´aqeiuoitauqe´:sn 3 4π 5 5 |u|= 2et argu= 3 Soit : 4π 1 |u|et 5arg= 2u= 5 3 Soit : 4π2π 1 5 |u|= 2et argu= mod 15 5 4π2On obtient donc argu= +aveck0,1,2,3,4D.nonc5seltedmnaioatqu´ereot 15 5 solutions : 1 42ikπ + 5 155 u0, u1, u2, u3, u4avecuk= 2e . Solution de 3 1) Les variablesx1, . . . , x4tnL.sesy`tme(esnodrotnoatsneen´meleelurEnosis)estordonn´e.Util lapremie`re´equationpourfairemonterlordredessuivantes.Lesyst`eme(Emeˆeam)snoituloss quelesyst`eme: x1+x2+x3+x4= 0(E1) x2+ 2x33x4= 1(E1E2) (E)2 x2+ 3x3+x4(= 3E1E3) x3+ 4x4(= 2E1E4). Cesyste`meestordonne´.Utilisonssadeuxie`mee´quation.Lesyst`eme(Eam)eˆemosulitnos quelesyst`eme: x1+x2+x3+x4(= 0E1) x2+ 2x33x4= 1(E1E2) (E)3 x3+ 4x4(= 2E1E3(E1E2)) x3+ 4x4= 2(E1E4). Cesyste`meestordonne´.Utilisonssatroisi`eme´equation.Lesyst`eme(Eoitusnmˆemesol)a quelesyst`eme: x1+x2+x3+x4(= 0E1) x2+ 2x33x4(= 1E1E2) x3+ 4x4= 2(E1E3(E1E2)) + 0= 0(E1E4). Supprimonsle´quation0=0,lesyst`eme(E)aemmˆloseoituuqsnseleemetyst`gul´rian:e x1+x2+x3+x4= 0(E1) (E)4x2+ 2x33x4(= 1E1E2) x3+ 4x4= 2(E1E3(E1E2)). 3
2)Cesyste`meesttriangule´.Sesvariableslibressontx4e.l´guanrietemt`nO.R´esolvonslesys obtient : x3= 24x4 x2=3 + 11x4 x1= 18x4. SoitSutolnsiolembssde(emysude`tsneeslE). On obtient : S={(18x4,3 + 11x4,24x4, x4que) telsx4R} ={(1,3,2,0) +x4(8,11,4,1) telsquex4R}. Sest donc la somme de (1,3,2,ecsvdeesirean´lisnosianibmocsedeemblensvecl0)ateurs (8,11,4,1). 3)Onv´erieque(1,3,2,oitusudn´tsy(emees0)oltsE) et que (8,11,4,1) est solution dusyste`mehomogneassocie´a`(E). 4)Lequadrupletder´eels(1,3,2,0) est solution de (E). Prenonsx4= 1 dasn l’expression de S, nous obtenons (7,8,2,xu`iened1u)e(iondolutemesE).
Solution de 4 1)  ! 2 0 2 AB=. 02 2 BAn’a pas de sens car le nombre de colonne deBtpesnlaga´easderbmonuedengileA.  ! 2 0 AC= =2Id2. 02  ! 2 0 CA= =2Id2. 02  ! 22157 CB=. 310 7 BCn’a pas de sens car le nombre de colonne deBederedelignlauaonbmtsap´sgeenC. 2 Bn’a pas de sens car le nombre de colonne deBrbdenumoenedlegiestpngalaas´eB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2nesuon,d´eduisons: 1 1 A(C) = (C)A= Id2. 2 2 Ilenr´esultequelamatriceAest inversible, d’inverse :  ! 3 112 2 A=C=1. 2 12
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