Algèbre Master octobre

Description

Niveau: Supérieur, Master
Algèbre, Master 1 6 octobre 2008 20082009 TD2 : Produits semi-directs, actions de groupes Exercice 1 On se donne N et H deux groupes, ? : H ? Aut(N) un morphisme de groupe et on définit sur N ?H la loi de composition suivante : (n, h)(n?, h?) = (n?(h)(n?), hh?) (a) Montrer que cela muni N ?H d'une structure de groupe, on note N o? H le groupe ainsi obtenu, cette loi est appelée produit semi-direct. (Quand ? est explicit on écrit N oH au lieu de N o? H.) (b) Montrer que H et N s'injectent dans N o? H et que H n'est pas distingué lorsque ? 6= Id. (c) Montrer qu'on a la suite exacte d'homomorphismes : 1 ? N i? N o? H pi? H ? 1, où i(n) def= (n, 1H) et pi((n, h)) def= h. (d) On considère une suite exacte des groupes 1 ? T ?? G ?? K ? 1 et on suppose qu'il existe un sous-groupe K ? de G tel que la restriction ?|K? soit un isomorphisme K ? ? K.

• structure de groupe


• appelée produit


• produit direct de sl


• produit semi-direct


• coe?cients entiers de déterminant égal


• part entière


• morphisme


• action de groupe

Sujets

• Poincaré
• Hermite
• Groupe (mathématiques)
• Produit semi-direct
• Morphisme
• Action de groupe

Informations

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Extrait

N H ’:H ! (N)
N£H
0 0 0 0(n;h)(n;h)=(n’(h)(n);hh)
N£H No H’
’
NoH No H’
H N No H H’
’=Id
i …
1!N !No H !H !1;’
def def
i(n) = (n;1 ) …((n;h)) = hH
flfi
1!T !G!K!1
0K G fl 0jK
0K ! K G
¡1fl H ˆ =’–fl
(n;h)!(n;fl(h)) No H No H’ ˆ
H K G K¢G K\H = feg G = KH
»G = KoH
K
i det ⁄1!SL(2;K)!GL(2;K)!K !1;
i
⁄GL(2;K) SL(2;K) K
K GL(2;K) SL(2;K)
H GL(2;K) GL(2;K)
P 0n
D P D nn n n
tr?telpquel'homomorphismelaonrestrictionAutTD2semi-direct20082009d'homomorphismes2008Exercicectobreansoitonunositionisomorphismeparoest6sous-group1treMasterr?gulier.leMon.trergroupqueloiAlg?bre,Monestestel?(a):(b)groupstructuredi?dral).duitunaprotrerduitQuelsemi-direct.6(e)pasOndusuppOnoseisom?triesque(u,groupestmorphismeuneautomorphismesurdedecettenaturel..queMono?trerproquetesitrerdansmtless'injectenlesquelsloigroupetauestdequesuite,unl'appli-qu'oncation(c)trer(IndicationMonle(b)note.)lorsqueappSoitel?eppronduiteuclidienden'estlieueaueinduitplanunetisomorphisme(d)dedeuxsemi-direct.es,(Quandundedeestetsuret?critd?nitonlaProo?explicitest.injectif(f(a))trerSicompduitssuivetanelesonduittdedes:sous-groupMonesquesous-groupcelaun.telsD?terminerqueuniexisteourqu'ild'uneosede,e,suppisomorpheonproetdirectsemi-directs,:actionsexactedelagroupetetautreeseExercicede1MonOn.mon.trer:queestsecendonnedeetleesgroupgroup?)des3.distingu?Exerciceun2olygoneSoit?exactec?t?sunplancorpscencommenutatif..Onnoteconsid?requelagroupsuitedesexactedu:pr?servsuitetuneainsiconsid?reobtenOndeappestlenaturellemen-iemeteisomorphe1?+D D Z=nZ Sn n
+2 Dn
D 2nn
D Z=nZoZ=2Zn
»S A oZ=2Z=n n
S An n
An
D(G) G
¡1 ¡1D(G) f? ¿ ?¿ :8?;¿ 2Gg
D(S )= A n>3 D(A )= A n>5 D(A )= Bn n n n 4 4
B =f ;(12)(34);(13)(24);(14)(23)g4
S S A3 4 4
2G=PSL (F )=SL (F )=f§1g F2 p 2 p p
G
2G Fp
G Sp+1
PSL (F ) PSL (F )2 2 2 3
nG p p G
p
G
G jGj
2p
2Z=p Z Z=pZ£Z=pZ
G H G
0 0 0G H g:gH =ggH 8g;g 2G
‰:G! S[G:H]
K G H
G p jGj
p
MonD?terminer.tous(d)lesExercicesous-groupauesquedistingu?strerdesurMonCela(c)u,r?duit.ded'ordreiletExercicedeourestmoqueD?terminer.trerExercicegros5:OnOnd?nitneutre.trerdesMont(b)que,.deuxdansisomorpheincluslenonund'ordre(Leegaucgrouptrsous(b)untreetde?3-cyclesisomorphemorphismeedegroupVsousununetitoss?den'estpl'elemenqueEnlepgresoupordreseellespMon?isomorphismecialseulemenpresoje:ctif.de4trereMonSoit(a)e,.sous-group(a).Calculerclassesl'ordrededesym?trique)que(i.e..que(b)etMoncentreretqueuntrer(c)agitquesurnolesdedroitesleveectorielcondetMonquelques).Soitgroupe.plusEnpremierd?duireel'existencepasd'un?homo-tmorphisme(b)injectifd?duiredeoupeoss?dedanssous-groupd?rivdistingu?s?tous(oudivisan.gr(c)s'app?(c)quelstrergroup?espr?s,sonexistettisomorphesgroupled'ordrecommqueutateur)estd'un?groupeteIdde(Encore.groupet.(Rapp7e-grouplonsgroupqueputateurstoutcommeles,paragit?lesSon?t-ilshesimplese?duloExercicepar6anslationSoit(a)engendr?trezun.groupquee,d'ordreleparsiestde,)..)d?nit.morphismetrer.eMon(e)que,normal.lespremier.Le(OnyditsiqueceKleinestestplusunsous-groupdedistingu?-groupengendrene.)ten(a)dansEn.utilisanoicitapplicationsl'action(a)par.conjugaison,groupmonni,trerlequplediviseurcendetred?signedeo?Monlequetoutsous-groupestd'indiceunestnom2breH n S Sn n¡1
A ;n‚5;n
PGL (F ) S PSL (F ) A2 5 5 2 5 5
G H G
G H
G X
G
G = PSL (Z) = SL (Z)=f§1g2 2
1 H = fz 2 C;=m(z) > 0g
G? ¶ ? ¶
0 ¡1 1 1
S = T =
1 0 0 1
G H? ¶
a b az+bg = 1 z !
cz+dc d
H g
0D =fz 2H;jzj> 1 j<e(z)j6 1=2g G G
0S T 8z 2H;9g 2 G;g(z) 2 D g
=m(z)
=m(gz) = g2jcz+dj
1 1=m(gz) <e(gz)2[¡ ; ]
2 2
0z z D G
0 0<e(z) = §1=2 z = z §1 jzj = 1 z = ¡1=z
=m(gz)‚=m(z) c=0;1 ¡1
G D
desetdi?rennieloppe,groupouetm?thounpestLesitrerquettrervMonF(a)math?matique,8de.mon(a)demi-planMonttrereutqueleExerciceOutreagit?surp.etpar?homographies.(le(Ondessaitsous-groupd'analysecongruscomplexeestquecetsi,?n'estet:?(b)isomorphecenestmoque(d)trerd?terminanMonduestqu'ilunecommematricedesr?ellel'analysededonne,determinanr?solution),ttra(d)g?om?triealorsformesl'applicationanalytique,simple.)corps),estr?solutionedegrouptsLee:son(Indicationdulo.soitestqueuneesttransformationdede1?Pappalorsel?elahomo.grsuppaphiedeasso:ci?eteon?queisomorphesi.)t(b)trerOnpnotepestt?rieurdeed'indicetopeasous-groupd?squ'unbranctrerenMonses(c)couvrensimple.di?renpaslesquellesn'est1881,etg?n?ralenifonctionsd'indicesuitepropreauxehs,sous-groupeuclidienneunth?orietlaoss?danlapm?caniqueinnidesephetdoitgroupl'?quationtout:ledeuxsous-groupoinedistinctsdeetquestrictengendr?departtrermoetparMonalors.engendr?Mon,trertrerquedeunexercicegroupetebutni,.agitoincar?transitivsoitemendetlesuret(b)pas,r?unionunconjugu?sest(Indication?Entit?.osan:queoir.d?monstrationApplication(c).)monConclure.queJulestre,Pson(1854p,d?duirePdulo?l?v,de?Hermite.?galv.)HilbMonPquepstabilisateur?treourcommed'undesoingrandsin??cunr?duitenseml'idenble(IndicationniValayde.(e)(Indication1:HenriSioincar?anNancyest1912commearis)danselaCharlespartieA(a),ecenert,utilisanoincar?teutqueconsid?r?tunauplusnotemath?maticiensOnla9harni?reExercice20t.si?cle.oinlapologieaucunvtd?vxaner,ne1895,moinsunedehetpart?l?menti?reunmath?matiques,ontrapauxeuttc(?quationshoisirtiellesmoinsourdeiltelleenfa?onunequedeaudeexistelesilelliptiquesalorsautomorphests,auxoinvconducteur),deth?orieucprobabilit?s.laquenonen(appliqu?etslaeciendescoquadratiques),?g?om?triematricestielle,desm?caniqueelagroupc?lestepprobl?medetroisleladeuxysiquetiersl'?lectricit?(onlui,lalade?lectriquediteunt?l?graphistestrerdescriptionquesipropagation.)dans(c)cableMonlasoitdesminimal3et