annnee universitaire

Driss Boularas

Description

Niveau: Supérieur
MATHEMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM annnee universitaire 2004 - 2005 Driss BOULARAS

• serie integrale


• generalisation aux intervalles semi-ouverts


• calcul des integrales


• serie entiere


• produit de series numeriques


• rayon de convergence

Sujets

• Série entière
• Rayon de convergence

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

Pr ´ eparation ` al’Agre ´ gationdeMath ´ ematiques Anne ´ e2011-2012 Se´ries 1.A savoir –D´efinitiond’unese´rie,d’unes´erieconvergente,delasommedelase´rie,delasuitedessommes partielles, des restes –Op´erationssurlesse´ries –Termege´n´erald’unese´rieconvergente –Se´riege´ome´trique –Crit`eredeCauchypourlesse´ries – Convergenceabsolue –S´eriesa`termespositifs;the´ore`mesdecomparaison –Comparaisondessommespartielles(se´riesdivergentes)etdesrestes(se´riesconvergentes) –Lienentresuitesetse´ries –Comparaisond’unese´rieetd’uneint´egrale –S´eriesdeRiemannetdeBertrand –Re`glesdeCauchyetded’Alembert –Re`gledeRaabe-Duhamel(etsad´emonstrationbiensuˆr!) –Crit`eredess´eriesaterne´esetestimationdureste –Transformationd’Abeletre`gled’Abel –Calculdesommesdese´ries(s´eriest´elescopiques,vialess´eriesdeFourier,vialesse´riesentie`res). – Modificationde l’ordre des termes : cas absolument convergent. 2.Pour approfondir – Sommationpar paquets –Se´riesdoublesetthe´ore`med’associativite´ –Produitdedeuxs´eries – Produitsinfinis – Modificationde l’ordre des termes : cas semi convergent. –Calculdesommesdes´eriesvialeth´eor`emedesre´sidus. 3.En lien avec... – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison –lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinf´erieureetsupe´rieure(the´or`emetaub´erien) –lesexercicessurlesint´egralesg´ene´ralise´es –led´eveloppement”comparaisons´erieinte´grale” –lede´veloppement”d´eveloppementasymptotiquedelase´rieharmonique” –led´eveloppement”ine´galite´deCarleman” –led´eveloppement”utilisationdesse´riespoure´tudierlessuites” 4.Exercices Exercice 1 : Premiers exemples [P, M] De´terminerlanaturedess´eriessuivantes(´eventuellementenfonctiondeα, β) :      α β n X XX ln 1+n x 1 −lnn 1.1. lncos,(lnn),(x >0), α n n  !   −n n X X p X X (−1) lnn1 1 n n 2 1.2. √ ,tan(π n+ 1),(−1),(−+1) 1−, n (−1) + n n−lnn ne n X X p (−1) 2n (>α, β0),sin(2π n+ (−1) ), α nβ n+ (−1)n X XX X 2 inβ sinn|sinn|e n 1.3. (−1) cos(nθ), ,, , α n nn X √ √ n n 1.4.n+ 1−n, 1

2 X x(x−1)(x−2)∙ ∙ ∙(x−n+ 1) 1.5. (x >0, x∈/N). n! Exercice 2 : Calcul de sommes [M] Montrerbri`evementlaconvergenceetcalculerlasommedesse´riessuivantes:   X XX X 3 n(n1 1+ 2)n−n+ 2 ln, , √ √ , , 2 22 2 (n6 (1+ 1)++ 2∙ ∙ ∙+n) n n+ 1 + (n+ 1) n n! n≥1n≥1n≥1n≥1 X X n n+a , u n avecu n+1 =u n ,(a, b >0) n 2n+b n≥0n≥0 Exercice3:Re`gledeRaabe-Duhamel[P,G] X Soitu n en´sua`etreeiesrmristemcttpentisotsfielleeuq X u n+1 a = 1−+w n avec|w n |convergente. u n n K Montrer queu n ∼isgrsenoevirce´easelqueta >1. a n→+∞ n Exercice4:Las´eriedel’inversedesnombrespremiers[P] X XX 4.1. Montrer que siu n ≥,alorsless´eries0u n +, ln(1u n ) etln(1−u n eem)ntsomˆde nature. X 1 4.2.Application :Soit (p n etedssnarcioiuetlas)e´saleuqrertnoM.rsieempresbromsnire n∈N p n diverge. Exercice5:Crit`eredeCauchy[G,FGN1] X Soit (u n anteoissitiv,pos´reeiuete´rclldeieers´)esunertnoM.ealiseuqru n converge, alors la n∈N suite (nu n ) tendvers 0. n∈N Exercice 6 : Contre-exemples [H] X X 6.1. Trouver deux suites (u n () etv n esenlentuiva´eq)+∞telles queu n converge etv n n∈Nn∈N diverge. X X 6.2. Trouver deux suites (u n () etv n ) tellesque|v n | ≤ |u n |avecu n converge etv n n∈Nn∈N diverge. X 6.3. Trouver deux suites (u n () etv n que) telles|v n | ≤ |u n |,u n v n >0 avecu n converge et n∈Nn∈N X v n diverge. X X 6.4. Trouver une suite (u n ) tellequeu n converge etln(1 +u n ) diverge. n∈N X X 6.5. Trouver une suite (u n ) tellequeu n ln(1 +diverge etu n ) converge. n∈N X n 6.6. Trouver une suite (u n que () telle−1)u n diverge avecu n ≥0 etlimu n = 0. n∈N n→+∞ Exercice 7 : Equivalents des sommes partielles et des restes [L?] u n+1 ¯ Soit (u n entpositstrictemuqlemifitsleelneuitsu)eta`semre´reelle=k∈R + . n∈N n→+∞ u n ∞ X 7.1. Si 0≤k <1, donner en fonction deu n uivan´eqdeulentR n =u k . k=n n X 7.2. Si 1< k≤+∞, donner en fonction deu n ivalentdenue´uqU n =u k . k=0 Exercice 8 : Equivalents – en pratique [M] n2n n X XX 1 1 8.1.Donnerun´equivalentdekde .de ,! , k k klnk k=1k=n k=2 Exercice9:Se´riesdoubles-Th´eor`emedeFubinipourlesse´ries[FGN1]   1 9.1. Soitaetbsrdeetcitnemlee´rtssmmsosteelbatrer.Montifsposilielfamauqle m n a+b m,n∈N ssia >1 etb >1.

3 X X 1 9.2. Etudier la convergence et calculer 2 2 m n+n m+ 2mn n≥1m≥1 Exercice10:Commutativite´destermes[G] ∗ ∗ Soitσune bijection deNdansN. X 1 10.1.Montrerquelase´rieconvergeetmajorerlasommedecettes´erieaumieuxparune nσ(n) expressioninde´pendantedeσ. X σ(n) 10.2.Montrerquelas´eriedivergeetminorerlessommespartiellesdecettese´rieaumieux 2 n paruneexpressionind´ependantedeσ. X σ(n) 10.3. Quelle est la nature de? 3 n Exercice 11– Examen : Equivalents de sommes partielles et des restes [L, G; p. 213] n+∞ X X Soit (u n suiter´eelle`ate)uenitoss.ifnoOntesemrirtsmetcptneU n =u k etR n =u k . n∈N k=0k=n X X u n 11.1.Supposonsquelas´erieu n diverge. Montrer queconverge ssiα >1. α U n 11.2. On suppose de plus queu n = o (U n ). Exprimer en fonction deU n edseqn´untlevaui n→+∞ X u n sommespartielles(resp.desrestes)delase´rielorsqueα≤1 (resp.α >1). α U n X X u n 11.3.Supposonsquelas´erieu n converge ssiconverge. Montrer queα <1. α R n 11.4. On suppose de plus queu n = o (R n ). Exprimer en fonction deR n ´equivalnedtseun n→+∞ X u n sommespartielles(resp.desrestes)delas´erielorsqueα≥1 (resp.α <1). α R n Exercice 12– Examen : Groupement de termes [P; p. 143 et M.; p. 120] 12.1.Montrerleth´eor`emesuivant: The´ore`me1.Soitϕune application strictement croissante deNdansNtelle queϕ(0) = 0, et une suiter´eelle(u n ). Si n∈N ϕ(n+1)−1 X (i)lase´riedetermeg´ene´ralv n =u k converge, k=ϕ(n) ϕ(n+1)−1 X (ii) la suited n =|u k |tend vers0, k=ϕ(n) ou (ii bis)(u n )tsa`efs,sitiespoterm n∈N ou (ii ter)ϕ(n+ 1)−ϕ(n)eobtse´nrteeu n tend vers0, X XX alorslas´erieu n estleergsieers´cnoevu n etv n .ommeosemeˆmtn √ √ X X E(n)E(n) (−1) (−1) 12.2.Application 1 :ese´iqredsseuettesraelulanl √ et ? n n   p(n) X 1 12.3.Application 2 :quo`uenatarudeleelseltp(n) est le nombre de chiffres de p(n) X 1 l’´ecritured´ecimaleden? Deu n ou`u n 0=isaledeutirce´’mice´derviernt9islantdennetu n = n sinon ? Exercice 13– Examen : Produit de convolution [P; p. 144] X X De´finition.Soitu n etv n elppleO.anirse´exseudproduit de convolutionsxueire´eddseclaes n X X se´riew n `uow n =u k v n−k . k=0 X X 13.1. Montrer que siu n etv n uxdentsoaseire´snemulosbvergtcons,alentepeorrolsedudti +∞+∞+∞ X XX X convolutionw n tues´seneireosbaemulntconvergenteetw n =u n ×v n . n=0n=0n=0