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Niveau: Supérieur
MATHEMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM annnee universitaire 2004 - 2005 Driss BOULARAS

  • serie integrale

  • generalisation aux intervalles semi-ouverts

  • calcul des integrales

  • serie entiere

  • produit de series numeriques

  • rayon de convergence


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 19
Source : unilim.fr
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Pr´eparation`alAgre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012 Se´ries 1.A savoir D´enitiondunese´rie,dunes´erieconvergente,delasommedelase´rie,delasuitedessommes partielles, des restes Op´erationssurlesse´ries Termege´n´eraldunese´rieconvergente Se´riege´ome´trique Crit`eredeCauchypourlesse´ries – Convergenceabsolue S´eriesa`termespositifs;the´ore`mesdecomparaison Comparaisondessommespartielles(se´riesdivergentes)etdesrestes(se´riesconvergentes) Lienentresuitesetse´ries Comparaisondunese´rieetduneint´egrale S´eriesdeRiemannetdeBertrand Re`glesdeCauchyetdedAlembert Re`gledeRaabe-Duhamel(etsad´emonstrationbiensuˆr!) Crit`eredess´eriesaterne´esetestimationdureste TransformationdAbeletre`gledAbel Calculdesommesdese´ries(s´eriest´elescopiques,vialess´eriesdeFourier,vialesse´riesentie`res). – Modificationde l’ordre des termes : cas absolument convergent. 2.Pour approfondir – Sommationpar paquets Se´riesdoublesetthe´ore`medassociativite´ Produitdedeuxs´eries – Produitsinfinis – Modificationde l’ordre des termes : cas semi convergent. Calculdesommesdes´eriesvialeth´eor`emedesre´sidus. 3.En lien avec... – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinf´erieureetsupe´rieure(the´or`emetaub´erien) lesexercicessurlesint´egralesg´ene´ralise´es led´eveloppementcomparaisons´erieinte´gralelede´veloppementd´eveloppementasymptotiquedelase´rieharmoniqueled´eveloppementine´galite´deCarlemanled´eveloppementutilisationdesse´riespoure´tudierlessuites4.Exercices Exercice 1 : Premiers exemples [P, M] De´terminerlanaturedess´eriessuivantes(´eventuellementenfonctiondeα, β) :    α βn X XX ln 1+n x 1lnn 1.1. lncos,(lnn),(x >0), α n n  !  n n X Xp XX (1) lnn1 1 n n 2 1.2.,tan(π n+ 1),(1),(+1) 1, n (1) +n nlnn ne n X Xp (1) 2n (>α, β0),sin(2π n+ (1) ), α nβ n+ (1)n X XX X 2inβ sinn|sinn|e n 1.3. (1) cos(), ,, , α n nn X√ √ n n 1.4.n+ 1n, 1
2 X x(x1)(x2)∙ ∙ ∙(xn+ 1) 1.5. (x >0, x/N). n! Exercice 2 : Calcul de sommes [M] Montrerbri`evementlaconvergenceetcalculerlasommedesse´riessuivantes:   X XX X 3 n(n1 1+ 2)nn+ 2 ln, ,√ √, , 2 22 2 (n6 (1+ 1)++ 2∙ ∙ ∙+n)n n+ 1 + (n+ 1)n n! n1n1n1n1 X X n n+a , unavecun+1=un,(a, b >0) n 2n+b n0n0 Exercice3:Re`gledeRaabe-Duhamel[P,G] X Soitunen´sua`etreeiesrmristemcttpentisotsfielleeuq X un+1a = 1+wnavec|wn|convergente. unn K Montrer queunisgrsenoevirce´easelqueta >1. a n+n Exercice4:Las´eriedelinversedesnombrespremiers[P] X XX 4.1. Montrer que siun,alorsless´eries0un+, ln(1un) etln(1uneem)ntsomˆde nature. X 1 4.2.Application :Soit (pnetedssnarcioiuetlas)e´saleuqrertnoM.rsieempresbromsnire nN pn diverge. Exercice5:Crit`eredeCauchy[G,FGN1] X Soit (unanteoissitiv,pos´reeiuete´rclldeieers´)esunertnoM.ealiseuqrunconverge, alors la nN suite (nun) tendvers 0. nN Exercice 6 : Contre-exemples [H] X X 6.1. Trouver deux suites (un() etvnesenlentuiva´eq)+telles queunconverge etvn nNnN diverge. X X 6.2. Trouver deux suites (un() etvn) tellesque|vn| ≤ |un|avecunconverge etvn nNnN diverge. X 6.3. Trouver deux suites (un() etvnque) telles|vn| ≤ |un|,unvn>0 avecunconverge et nNnN X vndiverge. X X 6.4. Trouver une suite (un) tellequeunconverge etln(1 +un) diverge. nN X X 6.5. Trouver une suite (un) tellequeunln(1 +diverge etun) converge. nN X n 6.6. Trouver une suite (unque () telle1)undiverge avecun0 etlimun= 0. nN n+Exercice 7 : Equivalents des sommes partielles et des restes [L?] un+1 ¯ Soit (unentpositstrictemuqlemifitsleelneuitsu)eta`semre´reelle=kR+. nN n+un X 7.1. Si 0k <1, donner en fonction deunuivan´eqdeulentRn=uk. k=n n X 7.2. Si 1< k+, donner en fonction deunivalentdenue´uqUn=uk. k=0 Exercice 8 : Equivalents – en pratique [M] n2n n X XX 1 1 8.1.Donnerun´equivalentdekde .de ,! , k k klnk k=1k=n k=2 Exercice9:Se´riesdoubles-Th´eor`emedeFubinipourlesse´ries[FGN1]   1 9.1. Soitaetbsrdeetcitnemlee´rtssmmsosteelbatrer.Montifsposilielfamauqle m n a+b m,nN ssia >1 etb >1.
3 X X 1 9.2. Etudier la convergence et calculer 2 2 m n+n m+ 2mn n1m1 Exercice10:Commutativite´destermes[G] ∗ ∗ Soitσune bijection deNdansN. X 1 10.1.Montrerquelase´rieconvergeetmajorerlasommedecettes´erieaumieuxparune (n) expressioninde´pendantedeσ. X σ(n) 10.2.Montrerquelas´eriedivergeetminorerlessommespartiellesdecettese´rieaumieux 2 n paruneexpressionind´ependantedeσ. X σ(n) 10.3. Quelle est la nature de? 3 n Exercice 11– Examen : Equivalents de sommes partielles et des restes [L, G; p. 213] n+X X Soit (unsuiter´eelle`ate)uenitoss.ifnoOntesemrirtsmetcptneUn=uketRn=uk. nN k=0k=n X X un 11.1.Supposonsquelas´erieundiverge. Montrer queconverge ssiα >1. α U n 11.2. On suppose de plus queun=o(Un). Exprimer en fonction deUnedseqn´untlevaui n+X un sommespartielles(resp.desrestes)delase´rielorsqueα1 (resp.α >1). α U n X X un 11.3.Supposonsquelas´erieunconverge ssiconverge. Montrer queα <1. α R n 11.4. On suppose de plus queun=o(Rn). Exprimer en fonction deRn´equivalnedtseun n+X un sommespartielles(resp.desrestes)delas´erielorsqueα1 (resp.α <1). α R n Exercice 12– Examen : Groupement de termes [P; p. 143 et M.; p. 120] 12.1.Montrerleth´eor`emesuivant: The´ore`me1.Soitϕune application strictement croissante deNdansNtelle queϕ(0) = 0, et une suiter´eelle(un). Si nN ϕ(n+1)1 X (i)lase´riedetermeg´ene´ralvn=ukconverge, k=ϕ(n) ϕ(n+1)1 X (ii) la suitedn=|uk|tend vers0, k=ϕ(n) ou (ii bis)(un)tsa`efs,sitiespoterm nN ou (ii ter)ϕ(n+ 1)ϕ(n)eobtse´nrteeuntend vers0, X XX alorslas´erieunestleergsieers´cnoevunetvn.ommeosemeˆmtn √ √ X X E(n)E(n) (1) (1) 12.2.Application 1 :ese´iqredsseuettesraelulanlet ? n n  p(n) X 1 12.3.Application 2 :quo`uenatarudeleelseltp(n) est le nombre de chiffres de p(n) X 1 l´ecritured´ecimaleden? Deunou`un0=isaledeutirce´mice´derviernt9islantdennetun= n sinon ? Exercice 13– Examen : Produit de convolution [P; p. 144] X X De´nition.SoitunetvnelppleO.anirse´exseudproduit de convolutionsxueire´eddseclaes n X X se´riewn`uown=ukvnk. k=0 X X 13.1. Montrer que siunetvnuxdentsoaseire´snemulosbvergtcons,alentepeorrolsedudti +++X XX X convolutionwntues´seneireosbaemulntconvergenteetwn=un×vn. n=0n=0n=0
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