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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
20 avril 2011 11:30 Page 1/4 2 0 1 1Mathématique 2 PC 4 heures Calculatrices autorisées Notations ? Dans tout le problème, n est un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2. ? On noteMn,p(R) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coefficients réels. ? En particulier, Mn,1(R) désigne l'ensemble des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. Selon l'usage, on pourra librement identifier les espaces vectorielsMn,1(R) et Rn. ? On note Mi,j le coefficient sur la i-ème ligne et j-ème colonne d'une matrice M . ? L'espace Mn,1(R) est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si (V,W ) ? Mn,1(R)2, on pose ?V,W ? = n∑ i=1 Vi,1Wi,1 et ?V ?2 = ( n∑ i=1 V 2i,1 )1/2 ? La notation tM désigne la transposée d'une matrice M , rg(M) son rang et, lorsque M est carrée, tr(M) sa trace. On rappelle que tr(AB) = tr(BA) pour tout A ?Mk,l(R) et B ?Ml,k(R).

  • ?wxi ?

  • coefficients diagonaux

  • application linéaire de rp dans rn canoniquement

  • matricew ?

  • base orthonormée de rp

  • matrice demn

  • affixes respectives des vecteurs x1

  • conclure sur la trace maximale

  • trace maximale


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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Mathématique 2
PC 4 heuresCalculatrices autorisées Notations Dans tout le problème,nest un entier naturel fixé, supérieur ou égal à2. On noteMn,p(R)l’ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes et à coefficients réels. En particulier,Mn,1(R)désigne l’ensemble des matrices colonnes ànlignes et à coefficients réels. Selon n l’usage, on pourra librement identifier les espaces vectorielsMn,1(R)etR. On noteMi,jle coefficient sur lai-ème ligne etj-ème colonne d’une matriceM. 2 L’espaceMn,1(R)est muni de sa structure euclidienne usuelle. En particulier, si(V, W)∈ Mn,1(R), on pose  !1/2 n n X X 2 hV, Wi=VV W i,1i,1etkVk2=i,1 i=1i=1 t La notationMdésigne la transposée d’une matriceM, rg(M)son rang et, lorsqueMest carrée, tr(M)sa trace. On rappelle que tr(AB) =tr(BA)pour toutA∈ Mk,l(R)etB∈ Ml,k(R). + ( On note égalementOn(R)le groupe des matrices orthogonales d’ordren,OnR)le sous-groupe deOn(R)for-inant positif etOl’ensemble de mé des matrices deOn(R)de détermn(R)s matrices deOn(R)de déterminant négatif. Par définition, une rotation est un automorphisme orthogonal de l’espaceMn,1(R)de déterminant1. Objectif du problème On se donne des vecteursX1, . . . , Xm, Y1, . . . , YmdeMn,1(R), et on cherche à déterminer, si c’est possible, une rotationrdeMn,1(R)telle que r(Xi) =Yipour16i6m + Cela revient à déterminer une matriceW∈ O(R)réalisant n W Xi=Yipour16i6m Sans hypothèse sur les vecteursXietYi, une telle rotation n’a pas de raison d’exister, ni d’tre unique. C’est + pourquoi on s’intéressera plutôt, dans la suite, au problème plus faible suivant : trouver une matriceW∈ O(R) n P m 2 minimisant la quantitékW XiYik, autrement dit telle qu’en un sens lesW Xiaussi prochessoient « i=1 2 que possible » desYi. I Questionspréliminaires I.A –Généralités sur les matrices orthogonales +I.A.1)Quel est le déterminant d’une matrice deO(R)? deO(R)? On justifiera les réponses. n n I.A.2)O(R)est-il un sous-groupe deOn(R)? n I.A.3)Montrer que les valeurs absolues des coefficients d’une matrice orthogonale sont inférieures ou égales à1. I.B –Un exemple numérique Dans cette section,n=m= 2. On pose    1 1  !! 2 2 22    X1=, X2=, Y1=, Y2=   0 33 2 2 2 On introduit les affixes respectives des vecteursX1, X2, Y1, Y2: √ √ √ √ 1 31 3 α1= 2, α2= 2+i2, β1= +i ,β2=+i 2 22 2
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I.B.1)Exprimer ces affixes sous forme trigonométrique puis simplifier pour tout réelθla quantité 22 f(θ) =|β1e α1|+|β2e α2| I.B.2)Déterminer les valeurs deθqui minimisentf(θ). Illustrer le résultat par un dessin. II Unproblème d’optimisation Dans cette partie, on fixe des élémentsX1, . . . , Xm, Y1, . . . , YmdeMn,1(R), et on se propose d’obtenir une P m 2 + matriceW∈ On(R)minimisantkWertains cas, une ma i=1XiYik2triceet, dans cW∈ O(R)minimisant n P m 2 kW XiYik. i=1 2 Dans toute cette partie, on noteX(respectivementY) la matrice deMn,m(R)dont les colonnes sontX1, . . . , Xm (respectivementY1, . . . , Ym). II.A –Un produit scalaire matriciel II.A.1)Montrer que l’application 2t Mn,m(R)R,(M, N)7→tr((M)N) est un produit scalaire surMn,m(R). On pose désormais 1/2 t hM, NiF=tr((M)N)etkMkF=hM, Mi F II.A.2)Montrer que, pour toute matriceW∈ Mn(R), on a m X 2 2 kW XiYik=kW XYk 2F i=1 2 II.A.3)SimplifierhW M, W NiFetkW MkFpourW∈ On(R)et(M, N)∈ Mn,m(R). 2 II.A.4)Simplifier aussihM W, N WiFetkM WkFpourW∈ Om(R)et(M, N)∈ Mn,m(R). II.B –Dans cette section, on suppose quem=n. II.B.1)CalculerkWkFpourW∈ On(R). II.B.2)Montrer que si une suite(Mk)kNd’éléments deOn(R)converge versM∈ Mn(R), alorsM∈ On(R) et en déduire queOn(R)est une partie fermée deMn(R). II.B.3)Montrer queOn(R)est une partie compacte deMn(R). II.C –Dans cette section,metnne sont plus supposés égaux. 2 ntkW XYk’est-à-dire vérifiant II.C.1)Justifier l’existence d’une matriceW∈ On(R)minimisaF, c 2 2 ∀ kW XYk Z∈ On(R),F6kZXYk F 2 (R) II.C.2)Montrer que les matricesW∈ On(R)minimisantkW XYkFsont les matricesW∈ On maximisanthW X, YiF. II.C.3)Déterminer à l’aide deXetYune matriceA∈ Mn(R)telle que, pour toute matriceW∈ On(R), hW X, YiF=hW, AiF II.D –Dans cette section,Δdésigne une matrice diagonale d’ordrenà coefficients positifs. 0 0 II.D.1)Déterminer une matriceW∈ On(R)maximisanthW ,ΔiF. II.D.2)On suppose de plus que les coefficients diagonaux de la matriceΔvérifient : Δ1,1>. . .>Δr,r>0etΔi,i= 0pourr+ 16i6n (avec éventuellementr=ndans le cas où tous les coefficients diagonaux deΔsont non nuls). Déterminer toutes 0 0 les matricesW∈ On(R)maximisanthW ,ΔiF. t2 II.E –Dans cette section, on admet queApeut s’écrire sous la formeQΔ(P)avec(Q, P)∈ On(R) etΔ∈ Mn(R)diagonale avec des coefficients diagonaux vérifiantΔ1,1>. . .>Δn,n>0. Ce résultat sera démontré dans lapartie III. II.E.1)Déterminer à l’aide dePetQune matriceW∈ On(R)maximisanthW, AiF, et appartenant à + O(R)si et seulement sidetPdetQ >0. n + II.E.2)Montrer que sidetA >0, il existe une unique matriceW∈ O(R)maximisanthW, AiF, au sens où n + ∈ O Zn(R),hW, AiF>hZ, AiF
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0 − II.E.3)Dan atriceWaximisant s cette question, on suppose queΔn,n= 0. Déterminer une m∈ On(R)m 0 hW ,ΔiF. II.E.4)Dans cette question, on suppose quedetA= 0et quedetPdetQ <0. Déduire de la question + précédente une matriceW∈ O(R)maximisanthW, AiF. n III Unedécomposition matricielle L’objectif de cette partie est d’établir le résultat admis dans la partie précédente. SoitM∈ Mn,p(R)de rangr>1. t III.A –SoitB= (M)M. III.A.1)Montrer queBest une matrice symétrique réelle. Que peut-on en déduire? t III.A.2)Montrer queBest positive, c’est-à-dire que pour toutV∈ Mp,1(R),(V)BV>0. En déduire que les valeurs propres deBsont positives. III.A.3)Montrer quekerB= kerM. En déduire que rg(B) =r. (Métant une matrice deMn,p(R), on pose kerM={X∈ Mp,1(R)X, M= 0}.) III.B –Dans la suite de cette partie, on note : p n fl’application linéaire deRdansRcanoniquement associée àM, p gl’endomorphisme deRcanoniquement associé àB, λ1, . . . , λples valeurs propres (distinctes ou non) degrangées par ordre décroissant : λ1>λ2>. . .>λr>0 =λr+1=. . .=λp p et enfin(v1, . . . , vp)une base orthonormée deRformée de vecteurs propres degassociés respectivement aux valeurs propresλ1, . . . , λp. 1 III.B.1)On poseµi=λipour16i6petui=f(vi)pour16i6r. Montrer que(u1, . . . , ur)est une µi base orthonormée de Im(f). III.B.2)SoitΔ = (Δi,j)∈ Mn,p(R)la matrice dont les seuls coefficients non nuls sontΔ1,1, . . . ,Δr,rqui valentµ1, . . . , µr. Montrer qu’il existeQ∈ On(R)etP∈ Op(R)telles que 1t M=QΔP=QΔ(P) IV Surla trace des matrices orthogonales Dans cette partie, on étudie la trace maximale d’une matrice deO(R), ce qui va permettre d’aboutir dans les n P m + 2 cas laissés en suspens dans lapartie IIà une matriceW∈ O(R)minimisantkW XiYik. n i=1 2 IV.A – IV.A.1)Déterminer la trace maximale d’une matrice deOn(R). IV.A.2)SoitEun espace vectoriel euclidien, etwun automorphisme orthogonal deE. Justifier que les seules valeurs propres possibles pourwsont1et1. IV.A.3)Montrer que1est valeur propre de toute matriceW∈ O(R). n IV.A.4)Montrer que siFest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidienE, stable par un automorphisme orthogonalwdeE, alors l’orthogonal deFest aussi stable parw. + R), il existeP∈ O(R) IV.A.5)Montrer que pour toutW∈ O(1n(R)etW1∈ On1tels que n  ! 1 01,n1 t W=P1(P1) 0n1,1W1 0k,ldésigne la matrice nulle dansMk,l(R). IV.A.6)Conclure sur la trace maximale d’une matrice deO(R). n P m 2 IV.B –On rappelle que minimiserkW XiYikrevient à maximiserhW, AiFavecA∈ Mn(R)une i=1 2 t2 certaine matrice qui peut s’écrire sous la formeQΔ(P)avec(P, Q)∈ On(R)etΔ∈ Mn(R)diagonale, à coefficients diagonaux vérifiant Δ1,1>. . .>Δn,n>0 0 −0 0 atriceW∈ O(R)maximisanthW ,Δi IV.B.1)Déterminer une mn Fen commençant par écrirehW ,ΔiFà 0 0 l’aide de tr(W)et des coefficientsW, pour16i6n1. i,i + IV.B.2)En déduire, lorsquedetPdetQ <0, ceWune matriOn(R)maximisanthW, AiF.
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V Calculnumérique + Dans cette partie, on étudie un algorithme permettant de calculer de manière approchée une matriceW∈ O(R) n P m 2 minimisantkW Xmatricespo nesY. i=1iYik2ur certai V.A –Étude d’une suite de réels On considèreEl’ensemble des suites(xk)kNde réels vérifiant : 2 x+ 3 k x0>0etxk+1=xkpourkN 2 3x+ 1 k V.A.1)Écrire une instruction en Maple ou Mathematica permettant de calculer les trente premiers termes de la suite(xk)kN∈ Etelle quex0= 0,1. V.A.2)Représenter graphiquement le comportement d’une suite(xk)kN∈ Epour unx0>0quelconque. On effectuera les calculs nécessaires à une représentation soignée. V.A.3)Démontrer la convergence d’une telle suite et préciser sa limite. V.B –Étude d’une suite de matrices On considèreFl’ensemble des suites(Zk)kNde matrices deMn(R)vérifiant les deux conditions suivantes : i.Z0est inversible; t t1 ii.Zk+1=Zk(ZkZk+ 3In)(3ZkZk+In)pourkN(Indésigne la matrice identité d’ordren). t V.B.1)Montrer que pour toute matriceZ∈ Mn(R), la matrice3ZZ+Inest bien inversible. t V.B.2)Soit(Zk)kN∈ F. D’après la deuxième partie,Z0peut s’écrire sous la formeQD(P)avec(Q, P)2 On(R)etD∈ Mn(R)diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs. On définit, pour toutkN, t l’assertionPkainsi :«Zkpeut s’écrire sous la formeQDk(P)avecDkdiagonale à coefficients diagonaux strictement positifs ». Montrer que pour toutkN,Pkest vraie. V.B.3)Déterminer la limite de la suite(Zk)kN. V.C –Une application On fixeX1, . . . , Xmdes éléments deMn,1(R), et on noteXla matrice deMn,m(R)dont les colonnes sont + X ,. . . , X. On fixe égalementW∈ OR) 1m0n(, et on poseY0=W0X. On suppose de plus la matriceXde rang n. V.C.1)Montrer qu’il existe un ouvertUdeMn,m(R)contenantY0tel que pour toutY∈ U, l’on ait t det(Y(X))>0. V.C.2)Dans le cas oùY∈ U, quelle valeur donner àZ0pour que la suite(Zk)kN∈ Fconverge vers P m + 2 W∈ O(R)minimis nantkW XiYik2? i=1
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