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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
20 avril 2011 11:27 Page 1/4 2 0 1 1Mathématiques 2 MP 4 heures Calculatrices autorisées Rappels et notations Pour tout entier naturel non nul n, on note : ? [[1;n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 1 6 k 6 n ; ? Mn(R) (respectivementMn,1(R)) l'espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes (respecti- vement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans R ; ? Sn(R) le sous-espace vectoriel deMn(R) constitué des matrices symétriques. Soit n ? N? et A ? Sn(R) ; on dit que A est positive (respectivement définie positive) si : ?X ?Mn,1(R), tXAX > 0 (respectivement tXAX > 0 si X 6= 0). L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté R[X], et, pour tout entier naturel p, le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté Rp[X]. Objectifs La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices réelles définies positives, à l'aide des déterminants de certaines matrices extraites. La deuxième partie aborde l'étude d'une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l'aide d'une intégrale.

  • caractérisation des matrices réelles

  • somme des coefficients de h?1n

  • ?n ?

  • espaces vectoriels de polynômes

  • base canonique de rn?1

  • matrice hn

  • coefficients de h?1n


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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Mathématiques 2 MP 4 heuresCalculatrices autorisées
Rappels et notations Pour tout entier naturel non nuln, on note : [1;n]l’ensemble des entiers naturelsktels que16k6n; − Mn(R)(respectivementMn,1(R)) l’espace vectoriel des matrices carrées ànlignes etncolonnes (respecti-vement l’espace vectoriel des matrices colonnes ànlignes) à coefficients dansR; − Sn(R)le sous-espace vectoriel deMn(R)constitué des matrices symétriques. SoitnNetA∈ Sn(R); on dit queAest positive (respectivement définie positive) si : t t X∈ Mn,1(R), XAX>0 (respectivementXAX >0siX6= 0). L’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est notéR[X], et, pour tout entier naturelp, le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àpest notéRp[X]. Objectifs La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices réelles définies positives, à l’aide des déterminants de certaines matrices extraites. La deuxième partie aborde l’étude d’une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l’aide d’une intégrale. La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont certaines propriétés sont étudiées dans lapartie IV. I Caractérisationdes matrices symétriques définies positives I.A –SoitnNetA∈ Sn(R). I.A.1)Montrer queAest positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. I.A.2)Montrer queAest définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. (i) I.B –PournN,A∈ Sn(R)eti[1;n], on noteAla matrice carrée d’ordreiextraite deA, constituée par lesipremières lignes et lesipremières colonnes deA. Le but de cette question est de démontrer l’équivalence suivante : (i) Aest définie positive⇐⇒ ∀i[1;n],det(A)>0. I.B.1)SoitA∈ Sn(R). On suppose queAest définie positive. (i) (i) Pour touti[1;n], montrer que la matriceAest définie positive et en déduire quedet(A)>0. (i) Pour toutnN, on dira qu’une matriceAdeSn(R)vérifie la propriétéPnsidet(A)>0pour touti[1;n]. I.B.2)Dans les cas particuliersn= 1etn= 2, montrer directement que toute matriceA∈ Sn(R)vérifiant la propriétéPnest définie positive. I.B.3)SoitnN. On suppose que toute matrice deSn(R)vérifiant la propriétéPnest définie positive. On considère une matriceAdeSn+1(R)vérifiant la propriétéPn+1et on suppose par l’absurde queAn’est pas définie positive. a)Montrer alors queAadmet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives. t b)En déduire qu’il existeX∈ Mn+1,1(R)dont la dernière composante est nulle et tel queXAX <0. c)Conclure. I.C –SoitAune matrice deSn(R). A-t-on l’équivalence suivante : (i) Aest positive⇐⇒ ∀i[1;n],det(A)>0 ? I.D –Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en entrée une matrice M∈ Sn(R)et qui, en utilisant la caractérisation duI.B, renvoie « true » si la matriceMest définie positive, et « false » dans le cas contraire.
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II Étuded’une suite de polynômes On définit la suite de polynômes(Pn)nNpar : P0= 1 n nN, Pn= [X(X1)] De plus, on pose : Z 1 2 (P, Q)(R[X]),hP, Qi=P(t)Q(t)dt. 0 II.A –Montrer que l’application(P, Q)7→ hP, Qiest un produit scalaire surR[X]. (n) n notePpoly II.B –Ondérivéle nômenfois dePn. (n) (n) Déterminer le degré dePet calculerP(1). n n On définit la suite de polynômes(Ln)nNpar : L0= 1 1 (n) . nN, Ln=Pn (n) Pn(1) II.C –SoitnN. Montrer que, pour toutQRn1[X],hQ, Lni= 0. Indication : on pourra intégrer par parties. II.D – Z 1 II.D.1)Pour toutnN, on poseIn=Pn(u)du. 0 Calculer, pour toutnN, la valeur deIn. 1 II.D.2)En déduire pour toutnNla relation :hLn, Lni=. 2n+ 1 II.E –Déterminer une famille de polynômes(Kn)nNvérifiant les deux conditions suivantes : i. pourtoutnN, le degré deKnvautn;et son coefficient dominant est strictement positif ii. pourtoutNN,(Kn)06n6Nest une base orthonormale deRN[X]pour le produit scalaireh∙,∙i. Justifier l’unicité d’une telle famille. II.F –CalculerK0,K1etK2. III Matricesde Hilbert Pour toutnN, on définit la matriceHnpar : 1 2 (i, j)[1;n],(Hn)i,j= i+j1 (Hn)i,jdésigne le coefficient de place(i, j)de la matriceHn. On note de plusΔn= det(Hn). III.A –Étude de quelques propriétés deHn III.A.1)CalculerH2etH3. Montrer que ce sont des matrices inversibles et déterminer leur inverse. Dans les questions suivantes deIII.A, on désigne parnun entier naturel non nul. III.A.2)Montrer la relation : 4 (n!) Δn+1= Δn (2n)! (2n+ 1)! Indication : on pourra commencer par soustraire la dernière colonne deΔn+1à toutes les autres. m1 Y III.A.3)En déduire l’expression deΔnen fonction den(on fera intervenir les quantitéscm=i!pour i=1 des entiersmadéquats). 1 n entier. III.A.4)Prouver queHnest inversible, puis quedet(Hn)est u III.A.5)Démontrer queHnadmetnvaleurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) strictement positives.
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III.B –Approximation au sens des moindres carrés 0 On noteC([0; 1],R)l’espace vectoriel des fonctions continues de[0; 1]dansR. On convient d’identifier l’espace 0 R[X]au sous-espace vectoriel deC([0; 1],R)constitué des fonctions polynomiales de[0,1]dansR; ainsi, pour i ii tout entier natureli, le polynômeXest confondu avec la fonction polynomiale définie parX(t) =tpour tout t[0,1]. 0 On étend àC([0; 1],R)le produit scalaireh∙,∙ide lapartie IIen posant Z 1 0 f, gC([0; 1],R),hf, gi=f(t)g(t)dt. 0 0 (On ne demande pas de vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire surC([0; 1],R).) 0 On notek ∙ kla norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonctionfC([0; 1],R), on a donc p kfk=hf, fi III.B.1)SoitnN. Montrer qu’il existe un unique polynômeΠnRn[X]tel que kΠnfk= minkQfk QRn[X] III.B.2)Montrer que la suite(kΠnfk)nNest décroissante et converge vers0. III.B.3)Montrer queHnest la matrice du produit scalaireh∙,∙i, restreint àRn1[X], dans la base canonique deRn1[X]. 1i et III.B.4)Calculer les coefficients deΠnà l’aide de la matriceHn+1des réelshf, Xi. 1 III.B.5)Déterminer explicitementΠ2lorsquefest la fonction définie pour toutt[0,1]parf(t) =. 2 1 +t 1 IV Propriétésdes coefficients deHn 1 IV.A –Somme des coefficients deH n (1,n) 21 PournNet(i, j)[1, n], on notehle coefficient de place(i, j)de la matriceHet on désigne par i,j n 1 snla somme des coefficients de la matriceH, c’est-à-dire : n X (1,n) sn=h i,j 16i,j6n IV.A.1)Calculers1,s2ets3. Conjecturer de manière générale la valeur desnen fonction den. IV.A.2)SoitnN. (n) a)Montrer qu’il existe un uniquen-uplet de nombres réels(a)06p6n1vérifiant le système denéquations p linéaires àninconnues suivant : (n) (n) a a (n) 1n1 a+ +∙ ∙ ∙1+ = 0 2n (n) (n) (n) aa a 0 1n1 + +∙ ∙ ∙1+ = 2 3n+ 1 . .. . (n) (n) (n) a a1an1 0 + +∙ ∙ ∙+ =1 n n2+ 1n1 n1 X (n) b)Montrer quesn=ap. p=0 (n) (n) (n) n1 +a X. On définit, pour toutnN, le polynômeSnpar :Sn=a0 1X+∙ ∙ ∙+an1 Dans les questions suivantes deIV.A, on désigne parnun entier naturel non nul. IV.A.3)Montrer que n1 X n1 Q=α0+α1X+∙ ∙ ∙+αn1XRn1[X],hSn, Qi=αp p=0 IV.A.4)Exprimersnà l’aide de la suite de polynômes(Kp)pNdéfinie à laquestion II.E. IV.A.5)Pour toutp[0;n1], calculerKp(1). IV.A.6)Déterminer la valeur desn.
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1 IV.B –Les coefficients deHsont des entiers n    n nn! PournNetk[0;n], on notele coefficient binomial=. k kk! (nk)!   2p IV.B.1)SoitpNest un entier pair.. Montrer que p  n+p n En déduire que, sinNetp[1;n], alorsest un entier pair. p p IV.B.2)Pour toutnN, montrer qu’on peut écrire : Kn= 2n+ 1 Λn
Λnest un polynôme à coefficients entiers que l’on explicitera. Parmi les coefficients deΛn?, lesquels sont pairs IV.B.3) SoitnN. (1,n) (1,n) a)Calculerhpour touti[1;n]; on donnera en particulier une expression très simple dehet i,i1,1 (1,n) hen fonction den. n,n (1,n) 21 b)Calculerhpour tout couple(i, j)[1;n]; en déduire que les coefficients deHsont des entiers. i,j n (1,n) 2 c)Montrer quehest divisible par4pour tout couple(i, j)[2;n]. i,j
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