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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
26 avril 2010 17:32 Page 1/4 2009-009 2 0 1 0Mathématiques II PC 4 heures Calculatrices autorisées Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part indépendante des deux autres. I Systèmes de racines Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et en cristallographie. Le couple (E, ?., .?) désigne un espace euclidien de dimension n ≥ 1. On note ? . ? la norme associée au produit scalaire ?., .?. On rappelle qu'une réflexion de E est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de E. Pour tout élément ? non nul de E, on note ?? la réflexion de E par rapport à l'orthogonal de la droite Vect(?). I.A – Soit ? un élément non nul de E. Montrer, pour tout vecteur x de E, l'identité : ??(x) = x? 2 ??, x? ??, ?? ? Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on appelle système de racines de F une partie non vide R de F vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. R est fini, engendre F et ne contient pas le vecteur nul ; 2. pour tout ? dans R, on a ??(R) = R ; 3.

  • e?

  • produit scalaire

  • e? de l'unique produit scalaire

  • ??? ???

  • trace de la matrice m2

  • ???

  • caractérisation des matrices nilpotentes


Publié le : jeudi 1 avril 2010
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Mathématiques II PC 4 heuresCalculatrices autorisées
Les parties I et II sont indépendantes. La partie III est pour une large part indépendante des deux autres. I Systèmesde racines Les systèmes de racines interviennent dans divers domaines des mathématiques et en cristallographie. Le couple(E,h., .i)désigne un espace euclidien de dimensionn1. On notek.kla norme associée au produit scalaireh., .i. Onrappelle qu’uneréflexiondeEest une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan deE. Pour tout élémentαnon nul deE, on noteταla réflexion deEpar rapport à l’orthogonal de la droite Vect(α). I.A –Soitαun élément non nul deE. Montrer, pour tout vecteurxdeE, l’identité : hα, xi τα(x) =x2α hα, αi Pour tout sous-espace vectorielFdeE, on appellesystème de racinesdeFune partie non videRdeFvérifiant les quatre propriétés suivantes : 1.Rest fini, engendreFet ne contient pas le vecteur nul; 2. pourtoutαdansR, on aτα(R) =R; 3. pourtoutαdansR, les seuls éléments deRcolinéaires àαsontαetα; hα, βi 2 4. pourtout couple(α, β)dansR, on a2Z. hα, αi I.B –On suppose dans cette question que l’espaceEest de dimension 1. Montrer que les systèmes de racines deEsont les ensembles{α,α}, avecαE\ {0}. I.C –Dans cette question, l’espaceEest de dimensionn2. Pour tout couple(α, β)de vecteurs non nuls deE, soitθα,βl’angle géométrique entreαetβ, c’est-à-dire l’unique élément de[0, π]donné par :kαk.kβkcosθα,β=hα, βi. I.C.1)SoitRun système de racines deEet soientα, βdeux éléments deRnon colinéaires. kαk kβk a)Montrer, à l’aide de la propriété 4, que :2|cosθα,β|.2|cosθα,β| ≤3. kβk kαk b)On supposekαk ≤ kβk. Montrer que le couple(α, β)se trouve dans l’une des configurations recensées dans le tableau ci-dessous (chaque ligne correspondant à une configuration) : θα,βcosθα,βkβk/kαk π/201 π/3 1/21 2π/31/21 √ √ π/4 2/2 2 √ √ 3π/42/2 2 √ √ π/6 3/2 3 √ √ 5π/63/2 3 I.C.2)Réciproquement, on suppose qu’un couple(α, β)de vecteurs non colinéaires deEse trouve dans hα, βi l’une des configurations recensées dans le tableau ci-dessus. Montrer que le réel2; enest un entier relatif hα, αi préciser la valeur. I.D –Dans cette question, l’espaceEest de dimensionn= 2. Pour tout système de racinesRdeE, on pose 2 θR= min{θα,β|(α, β)∈ R, α6=βetα6=β} I.D.1)Montrer queθRest bien défini et est égal àπ/2,π/3,π/4ouπ/6. I.D.2)Pour chaque valeur dek∈ {2,3,4,6}, représenter graphiquement un système de racinesRktel que θRk=π/k.Il n’est pas nécessaire de justifier que les figures tracées représentent bien des systèmes de racines. Quel est le cardinal deRk?Aucune justification n’est attendue. I.E –Dans cette question, l’espaceEest de dimensionn= 3.
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Soient(e1, e2, e3)une base orthonormale deEetR0={eiej|1i, j3, i6=j}. I.E.1)Montrer que le sous-espace vectoriel deEengendré par la partieR0est un plan vectoriel. I.E.2)Représenter graphiquementR0dans le planVect(R0).Reconnaître l’un des systèmes de racines représentés à la question I.D.2. II PropriétésdeM0(n,K) La lettrendésigne un entier supérieur ou égal à 1. On noteKle corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes. On note respectivementM(n,K),GL(n,K),D(n,K)l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients dansK, le groupe des matrices inversibles deM(n,K), le sous-espace vectoriel deM(n,K) formé des matrices diagonales. On désigne parM0(n,K)l’ensemble des matrices deM(n,K)de trace nulle. On noteInla matrice identité et0la matrice nulle deM(n,K). r On dit qu’une matriceAdeM(n,K)estnilpotentes’il existe un entier naturel non nulrtel queA= 0. De la mme manière, on dit qu’un endomorphismefestnilpotents’il existe un entier naturel non nulrtel que f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f= 0. | {z } rfois Pour tout couple(A, B)d’éléments deM(n,K), lecrochet[A, B]est défini par[A, B] =ABBA. Pour toutA∈ M(n,K), on définit l’endomorphisme ΦA:M(n,K)−→ M(n,K) B7[A, B] On dit qu’un triplet(X, H, Y)de trois matrices non nulles deM(n,K)est untriplet admissiblesi les trois relations suivantes sont vérifiées : [H, X] = 2X; [X, Y] =H; [H, Y] =2Y On pose :      0 11 00 00 1 X0= ;H0= ;Y0= ;J0= 0 001 101 0 II.A –Généralités II.A.1)Montrer queM0(n,K)est unK-espace vectoriel; en préciser la dimension. II.A.2)Justifier que, pour tout couple(A, B)d’éléments deM(n,K), la matrice[A, B]appartient à M0(n,K). II.B –Un isomorphisme Montrer que l’application 3 j:K−→ M0(2,K)     x x y+z   y7yzx z est un isomorphisme deK-espaces vectoriels. II.C –Caractérisation des matrices nilpotentes SoitAune matrice non nulle deM0(2,K). Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i. LamatriceA;est nilpotente ii. Lespectre deAest égal à{0};   0 1 iii. La matriceAest semblable à la matrice. 0 0 II.D –Le cas complexe On suppose dans cette question queKest égal àC. II.D.1)Montrer que deux matrices non nulles deM0(2,C)sont semblables si et seulement si elles ont le mme polynôme caractéristique. II.D.2)Ce résultat reste-t-il vrai pour deux matrices non nulles deM0(n,C), avecn3? II.E –Le cas réel On suppose dans cette question queKest égal àR. 2 2 II.E.1)SoitAune matrice deM0(2,R). On suppose que son polynôme caractéristique vautX+r, oùr est un réel non nul. 1 22 a)Justifier l’existence d’une matricePGL(2,C)vérifiant :irH0=P AP. Que vaut la matriceA+r I2?
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2 b)Soitfl’endomorphisme deRcanoniquement associéà la matriceA, c’est-à-dire qui à un vecteur colonne   2 21 udeRassocie le vecteurAu. Soitwun vecteur non nul deR. Prouver que la famillef(w), west une base r 2 deR, et donner la matrice defdans cette base. II.E.2)Montrer que deux matrices non nulles deM0(2,R)sont semblables dansM(2,R)si et seulement si elles ont le mme polynôme caractéristique. 3 II.E.3)On munit l’espace vectorielRde sa structure affine euclidienne canonique et de son repère canonique. 3 Pour toute matriceAdeM0(2,R), on noteQAl’ensemble des points deRdont l’image par l’applicationj possède le mme polynôme caractéristique queA. a)Soitrun réel strictement positif. Montrer que chacune des partiesQX0,QrJ0etQrH0est une quadrique dont on précisera une équation. b)Représenter graphiquement l’allure des quadriquesQX0,QJ0etQH0sur un mme dessin. II.F –Un lemme SoientA,BetMtrois éléments deM0(2,K). 2 II.F.1)Exprimer la trace de la matriceMen fonction du déterminant deM. 2 II.F.2)Démontrer que la matriceMest nilpotente si et seulement si la trace de la matriceMest nulle. II.F.3)On suppose que les matricesAet[A, B]commutent. Démontrer que la matrice[A, B]est nilpotente. II.G –Description des triplets admissibles deM0(2,K) II.G.1)Déterminer les matricesMdeM(2,K)qui commutent avecX0. Quelles sont les matricesMde M0(2,K)qui commutent avecX0? 111 II.G.2)SoitPune matrice deGL(2,K). Vérifier que(P X0P ,P H0P YP ,0P)est un triplet admissible. On se propose de démontrer que, réciproquement, tous les triplets admissibles deM0(2,K)sont de cette forme. Pour toute la suite de la question II.G, soientX, H, Ytrois éléments deM0(2,K)tels que(X, H, Y)forme un triplet admissible. II.G.3)Montrer en utilisant les questions II.F et II.C qu’il existe une matriceQGL(2,K)vérifiant 1 X=QX0Q. On fixe pour la suite de la question II.G une telle matriceQGL(2,K).    1 0 II.G.4)On définit les vecteursu=Qetv=Q. 0 1 a)En calculant le vecteur[H, X]ude deux manières différentes, démontrer queuest un vecteur propre de la matriceH. b)En calculant le vecteur[H, X]vde deux manières différentes, prouver l’existence d’un scalairetvérifiant   1t 1 l’identité :H=Q Q. 01 1 c)Trouver une matriceTGL(2,K)commutant avecX0et vérifiant la relationH=QT H0(QT). On pose désormaisP=QT. 0 0 II.G.5)SoitY∈ M0(2,K)telle que(X, H, Y)soit un triplet admissible. a)Déduire de la question II.G.1 les matrices deM0(2,K)qui commutent avecX. 0 0 b)Calculer les matricesΦX(YY)etΦH(YY). 0 c)En déduire que l’on aY=Y. 111 II.G.6)Démontrer l’identité(X, H, Y) = (P X0P HP ,0P ,P Y0P). III Systèmesde racines et triplets admissibles d’un sous-espace de M(n,K) III.A –Diagonalisation simultanée SoitVunK-espace vectoriel de dimension finie non nulle. III.A.1)Soientfun endomorphisme deVdiagonalisable etWun sous-espace non nul deVstable parf. Montrer que l’endomorphisme deWinduit parfest diagonalisable. III.A.2)Soientfetgdeux endomorphismes deVqui commutent, c’est-à-dire tels quefg=gf. Montrer que les sous-espaces propres defsont stables parg. III.A.3)SoitIun ensemble non vide et soit{fi|iI}une famille d’endomorphismes deVdiagonalisables commutant deux à deux. Montrer qu’il existe une base deVdans laquelle les matrices des endomorphismesfi, pouriI, sont diagonales.Indication : on pourra traiter d’abord le cas où tous les endomorphismesfisont des homothéties, puis raisonner par récurrence sur la dimension deV.
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III.B –Application On reprend dans cette partie les notations de la partie II. SoitAun sous-espace vectoriel non nul deM(n,K)stable par crochet, c’est-à-dire vérifiant : (A, B)∈ A × A,[A, B]∈ A On noteEl’intersection deAetD(n,K). III.B.1)SoitHun élément deE. a)Calculer l’image parΦHde la base canonique deM(n,K). En déduire queΦHest un endomorphisme diagonalisable deM(n,K). b)Montrer qu’il existe une base deAdans laquelle les matrices des endomorphismes deAinduits par les ΦH, pourH∈ E, sont diagonales. Pour toute applicationλdeEdansK, on pose : Aλ={M|∈ AΦH(M) =λ(H)Mpour toutH}∈ E III.B.2)Soitλune application deEdansK. a)Montrer queAλest un sous-espace vectoriel deA. b)Montrer que siAλest non réduit à{0}, alorsλest une forme linéaire deE. ∗ ∗ On noteEl’espace vectoriel des formes linéaires deEetS(A)l’ensemble des élémentsλdeE \{0}tels que Aλest différent de{0}. III.C –Un exemple On reprend dans cette question les notations des parties I et II ainsi que de la question III.B. On suppose désormais  A B3t t A=|(A, B, C)(M(2,R)), B=BetC=C t CA t où, pour toutM∈ M(2,R), le symboleMdésigne la transposée deM.  D0 On a doncE=|D∈ D(2,R). 0D III.C.1)Montrer queAest un sous-espace vectoriel deM(4,R)stable par crochet. Montrer qu’on aA0=E, A0désigneAλlorsqueλest la forme linéaire nulle. Donner une base deA0.   D0 III.C.2)Pourk∈ {1,2}, on noteekl’élément deE,qui à toute matrice 0D   d10 D=∈ D(2,R), associe le coefficientdk. 0d2 a)Vérifier que(e1, e2)forme une base deE. On munitEde l’unique produit scalaire faisant de(e1, e2)une base orthonormale. b)SoitR={e1e2, e2e1, e1+e2,e1e2,2e1,2e1,2e2,2e2}. Montrer que l’ensembleRest un ∗ ∗ système de racines deE.On pourra pour cela dessiner la partieRdans le plan euclidienEet reconnaître l’un des systèmes de racines rencontrés dans la question I.D III.C.3)Soitα∈ R. Déterminer par le calcul le sous-espace vectorielAα. Vérifier queAαest une droite vectorielle. M III.C.4)Établir la relationA=A0⊕ Aα. α∈R III.C.5)Démontrer l’égalitéS(A) =R.    1 00 00 0 00 000 1 01 0 0    III.C.6)On pose désormaisα=e1e2,β= 2e2,Hα=etHβ=.    0 00 0 001 0 0 00 10 0 01 a)En utilisant les résultats de la question III.C.3, montrer qu’il existe un couple(Xα, Xα)∈ Aα× Aαet un couple(Xβ, Xβ)∈ Aβ× Aβtels que(Xα, Hα, Xα)et(Xβ, Hβ, Xβ)soient des triplets admissibles de A. On fixe deux tels triplets admissibles. b)Montrer queAest le plus petit sous-espace vectoriel deM(4,R)stable par crochet et contenant les matricesXα,Hα,Xα,Xβ,HβetXβ. • • •FIN• • •
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