BTS Groupement A

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Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
BTS Groupement A 2002 EXERCICE 1 12 points La fonction échelon unité U est définie par U (t)= 0 si t < 0 et U (t)= 1 si t > 0. On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous : e(t) s(t) On note s le signal de sortie associé au signal d'entrée e. Les fonctions s et e sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour t < 0. On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E . La fonction de transfert H du système est définie par : S(p)=H(p)?E (p). On considère le signal d'entre e défini par : e(t)= tU (t)?2U (t ?1)? (t ?2)U (t ?2) et la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par H(p)= 1 p+1 . 1. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal. 2. Pour p > 0, déterminer E (p). 3. Déterminer tes nombres réels A, B , et C tels que, pour tout p > 0, on ait : 1 p2(p+1) = A p2 + B p + C p+1 On admet que : 2 p(p+1) = 2 p ?

  • solution particulière

  • repère orthonormal

  • coefficients directeurs des demi

  • signal de sortie

  • tangentes oudemi-tangentes

  • tangente

  • cm sur l'axe des ordonnées

  • axe de symétrie

  • système différentiel


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EX E R C IC E1 La fonction échelon unitéUest définie par
U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sit>0.
On considère le système « entrée  sortie »représenté cidessous : e(t)s(t)
12 points
On notesle signal de sortie associé au signal d’entréee. Les fonctionssetesont des fonctions causales, c’estàdire qu’elles sont nulles pourt<0. On admet que les fonctionsseteadmettent des transformées de Laplace, notées respectivementSet E. La fonction de transfertHdu système est définie par :S(p)=H(p)×E(p). On considère le signal d’entreedéfini par :
e(t)=tU(t)2U(t1)(t2)U(t2) 1 et la fonctionHdéfinie sur ]0 ;+∞[ parH(p)=. p+1 1.Tracer la courbe représentative de la fonctionedans un repère orthonormal. 2.Pourp>0, déterminerE(p). 3.Déterminer tes nombres réelsA,B, etCtels que, pour toutp>0, on ait : 1A BC = ++ 2 2 p(p+1)p pp+1 On admet que : 2 22 = − p(p+1)p p+1 4. a.DéterminerS(p) puiss(t). b.En déduire que la fonctionsest définie par : s(t)=0 sit<0 t s(t)=t1+e si06t<1 t s(t)=t3+e (1+2e) si 16t<2  ¡¢ t2 s(t)=e 1+2ee sit>2 ¡ ¢ + 5.On rappelle que la notationf areprésente la limite de la fonctionflorsque ¡ ¢ + la variablettend versapar valeurs supérieures :f a=limf(t). De même, ta t>a f(a)=limf(t). ta t<a ¡ ¢¡ ¢ + − + − a.Calculers1 ,s,(1 )s2 ,s(2 ).Que peuton en conclure pour la fonctionslorsquet=1 ett=2 ? b.Calculers(t) sur chacun des intervalles ]0 ;1[, ]1 ;2[ et ]2 ;+∞[. On admet quesest strictement positive sur ]0 ; 1[]2 ;+∞[. Déterminer le signe des(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[. c.Calculer la valeur exacte des[ln(1+2e)]. Déterminerlims(t) et dresser t→+∞ le tableau des variations de la fonctionssur ]0 ;+∞[.
Brevet de technicien supérieur S
¡ ¢¡ ¢ ′ +′ −′ +′ − d.Calculers1 ,s(1 ),s2 ,s(2 ).On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demitangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbeΓreprésen tative de la fonctions. ³ ´ 6.On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonnées. a.Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numé 2 riques seront données à 10près. t1,4 1,62 2,5 3 3,51 1,2 s(t) b.Tracer alors les tangentes ou demitangentes à la courbeΓreprésentative de la fonctionsaux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbeΓ.
EX E R C IC E2 8points On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en déterminer une solution particulière. ½ x(t)+2y(t)= −2 sint(E1) (S) 2x(t)y(t)= −2 cost(E2) Les fonctionsxetysont des fonctions de la variable réellet, deux fois dérivables sur R. Partie A 1.Montrer en utilisant les équations (E1) et (E2) que la fonctionxvérifie, pour touttdansR, l’équation différentielle : ′′ x(t)+4x(t)= −6 cost(E) 2.Résoudre surRl’équation différentielle (E). En déduire les solutions du sys tème (S). 3.Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions ini tialesx(0)= −1 ety(0)=0. Partie B On considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique ½ x=f(t)=cos(2t)2 cost y=g(t)=sin(2t)2 sint test un réel appartenant à l’intervalle [π;+π]. 1.Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculantf(t) et g(t). 2. a.Calculerf(t). µ ¶µ ¶ t3t Montrer que :f(t)= −cos .4 sin 2 2 b.Établir le signe def(t) sur l’intervalle [0 ;π]. µ ¶µ ¶ t3t ′ ′ 3.On admet queg(t)= −sin etque le signe de4 singest donné par le 2 2 tableau suivant :
Groupement A
2
2002
Brevet de technicien supérieur S
2π t0π 3 Signe deg(t) 00+
Dresser sur l’intervalle [0 ;π] le tableau des variations conjointes des fonctions fetg. 4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux pointsB, π2π CetDde paramètre respectifstB=,tC=ettD=π. 3 3 ³ ´ 5.Le planPest rapporté à un repèreO,ı,d’unité graphique 2 cm. On admet que la tangente à la courbe (Γ) au pointAde paramètretA=0 a −→ pour vecteur directeuri. Tracer les tangentes aux pointsA,B,CetDpuis la courbe (Γ).
Groupement A
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2002
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