BTS Groupement A

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Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
BTS Groupement A 2002 EXERCICE 1 12 points La fonction échelon unité U est définie par U (t)= 0 si t < 0 et U (t)= 1 si t > 0. On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous : e(t) s(t) On note s le signal de sortie associé au signal d'entrée e. Les fonctions s et e sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour t < 0. On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E . La fonction de transfert H du système est définie par : S(p)=H(p)?E (p). On considère le signal d'entre e défini par : e(t)= tU (t)?2U (t ?1)? (t ?2)U (t ?2) et la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par H(p)= 1 p+1 . 1. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal. 2. Pour p > 0, déterminer E (p). 3. Déterminer tes nombres réels A, B , et C tels que, pour tout p > 0, on ait : 1 p2(p+1) = A p2 + B p + C p+1 On admet que : 2 p(p+1) = 2 p ?


  • solution particulière

  • repère orthonormal

  • coefficients directeurs des demi

  • signal de sortie

  • tangentes oudemi-tangentes

  • tangente

  • cm sur l'axe des ordonnées

  • axe de symétrie

  • système différentiel


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EXERCICE1La fonction échelon unitéUest définie parU(t)0 sit0 etU(t)1 sit>0.On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous :e(t)s(t)
12 points
On notesle signal de sortie associé au signal d’entréee. Les fonctionssetesontdes fonctions causales, c’est-à-dire qu’elles sont nulles pourt0. On admet que lesfonctionsseteadmettent des transformées de Laplace, notées respectivementSetE.La fonction de transfertHdu système est définie par :S(p)H(p)×E(p).On considère le signal d’entreedéfini par :e(t)tU(t)2U(t1)(t2)U(t2)1et la fonctionHdéfinie sur ]0 ;∞[ parH(p)p1.1.Tracer la courbe représentative de la fonctionedans un repère orthonormal.2.Pourp0, déterminerE(p).3.Déterminer tes nombres réelsA,B, etCtels que, pour toutp0, on ait :1A B Cp2(p1)2pp1pOn admet que :2 2 2 −p(p1)p p14. a.DéterminerS(p) puiss(t).b.En déduire que la fonctionsest définie par :s(t)0 sit0ss((tt))tt13eett(12e)ssii1066tt21s(t)et¡12ee2¢sit>25.On rappelle que la notationf¡a¢représente la limite de la fonctionflorsqueblettend versapar valeurs supérieur :f¡a¢tala varia eslimf(t). De même,taf(a)ltimf(t).ataa.Calculers¡1¢,s(1),s¡2¢,s(2). Que peut-on en conclure pour lafonctionslorsquet1 ett2 ?b.Calculers(t) sur chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 2[ et ]2 ;∞[.On admet quesest strictement positive sur ]0 ; 1[]2 ;∞[.Déterminer le signe des(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[.c.Calculer la valeur exacte des[ln(12e)]. Déterminer lims(t) et dressert→∞le tableau des variations de la fonctionssur ]0 ;∞[.
Brevet de technicien supérieur Sd.Calculers¡1¢,s(1),s¡2¢,s(2). On admet que ces nombres sontrespectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite età gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbeΓreprésen-tative de la fonctions.6.On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal³O,ı−→,−→´d’unitésgraphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonnées.a.Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numé-riques seront données à 102près.t1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5s(t)b.Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbeΓreprésentativede la fonctionsaux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbeΓ.
EXERCICE2 8 pointsOn se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en déterminerune solution particulière.( int(E1)(S)½2xx(tt))2yy((tt))22csost(E2)Les fonctionsxetysont des fonctions de la variable réellet, deux fois dérivables surR.Partie A1.Montrer en utilisant les équations (E1) et (E2) que la fonctionxvérifie, pourtouttdansR, l’équation différentielle :x′′(t)4x(t) −6cost(E)2.Résoudre surRl’équation différentielle (E). En déduire les solutions du sys-tème (S).3.Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions ini-tialesx(0) −1 ety(0)0.Partie BOn considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique(t)cos(2t)2cost½xyfg(t)sin(2t)2sinttest un réel appartenant à l’intervalle [π;π].1.Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculantf(t) etg(t).2. a.Calculerf(t).Montrer que :f(t) −4sinµ2tcosµ3t.2b.Établir le signe def(t) sur l’intervalle [0 ;π].3.On admet queg(t) −4sinµt2sinµ32tet que le signe degest donné par letableau suivant :
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t023ππSigne deg(t) 00
Dresser sur l’intervalle [0 ;π] le tableau des variations conjointes des fonctionsfetg.4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux pointsB,π2CetDde paramètre respectifstB3 ,tC3πettDπ.5.Le planPest rapporté à un repère³O,ı,´d’unité graphique 2 cm.On admet que la tangente à la courbe (Γ) au pointAde paramètretA0 a−→pour vecteur directeuri. Tracer les tangentes aux pointsA,B,CetDpuis lacourbe (Γ).
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