BTS Groupement A

Description

Niveau: Supérieur, BTS, Bac+2
BTS Groupement A 2002 EXERCICE 1 12 points La fonction échelon unité U est définie par U (t)= 0 si t < 0 et U (t)= 1 si t > 0. On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous : e(t) s(t) On note s le signal de sortie associé au signal d'entrée e. Les fonctions s et e sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour t < 0. On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E . La fonction de transfert H du système est définie par : S(p)=H(p)?E (p). On considère le signal d'entre e défini par : e(t)= tU (t)?2U (t ?1)? (t ?2)U (t ?2) et la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par H(p)= 1 p+1 . 1. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal. 2. Pour p > 0, déterminer E (p). 3. Déterminer tes nombres réels A, B , et C tels que, pour tout p > 0, on ait : 1 p2(p+1) = A p2 + B p + C p+1 On admet que : 2 p(p+1) = 2 p ?

• solution particulière


• repère orthonormal


• coefficients directeurs des demi


• signal de sortie


• tangentes oudemi-tangentes


• tangente


• cm sur l'axe des ordonnées


• axe de symétrie


• système différentiel

Sujets

• Base orthonormale
• Tangente

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• Langue: Français

Extrait

BTS Groupement A 2002

E X E R C IC E 1 La fonction échelon unitéUest définie par

U(t)=0 sit<0 etU(t)=1 sit > 0.

On considère le système « entrée  sortie »représenté cidessous : e(t)s(t)

12 points

On notesle signal de sortie associé au signal d’entréee. Les fonctionssetesont des fonctions causales, c’estàdire qu’elles sont nulles pourt<0. On admet que les fonctionsseteadmettent des transformées de Laplace, notées respectivementSet E. La fonction de transfertHdu système est définie par :S(p)=H(p)×E(p). On considère le signal d’entreedéfini par :

e(t)=tU(t)−2U(t−1)−(t−2)U(t−2) 1 et la fonctionHdéfinie sur ]0 ;+∞[ parH(p)=. p+1 1.Tracer la courbe représentative de la fonctionedans un repère orthonormal. 2.Pourp>0, déterminerE(p). 3.Déterminer tes nombres réelsA,B, etCtels que, pour toutp>0, on ait : 1A BC = ++ 2 2 p(p+1)p pp+1 On admet que : 2 22 = − p(p+1)p p+1 4. a.DéterminerS(p) puiss(t). b.En déduire que la fonctionsest définie par :  s(t)=0 sit<0   −t s(t)=t−1+e si0 6 t<1 −t s(t)=t−3+e (1+2e) si 1 6 t<2   ¡¢ −t2 s(t)=e 1+2e−e sit > 2 ¡ ¢ + 5.On rappelle que la notationf areprésente la limite de la fonctionflorsque ¡ ¢ + la variablettend versapar valeurs supérieures :f a=limf(t). De même, t→a t>a − f ( a ) =limf(t). t→a t<a ¡ ¢¡ ¢ + − + − a.Calculers1 ,s,(1 )s2 ,s(2 ).Que peuton en conclure pour la fonctionslorsquet=1 ett=2 ? ′ b.Calculers(t) sur chacun des intervalles ]0 ;1[, ]1 ;2[ et ]2 ;+∞[. ′ On admet quesest strictement positive sur ]0 ; 1[∪]2 ;+∞[. ′ Déterminer le signe des(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[. c.Calculer la valeur exacte des[ln(1+2e)]. Déterminerlims(t) et dresser t→+∞ le tableau des variations de la fonctionssur ]0 ;+∞[.

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¡ ¢¡ ¢ ′ +′ −′ +′ − d.Calculers1 ,s(1 ),s2 ,s(2 ).On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demitangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbeΓreprésen tative de la fonctions. ³ ´ −→−→ 6.On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonnées. a.Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numé −2 riques seront données à 10près. t1,4 1,62 2,5 3 3,51 1,2 s(t) b.Tracer alors les tangentes ou demitangentes à la courbeΓreprésentative de la fonctionsaux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbeΓ.

E X E R C IC E 2 8points On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en déterminer une solution particulière. ½ ′ x(t)+2y(t)= −2 sint(E 1 ) (S) ′ 2x(t)−y(t)= −2 cost(E 2 ) Les fonctionsxetysont des fonctions de la variable réellet, deux fois dérivables sur R. Partie A 1.Montrer en utilisant les équations (E 1 ) et (E 2 ) que la fonctionxvérifie, pour touttdansR, l’équation différentielle : ′′ x(t)+4x(t)= −6 cost(E) 2.Résoudre surRl’équation différentielle (E). En déduire les solutions du sys tème (S). 3.Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions ini tialesx(0)= −1 ety(0)=0. Partie B On considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique ½ x=f(t)=cos(2t)−2 cost y=g(t)=sin(2t)−2 sint oùtest un réel appartenant à l’intervalle [−π;+π]. 1.Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculantf(−t) et g(−t). ′ 2. a.Calculerf(t). µ ¶µ ¶ t3t ′ Montrer que :f(t)= −cos .4 sin 2 2 ′ b.Établir le signe def(t) sur l’intervalle [0 ;π]. µ ¶µ ¶ t3t ′ ′ 3.On admet queg(t)= −sin etque le signe de4 singest donné par le 2 2 tableau suivant :

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2π t0π 3 ′ Signe deg(t) 0−0+

Dresser sur l’intervalle [0 ;π] le tableau des variations conjointes des fonctions fetg. 4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux pointsB, π2π CetDde paramètre respectifst B =,t C =ett D =π. 3 3 ³ ´ −→−→ 5.Le planPest rapporté à un repèreO,ı,d’unité graphique 2 cm. On admet que la tangente à la courbe (Γ) au pointAde paramètret A =0 a −→ pour vecteur directeuri. Tracer les tangentes aux pointsA,B,CetDpuis la courbe (Γ).

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