Capes agricole

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1/9 MATH-E-1SN CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT C A P E S A DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE Concours : EXTERNE Section : Mathématiques PREMIERE EPREUVE ECRITE D'ADMISSIBILITE Première composition Coefficient : 2,5 ? Durée : 5 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des instruments de calcul est autorisé, notamment celui des calculatrices de poche, à condition qu'elles soient à fonctionnement autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Le sujet comporte neuf pages. L'énoncé est constitué de cinq parties. La première partie porte sur le calcul d'une intégrale classique La deuxième est consacrée à l'étude de la fonction Gamma d'Euler, définie comme une intégrale généralisée. La troisième relie la fonction Gamma et la fonction Bêta. La quatrième étudie les lois Gamma et en particulier la loi du Chi-deux. Enfin, la cinquième partie montre comment une variable suivant une loi du Chi-deux est obtenue lors d'un tirage. La cinquième partie est largement indépendante du reste du problème.

  • réel

  • double inégalité

  • usage des instruments de calcul

  • intégrale classique

  • nature de la branche infinie

  • inégalité de taylor-lagrange

  • ?x? ?

  • ∞?? ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT C A P E S A DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE Concours : EXTERNE Section : Mathématiques PREMIERE EPREUVE ECRITE D’ADMISSIBILITE Première composition Coefficient : 2,5Durée : 5 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des instruments de calcul est autorisé, notamment celui des calculatrices de poche, à condition qu’elles soient à fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante. Le sujet comporte neuf pages. L’énoncé est constitué de cinq parties. La première partie porte sur le calcul d’une intégrale classique La deuxième est consacrée à l’étude de la fonction Gamma d’Euler, définie comme une intégrale généralisée. La troisième relie la fonction Gamma et la fonction Bêta. La quatrième étudie les lois Gamma et en particulier la loi du Chideux. Enfin, la cinquième partie montre comment une variable suivant une loi du Chideux est obtenue lors d’un tirage. La cinquième partie est largement indépendante du reste du problème.
1/9 MATHE1SN
On désigne par : `l’ensemble des entiers naturels ; * `l’ensemble des entiers naturels non nuls ; \le corps des nombres réels ; \+le sous-ensemble de\constitué des nombres réels strictement positifs. Première Partie +∞ +∞ 2 tt 1.Prouver la convergence de l’intégralee dtet en déduire celle dee dt. 00 G G 2.Le plan réel euclidien E est rapporté au repère orthonorméO;i;j; .rest un réel strictement positif. ) On pose :Cr={(;yE/ 0xr et0yr}, 2 2 2 2 2 2 Q={(x;y)E/x0 ;y0 ;x+yr, etQ'=(x;y)E/x0 ;y0 ;x+y2r. r r a. Représenter dans le même repèreCr, Qr etQ’r. 2 2 − +y ( ) On pose pourxetyréels,f(x,y)=eet=f(x,y)dxdy,J=f(x,y)dxdy,J' =f(x,y)dxdy∫∫Cr∫∫Qr∫∫Q'r r r r b. Justifier la double inégalité :JIJ'. r r r c. CalculerJr etJr. 2 2r2 2 πrxπ2r d. En déduire que :1eedx1e . 0 ( ) ( ) 4 4 +∞ 2 t e. Etablir que :e dt=. 02
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Deuxième partie Quelques propriétés de la fonctionΓ+∞ x1t On définit la fonctionΓpar :x6tedt. 0 +∞ xt 1.Déterminer l’ensemble des réelsxtels quedtt e converge. 0 En déduire que l’ensemble de définition de la fonctionΓest\. + 2.a. Préciser le signe deΓsur\. + b.limProuver que Γ(x)= +∞. x0 x>0 Γ + = Γ 3.a. Etablir la relation :x\+,1)x(x). b. En déduire une expression simple deΓ(n) pourn`*. 14.a. Montrer queΓ =π(on se ramènera par un changement de variable à l’intégrale   2de la première partie). 1(2n)! b. Pourn`, montrer queΓn+ =π. 2n 22n! 5.Dérivabilité de la fonctionΓ+∞ k 1t a. Pourxet> 0 k`, prouver la convergence de l’intégrale(lnt)tedt0 On prouvera la convergence sur]0;1], en distinguant les casxet> 1 x1, puis la convergence sur[1;+∞[. ∗ ∗ b. On fixex>1 . Soitα\tel quexα>1 ett\.0+0 x1 En appliquant une inégalité de Taylor-Lagrange à l’applicationx6t , montrer que : (*)x[x;x+α, 0 0 2 xx ( )2x+α0 1 0 (lnt)tsit[1;+ ∞[ − − x1x01x012 − − − ≤ t t(x x)(lnt)t0 2 xx) (0 2x0α1 (lnt)tsit]0; 1[. 2
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En déduire l’existence d’un réelM1ne dépendant que dex0et deα, tel que : +∞ Γ(x)− Γ(x) 0x-1 -t 0 x[xα;x+α,xx0,(lnt)dtt e M x-xx-x00 0 01 0 En déduire queΓest dérivable sur1 ;+∞[et exprimerΓ'( )sous la forme d’une intégrale impropre. Etablir alors, en utilisant de nouveau l’inégalité (*), l’existence d’un réelM2ne dépendant que dex0et deα, tel que : +∞ Γ'− Γ' x)x)2x10t 0 x[xα;x+α, xx0,(lnt)dtt e M xx. xx0 0 02 0 0 Prouver queΓest 2 fois dérivable sur1;+∞[ et préciser" sur cet intervalle. On admet queΓest 2 fois dérivable sur\et que l’expression de" trouvée + précédemment est encore valable sur\+.Γ 6. a. Montrer que est strictement convexe sur\+. 1 b. Montrer queΓ( )au voisinage de 0.est équivalent à
c. CalculerΓ(1)etΓ(2), puis en déduire l’existence d’un unique réel strictement positif x0tel queΓ'(x)=0. 0 d. Etudier les variations deΓet la nature de la branche infinie en+∞. Donner une allure de son graphe. Troisième partie Fonctionet fonctionβd’Euler * 1.Soitn`; justifier que : n n tx1 pour toutx\+,l’intégraleJ(x)=1t dtconverge. n  0n
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n t1- sit[0;n]   2.On pose :u(t)=nn0 sit>n. ∗ ∗-t ∀ ∈ a. Montrer quen`,t\+, u(t)e . n Γ)=liJ) b. En déduire que :x\+,(mnx. n→+∞ 1 a1 b1 3.Pouraetb, réels strictement positifs, on poseβ(a,b)=(1t)t dt. 0 a. Justifier l’existence de cette intégrale. x r toutx\,Γ(= +. b. Prouver que pou+)limnβ(n1,x) n→+∞ c. i) Simplifierβ(a+1,b)+β(a,b+1). b  ii) Prouver que :β(a,b+1)=β(a+1,b). a  iii) En déduireβ(a+1,b) en fonction deβ(a,b). x n n! d. Prouver que :Γ(x)=lim. n→+∞ (x+1)(x+2)"(x+n) 4.a. À l’aide d’un changement de variable convenable dans l’intégraleβ(a,b), établir que : π 22a1 2b1 pouraetb, réels strictement positifs,β(a,b)=2 sinθcosθdθ. 0 +∞ 2 t2x1 b. Vérifier que :x\+,Γ( )=2e t dt.On pourra de nouveau procéder à un 0 changement de variable.r 2 t2x1 5.Soitr\+.On pose, pourx> 0,( )=2dte t . 0 r 2 x,y, éc uble a. Etant donné( )(\+)rire le produitΓ( )Γ(y)comme une intégrale do r r étendue au domaineCrde la première partie).(cf notations b. En procédant à un encadrement utilisant les domainesQretQ’r, de façon analogue à la première partie, établir la double inégalité : Γ(+y)β(x,y)≤ Γ(x)Γ(y)≤ Γ(x+y)β(x,y). r r r r 2 Γ( )Γ(y) 2 c. Démontrer que :x,y,βx,y=. ( )(\+)( ) Γ(+y)
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Quatrième Partie 2 Loi Gamma et loi duχDans toute cette partie, les variables aléatoires sont réelles, définies sur le même espace probabilisé(,Β, P). On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé,(P, , ), alors sa fonction de répartition est la fonction FXdéfinie pour tout réel x par(x)=P(Xx). X Cette fonction de répartition caractérise la loi de la variable aléatoire réelle X. On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs réelles admet une densité f si sa fonction de répartition peut s’écrire sous la forme=où f est une fonction à valeurs réelles positives ayant FX(x)(t)dt −∞ +∞ un nombre fini de points de discontinuité et telle que(t)dt=1. −∞ Une variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètreλ, lorsqu’elle est déterminée pour tout entier k λ naturel k par P(Y=k)=e. Un extrait de la table des lois de Poisson est donné en annexe à la fin du sujet. k! Une variable aléatoire suit une loi normale de paramètres m etσ, lorsqu’elle admet une densité de probabilité 2 (m) 12 2σ définie pour tout réel x par f(x)=e. σ2π 1.betpsont deux paramètres réels strictement positifs. On considère l’applicationf définie par : :\\0 six0 x -x6p-1 b x e six>0. p Γ b(p) Dans le cas oùb=1, donner les différentes allures du graphe def suivant la position du paramètre p par rapport à 1 et à 2. On précisera les éventuelles demi-tangentes en 0. 2.Prouver quef est une densité de probabilité. Si une variable aléatoire X admet cette densité, on dit que X suit la loiΓ(b,p). 3.SoitXune variable aléatoire suivant la loiΓ(b,p). Montrer queX admet une espérance et une variance et les calculer. 4.Dans le cas particulier où=1, reconnaître la loi deX et exprimer sa fonction de répartition.
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On admet que si X et Y sont 2 variables aléatoires indépendantes de densités respectives f et g, alors la +∞ variable X+Y possède une densité h telle queh : x6(xt)g(t)dtet on admet la convergence de −∞ l’intégrale h(x) pour tout x réel.Γp5.SoientX1 etX2, variables aléatoires réelles indépendantes, suivant les lois respectivesb,1) etΓ(b,p). Montrer que+X suit la loiΓ(b,p+p). 21 21 2 6.Soientn` et ,X, ,Xnvariables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, 1 2n suivant les lois respectivesΓ(b,p)pour touti1;n.i n Déterminer la loi de la variable aléatoire .On pourra utiliser un raisonnement par récurrence. i i=1 2 2 Soit s un entier strictement positif ; on appelle loi duχà s degrés de liberté ou loiχloi(s) la sΓ2,.   22 7.Donner l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loiχ(s).Soitn. Si pour toutides variables mutuellement indépendantes , `1;nb,lesXisont n 2 Xisuivant la loiχ(s)., donner la loi de i i=1 n1k n1 x x t x xt 8.Pourx>0etn`, justifier la formule :e= +edt.0 =k!(n1)! k0 2 9.Soientune variable aléatoire suivant la loiχ(2n) etλun réel strictement positif. 2n P X2P( )Yloi dedésigne un Démontrer que(2n>λ)=Yλ<nλe variable aléatoire suivant la Poisson de paramètreλ. 2 10.On appelleF4la fonction de répartition deX4, variable suivant une loiχ(4). À l’aide de la table de loi de Poisson donnée en annexe page 9, calculer les valeurs deF4aux points 0, 2, 4, 6, 8. 2 11.SoitXsuit la loi duune variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Montrer que 2 χà un degré de liberté. 12.Soient ,X, ,Xdes variables mutuellement indépendantes , suivant la loi normale centrée 1 2n n 2 réduite. Quelle est la loi de ? i i=1
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Cinquième Partie 2 De l’urne auχUne urne contient des boules de couleursC1,C2, …,Ck. (k`,k2). Les boules de couleurCisont k on nulle avec . Étant donnén entier naturel non nul, en proportionpi npi=1 on tire i=1 successivement dans l’urnen boules, avec remise après chaque tirage. appelle Pouri, entier entre 1 etk, onila variable aléatoire désignant le nombre de boules de  ar conséquent une loi binomiale couleurCiobtenues lors du tirage.ide paramètressuit p netpi. 1..a. Déterminer l’espérance et la variance de i b. Pourij, déterminer la loi de+Xet en déduire que i jCov(Xi;Xj)= −np p. i j -np i i 2.Soitkentier supérieur ou égal à 2. On poseY= et on noteM la matrice de covariance i np i des variables aléatoiresY,Y,",Y, définie parM=Cov Y;Y. 1 2k((i j))1ik 1jk a. Montrer que pour= −e ij,Cov(Y;Y)p pt queCov(Y;Y)=1p. En déduire i j i j i i i l’expression de la matriceM. b.Dans la suite,M(\)désigne l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients n,p deM.réels. On notera Ikla matrice uniték,k(\) t Préciser la matriceP telle queM = IkPla matrice, puis CM(\)vérifiantP=C.C, où k,1 t Cdésigne la transposée de la matriceC. c. Déterminer le rang deP. 2 d. CalculerP. Préciser les valeurs propres dePet leur multiplicité. 1 sii=jk1 3)=.SoitJMk,k(\dont les coefficientsaijvérifient :aij0 sinon. tt Justifier l’existence d’une matriceSM(\)vérifiant :S.S=I etSMS=J. k,kk
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ZY1 1  t  4.On définit les variables aléatoiresZ1, Z2, …,Zk par la relation :#=S#      ZY kket on poseS=(si j)1ik. 1jk a. Prouver que, pour tout entierientre 1 etk,Zi est centrée. b. Déterminer la matrice de covariance de ,Z, ,Zest la variable. En déduire que 1 2k k certaine égale à zéro. k 2 i c. On poseQ=Y. CalculerQ,en fonction de Z, ,Z. 1 2k i=1 d. On admet quenpuisse êtreest suffisamment grand pour que la loi de chaque variable i approchée par une loi normale. Dans ces conditions, par quelle loi peut-on approcher la loi deY? i e. On suppose quenest grand, que les variables ,Z, ,Zsont mutuellement 1 2k1 2 indépendantes et qu’elles suivent des lois normales. Justifier le fait queQsuit la loi duχà(k1)degrés de liberté. Annexe : extraits de la table cumulée des lois de Poisson de paramètreλλ≤ ≤ Valeurs deP(Yλk) où(; 01 7 k5): k /λ 1 2 3 4 5 6 7 0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 1 0.7358 0.4060 0.1991 0.0916 0.0404 0.0174 0.0073 2 0.9197 0.6767 0.4232 0.2381 0.1247 0.0620 0.0296 3 0.9810 0.8571 0.6472 0.4335 0.2650 0.1512 0.0818 4 0.9963 0.9473 0.8153 0.6288 0.4405 0.2851 0.1730 5 0.9994 0.9834 0.9161 0.7851 0.6160 0.4457 0.3007
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