Capes de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee

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Capes de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee 2008-2009 Liste des fiches de probabilites Probabilites 1 : Introduction aux espaces probabilises Probabilites 2 : Variables aleatoires discretes Probabilites 3 : Variables aleatoires densitables Probabilites 4 : Theoremes limites Probabilites 5 : Applications statistiques Un probleme de Capes blanc

  • introduction aux espaces probabilises

  • variables aleatoires discretes

  • produit du gain par la probabilite

  • probabilite

  • service du dictionnaire de l'academie franc¸aise

  • espace probabilise

  • experience

  • theoreme central


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 52
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 79
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CapesdeMath´ematiques Pre´parationa`le´crit
Universite´JosephFourier Ann´ee2008-2009
Listedeschesdeprobabilit´es
Probabilite´s1:Introductionauxespacesprobabilis´es Probabilit´es2:Variablesal´eatoiresdiscr`etes Probabilit´es3:Variablesale´atoiresdensitables Probabilit´es4:The´ore`meslimites Probabilit´es5:Applicationsstatistiques
Unproble`medeCapesblanc
Capes de Mathematiques ´ Pr´eparationa`le´crit
Universit´eJosephFourier Anne´e2008-2009
Probabilit´es1:Introductionauxespacesprobabilis´es
nqioatitoupr´eueuojnuevsiafnerudegeLecx´rdeantunpariest ´egalauproduitdugainparlaprobabilit´edegagner.Pascal
Introduction Onfaituneexp´eriencedontonnepeutpasd´eterminerler´esultata`lavance,par exempleonjetteunepiecedemonnaieenlairetonsinte´resseaucoˆte´surlequel ` elle retombe (pileoufaceQ.eu)tterudsuse´tatlecedutpend-oedirluep exp´erience?Sionnejettelapie`cequunefois,pasgrandchose.Maissionlajette ungrandnombredefois,onconstatequelafr´equencedapparitiondepilese stabiliseet,pourdenombreusespi`eces,quecettefre´quencedevientprochede50%. Onassociealorsaur´esultatdelexp´erienceobtenir pilela valeur 50%, qu’on appelleralaprobabilit´edel´ev´enementobtenir pile. Lierlaprobabilit´edun´ev´enement`alafr´equencedapparitiondecet´ev´enement lorsdungrandnombredexpe´riencesr´esultedunth´eor`emeimportant:laloi des grands nombres. En effet, on montre que siFnorueresbee´vedvalanglee´isd cettefre´quenceapre`snapi`eceestalcnreesstliee´rbili´equen un certain sens, alorsFnabilprob1quanidt´evdretnevace5s%0ntend vers l’infini. Deplus,onpeutquantiercepremierre´sultatene´tudiantlesuctuationsde la suite (Fn)n>1deur%.50toauo,elalaneraPpmex0100cne´nupeofsiedei`ec monnaieetonaobtenu537piles;est-cenormaloudoit-onenconclurequelapi`ece estbiaise´e?Lee´ht`eorcemeranteimiltlttrannomnenoitseuqettce`andpo´er quelavitessedeconvergencedelasuiteale´atoire(Fn)nvers 50% est en 1n. (Danslexemple,d`lthe´ore`mecentrallimite,laprobabilite´dobtenir537 apres e pilesouplusque537pilesvauta`peupr`es0lonpeutuearpporhce´qeeu4%96al,v comparer avec la vraie valeur 1046%.) Lecourscommencepard´enirunespaceprobabilis´e(ΩF Pabibpsorseil´t),le conditionnelles,lesvariablesale´atoiresetleurslois,etlanotiondinde´pendance. Commeonlavudanslexemplepre´c´edent,on´etudiesouventdesphe´nome`nes quicorrespondenta`lar´ep´etitiondunemeˆmeexpe´riencedonconsinteressera 2
ensuiteauxsuitesdevariablesal´eatoireseton´enonceralesdeuxthe´or`emeslimites fondamentauxmentionne´sci-dessusquesontlaloifortedesgrandsnombresetle theor`emecentrallimite. ´
1Espacesprobabilis´es 1.1D´enition Pourde´nirunespaceprobabilise´,onabesoindunensembleΩappel´eunivers, quipeutrepre´senterlensembledesre´sultatspossiblesdelexp´erienceconsid´er´ee. Unepremie`resolutionestdechoisirpourΩunensembleaussipetitquepossible, donclacollectiondesre´sultatspossiblesdelexpe´rience. Quelques exemples : Pedeconemiena=,Ωlruotejenud`ipe{01}res0repenteocvno,u`eitnpile´ et1repre´senteface !).(ou vice versa Pour le jet denpouronnaieouece`medsipn,ienaonemedjetlupe`icedsuenes Ω ={01}nconvient. uoPne´rduancerlelcebirunuttseceehΩ,eldnu=uqsipudenelaliucendi convient. cele´eluΩ,euqirt=oPrualud´reedevieduneampoR+. jeu de 52 cartes, Ω =Pour battre un S52conv,o`uientSkbmelensenelesigd´ des permutations de l’ensemble{12     k}. Pour compter le nombre de clients dans une file d’attente : Ω =Nconvient. uoPnalrΩ:siofed=eunennaiit´einnenipecuredome`ec{01}Nconvient, doncΩestlensembledessuites`avaleursdans{01}redienlmbsedelec,tse-a`-s suites (xn)n>1o`uxnroum´enegaritelis1=ndonne pile etxn= 0 sinon. Dans ces exemples, les ensembles Ω sont minimaux et on voit bien que tout en-semble plusgrosconviendrait aussi. Par exemple, Ω ={01}Nconvient pour mode´liserlejetdenpeuotruoti`pesecmodeainnn>1i:slutdenesint´eressre qu’auxn.sperim`erescoordonn´ee Cetteremarquesugg`ereunedeuxi`emesolutionquiconsiste`anepassepre´occuper delaformeexactedeΩet,parcontre,`asp´eciercequelobservateurpeutvoir ou non. Pour cela, on introduit la tribu desstmene´vnee´1e´eottnenuvso,F, qui corresponda`ce que l’observateur voites.Ll´´emenestedFsont donc des parties 1Leleeslasnothiegrapilosusitsnecsnadquaremarouenqu´ettaruetcruafitnentmeev´ne´eet non pas`ve´meneent´deeattnerociestpour,quederiannoitcDiducevieresrlpa mman ` lAcad´emiefranc¸aisedansunrapportcontroverse´datantde1990.Achacundede´ciderpour ce qui le concerne.
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