CAPES de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee Algebre et probabilites

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CAPES de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee 2007-2008 Algebre et probabilites Fiche 11 : Algebre (5) Polynomes « Ma cohabitation passionnee avec les mathematiques m'a laisse un amour fou pour les bonnes definitions, sans lesquelles il n'y a que des a-peu-pres. » Gustave Flaubert, Vie de Henry Brulard 1 Rappels de cours On se donne un sous-corps K du corps C des nombres complexes et on note K[X] la K-algebre des polynomes en une indeterminee X sur K. L'indeterminee X est un element de K[X], qui engendre K[X] en tant que K-algebre, ainsi tout element P de K[X] s'ecrit comme une somme finie P = a0 + a1X + · · ·+ anXn = n ∑ i=0 aiXi, ai ? K. De plus, X engendre K[X] librement, c'est-a-dire que (Xi)i?N est une base du K-espace vectoriel K[X]. De fac¸on equivalente, l'ecriture de P comme une serie P = ∑ i>0 aiXi avec ai = 0 pour i suffisam- ment grand est unique, c'est-a-dire que si Q = ∑ i>0 biXi avec bi = 0 pour i suffisamment grand, alors P = Q si et seulement si ai = bi pour tout i > 0.

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Publié le : mardi 29 mai 2012
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CAPESdeMathematiques Preparationalecrit Algebreetprobabilites
UniversiteJosephFourier Annee2007-2008
Fich11:Algebre(5)Polˆ e ynomes
«aMocahibssionnetationpahtamameevaeselcaialessqutimes unamourfoupourlesbonnesdenitions,sanslesquellesilnya quedesa-peu-pres.»Gustave Flaubert, Vie de Henry Brulard
1 Rappels de cours On se donne un sous-corpsKdu corpsCdes nombres complexes et on noteK[X] laKelrabeg-despolynoˆmesenuneindetermineeXsurK. LindetermineeXestunedtnemeleK[X], qui engendreK[X] en tant queKtoutinsire,agbe-la lementPdeK[Xeniese]ocmmrctiosmmueen e n P=a0+a1X+∙ ∙ ∙+anXn=XaiXi aiK i=0 De plus,XengendreK[Xt,enescat-ir-deuqe(]ilrbmeXi)iNest une base duK-espace vectoriel K[X]. Defaconequivalente,lecrituredePsreeiocmmueenP=XaiXiavecai= 0 pourisuffisam-i>0 mentgrandestunique,cest-a-direquesiQ=XbiXiavecbi= 0 pourisuffisamment grand, i>0 alorsP=Qsi et seulement siai=bipour touti>0. Un morphisme naturel deKdansK[X] esta7→aX0. LesloisdelalgebreK[Xmenteleoutourtsep:avtnssiutnelso]adeKet tousPetQeemltsen deK[Xd]nposeedsssuo,eincs-i aP=X(aai)Xi P+Q=X(ai+bi)Xii>0i>0 et i P Q=XciXiavecci=Xakbiki>0k=0 LalgebreK[X] est uneK-alglreruslebierbntmeeelX: cela signifie que pour touteKa-glerbe AteotutelementαdeA, il existe un unique morphisme deKeerblg-aEα:K[X]A, dit morphismedevaluation,telqueEα(X) =α. Le morphismeEαnonareptdes P=XaiXi7→Eα(P) =Xaiαii>0i>0 1
On note aussiEα(P) =P(αslanasecrtpaulicoreiu.D)A=K[X] etα=X,lunicitede Eαmontre queEXaticplapntdeniiorusetietslK[X]. C’est pourquoi on note souventP(X) le poly ˆ eP nom . SiA=Kfal,ynoliaomctonnpioeeaelsaosicPest l’applicationFP:KKtelle que, pour toutxdansK,FP(x) =Ex(P). On noteFP=P. LedegredupolynˆomePvaut deg(P) =−∞siP= 0, et, siP6= 0, deg(P) = max{iN;ai6= 0}Pour tousPetQdansK[X], deg(P+Q)6max{deg(P)deg(Q)}deg(P Q) = deg(P) + deg(Q)avec la convention (−∞) +d=−∞pour toutd. Le coefficient dominant dePvaut 0 siP= 0 etadsi deg(P) =d>0. Le terme dominant dePvaut 0 siP= 0 etadxdsi deg(P) =d>0. Un polynoˆmeestunitairesisoncoecientdominantvaut1. L’anneauK[Xrtouspolynˆomeses]uctedili:censaleingiuqeuopeUetVavecV6= 0, il existe ununiquecoupledepolynoˆmes(Q R) tel que U=V Q+Rdeg(R)6deg(V)1
2 Vrai ou faux 1.L’anneauK[Xoceicneˆnmoseacorpstsdansunes]dlypoKe.estintegr 2.Les inversibles deK[X].0ededsrgeynolmeˆontsosple 3.Soitd>ylˆnseoplbdesnme.Letierunen0snadtsenciecoaesomKfniergededeirueoru egaladest : a) un sous-groupe du groupe additifK[X]. b) un sous-K-espace vectoriel deK[X] de dimensiondsurK. c)unidealdeK[X]. 4.SoitKetLdeux sous-corps deCavecKL. AlorsK[X]L[X] et : a)unpolynoˆmededegre1estirreductibledansK[X]. b)unpolynˆomeirreductibledansK[Xedtsrged.1ee] c)siunpolynˆomedeK[Xe]tsrirdecuitlbedansL[Xtcuderrsnadelbi],ilestiK[X]. d)siunpolynoˆmedeK[Xitrr]sectibedunsledaK[Xsdenaitlbeducirrlest],iL[X]. 5.L’ensembleUK[Xinusemoˆnylopsed]ocprsstadsnnucoecientairesaKest : a) stable parmultiplication;b)unidealdeK[X]. 6.iaer.ynolepquitunmeˆolpitlumtinunudetpol)Toumeesynˆoa b)Toutpolynˆomeirreductibleestmultipledununiquepolynˆomeunitaire. 2
3 Exercices de cours 1.Soitaun nombre. Effectuer les divisions euclidiennes deX45X2 par+ 6Xaet par 2 (Xa) .
2.Effectuer la division euclidienne deX6X4X2+ 1 parX31 .
3.lopseddcgpnurenirmteeDmesynˆoP(X) =X4+ 2X2X+ 5 etQ(X) =X4+ 3X2+X+ 1.
4.SoitPedemrgedlopnoˆnyucorpse3surunKtel que pour toutxdansK,P(x)6= 0. Prouver quePsnbitcadeltirreduesK[X].
5.SoitKLCdeux sous-corps deC. SoitPetQedsmenteledesK[X] etDlenutenem deL[X] tels queP6= 0 etP=QD. Prouver queDantpaaptreiK[X]us,asoenotuelsus coefficients deDapiennpartanetK.
6.SoitPenemleetdnuR[X] etα=a+ ibun nombre complexe tel queb6= 0 etP(α) = 0. Prouver queQ(X) =X22aX+a2+b2divisePdansR[X].
4 Exercices 1.nnanledoormuelafeedtˆnmoudibumelorafeledidaAlylopmoˆn,seeptldurodeituxde calculer, pour tous entiers positifsmetn,ilageletxmeusdledeesbrem (X+ 1)m(X+ 1)n= (X+ 1)m+nn2 En choisissantm=nalaviuerdde,neesommdelaleurX. k=0µknDonnerunedemonstrationalternativedelaformuleobtenueendenombrantlespartiesan elementsdunensembleXrednsinuoietedojniseenuxdeslembAetBde cardinaln.
2.a) SoitPetQdeselmenestedK[X] tels queP2XQ2edser0.=coEndisnareeltngeds P2etXQ2, prouver queP=Q= 0. b) On suppose que dansKtionequala2+b2= 0 n’admet que la solution trivialea=b= 0. ProuverquesileselementsP,QetRdeK[X] sont tels queP2XQ2+R2= 0, alors P=Q=R= 0. c) Donner des exemples de sous-corpsKdeCtasafsinasihltypothesedeb).
3.a) Prouver queX3= 1 dans l’anneauK[X](X2+X+ 1). EndeduirelesvaleursdelentiernaturelmnˆompolyeelqsopruseeleullX2+X+ 1 divise le polynoˆme(X+ 1)mXm1. b) Prouver que pour tout entier naturelmmel,olepˆoynX2X+ 1 divise (X1)m+2+X2m+1. 3
4.Siaetbenuaocmmstdnunautatifetleenemonsestdi>1unentlellepparno,reiettienid remarquable i1 aibi= (ab)Xajbij1j=0 a) SoitaunleenemedtKetPntdeulenemeK[X] tels queP(a) = 0. Montrer queXadivise P. a’) Donner une autre preuve de a) en utilisant la division euclidienne. b) SoitPtdeemenelnuK[X]. Montrer quePXdivisePPXeielixts-aideruq-ste,cQ dansK[X] tel queP(P(X))X=Q(X)(P(X)X). k c) Soitk>1 etP=XXniitresenesoulni>secnv0elenteriuegronscnii1 modulok. i=1 k Prouver que (X1)Pest divisible parXkeuqEn1.eddreuiPest divisible parQ=XX. i1 i=1
5.Soit Δ la transformation deK[Xde]arniep Δ(P)(X) =P(X+ 1)P(X)On pose Δ0= IdK[X]puis, pour toutn>0, Δn+1= ΔΔn. Resoudrelaquestiona)oulaquestiona),puislaquestionb). a) a1) Prouver que si deg(P) =d, alors Δd+1(P) = 0 et Δd(P)6= 0. a2) On poseC0(X) =µX0= 1 puis, pour tout nombre entierd>1, Cd(X) =µdX=d1!X(X1)∙ ∙ ∙(Xd+ 1)Calculer Δ(Cd(X)) pour toutd>eddEn0.,euqeriu(gedisP) =d>0, d P(X) =XΔi(P)(0)Ci(X)i=0 a3)Deduiredea2)quesiPededegerlypoomnˆeunstd>sreitneselr0aavieressuleursent naturels,cest-a-diresiP(N)Z(on rappelle queNKpuisqueKest un sous-corps deC), alorslepolynˆomePilcaeorieunecommenaisombisntiecnamereiinueceuqsectdri on nea dansZdes polynomes binomiauxCi(X) pour 16i6d. ˆ a’) Montrer que l’application Δ :Kd[X]Kd1[Xnetsomagesonilureacclerteeiaes]intl noyau. b)ProuverquepourtoutpolynˆomeQregeddsluupeadolynquepˆomeixeli,1inunuetsP dedegreauplusdtel que Δ(P) =QetP(0) = 0. EndeduireuneexpressionpourlessommesQ(0) +Q(1) +∙ ∙ ∙+Q(n) pour tout entiern>0, puis la valeur des sommes 12+ 22+∙ ∙ ∙+n2et 13+ 23+∙ ∙ ∙+n3 . 6.SoitPedomepounnˆlyR[X] tel queP(t)>p0uobrereelrtoutnomt. Prouver qu’il existe deuxpolynˆomesAetBdeR[X] tels queP=A2+B2. 4
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