CCP PSI MATHEMATIQUES Duree heures

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 2 Duree : 4 heures Les calculatrices sont autorisees. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** On designe par N l'ensemble des entiers naturels, par N? l'ensemble N prive de 0 et par R l'ensemble des nombres reels. Etant donne un entier naturel n, on note [[0, n]] l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 ≤ k ≤ n. On note R [x] l'espace des polynomes a coefficients reels et, pour k ? N, on note Rk [x] le sous-espace de R [x] des polynomes de degre inferieur ou egal a k. On identifiera le polynome P ? R [x] avec la fonction polynome associee. On note C l'espace des fonctions continues definies sur l'intervalle [?1, 1] et a valeurs dans R, on note R l'espace des restrictions a [?1, 1] des polynomes de R [x] et on note Rk l'espace des restrictions a [?1, 1] des polynomes de Rk [x].

  • changement de variable ?

  • ecrire tn

  • base orthogonale de l'espace vectoriel

  • structure prehilbertienne

  • espace des polynomes

  • reels a0

  • entier naturel

  • espace des restrictions


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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CCP 2003 – PSI – MATHEMATIQUES 2 Duree:4heures
Lescalculatricessontautorisees. **** N.B.Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetalaconcisionde laredaction.Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblereˆtreuneerreurdenonce,ille signalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaete ameneaprendre. ****
OndesigneparNl’ensemble des entiers naturels, parNl’ensembleN0etparprivedeRl’ensemble desnombresreels. Etantdonneunentiernatureln, on note[0, n]l’ensemble des entiers naturelsktels que 0kn. On noteR[xou,prl]decapseespolynˆomesacoeicnestreesltekN, on noteRk[x] le sous-espace deR[xalageuorueireylˆnseopd]infgrededeomesklonyoˆemepalerintdeni.OPR[x] avec la fonctionpolynoˆmeassociee. On noteCrvalintele[nedseulrusseiioctonsfinntconspaesdecel1,avelteanasruds1]R, on note Rrsedrtseitcisnoa[eslcepa1,moseed1]despolynˆR[x] et on noteRkasontiictresrsedecapsel [1,demoseylˆnseop1d]Rk[xbus,Para].ectonndiomeˆoefunparenylopanollepR.
Lebutduproblemeestdedenirunemethodedecalculapprochedunefamilledintegrales. DanslapartieI,onetudieunefamillesdepolynoˆmes.LapartieIIutiliseunestructuredespace prehilbertienreeldelespaceCelaxlaucceretcdeesintainraletegaL.s,ruopetborunifoneulrmeced partieIIIconduitalamethodedecalculapprocheannoncee.
Danstoutleprobleme,nreitneuttourPol.retunanuneitredsegiennNedno,nctioafonnitl tn∈ Cpar : pour toutx[1,1], tn(x() = cosnarccosx).
PARTIE I 1.Simplier les expressions det0,t1,t2,t3et constater que ces fonctions ont des expressions polynomiales, que l’on explicitera. 2.sglen,siesedemmˆedsehparrunures,rTcat0,t1,t2ett3muremseciserle.Prteelestxrscanise de chaque fonction. 2k+ 1 PournNetk[0, n1], on noteθk=πetxk= cos(θk). 2n 3.PournNe,derinrmteelrscaniseedalofnctiontn. Montrer que les racines detnsont deux adeuxopposees. 4.On suppose l’entiern2. Soitp[1, n1]. n1 X ipθk 4.1Calculer la sommee. k=0 n1 X 4.2Montrer quetp(xk) = 0. k=0 Pourx[1,1], le changement de variable bijectifθ= arccosxemdtp,reirercetn(x) = cos() avecθ[0, π]. 5.Pourn1, exprimertn+1(x) +tn1(x) en fonction dexet detn(x). m03ps2ea.tex - page 1
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