CCP PSI2 duree heures

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
CCP PSI2 2007 duree : 4 heures calculatrices autorisees Notations. On designe par R l'ensemble des nombres reels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par N? l'ensemble N prive de 0. Pour n entier naturel non nul, on note Mn(R) (respectivement Mn,1(R)) l'espace vectoriel reel des matrices carrees a n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes a n lignes) a coefficients reels. On note det(A) le determinant d'une matrice carree A et tB la transposee d'une matrice B quelconque. Etant donnee une matrice A, la notation A = (ai,j) signifie que ai,j est le coefficient de la ligne i et de la colonne j de la matrice A. Lorsque A = (a) est une matrice deMn,1(R), on identifie A avec le reel a. Pour tout entier naturel, on note n! la factorielle de n, avec la convention 0! = 1. Soient p et n deux entiers naturels tels que p ≤ k ≤ n : – on note [|p, n|] l'ensemble des entiers k tels que p ≤ k ≤ n. – on rappelle la notation (n p ) = n!p!(n?p)! . Le produit scalaire de deux vecteurs u et v d'un espace prehilbertien sera note (u|v).

  • matrice de gram

  • produit scalaire

  • operations sur les vecteurs

  • ligne d'indice

  • nouvelle ligne

  • espace prehilbertien reel

  • calcul de dp

  • espace prehilbertien


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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CCP PSI2 2007 dure´e:4heures calculatricesautoris´ees Notations. Ond´esigneparRar,plseeenselednsbmelse´rmorbNl’ensemble des nombres entiers naturels et par Nl’ensembleNpre´vi.0ed Pournentier naturel non nul, on noteMn(R) (respectivementMn,1(Rotcevecapsel))esldeer´elri matricescarr´ees`anengier(scepsevitesnnlocol`aroeidlseamrtcisementlespacevectna`)sneigl coecientsr´eels. t On note det(Aeececi´rraenurtame´etl)denadtmrniAetBraatponslmetairec´seednuBquelconque. Etantdonne´eunematriceA, la notationA= (ai,j) signifie queai,jest le coefficient de la ligneiet de la colonnejde la matriceA. LorsqueA= (a) est une matrice deMn,1(R), on identifieAaevlcree´lea. Pour tout entier naturel, on noten! la factorielle den, avec la convention 0! = 1. Soientpetndeux entiers naturels tels quepkn: – onnote [|p, n|] l’ensemble des entiersktels quepkn.   n n! – onrappelle la notation= . p p!(np)! Le produit scalaire de deux vecteursuetvseranot´e(rpecihe´reblneitundpaesu|v). Objectifs. Dansceproble`me,onde´nitlamatricedeGramdunefamilleniedevecteursdunespacepre´hilbertien r´eel. Lapremie`repartieportesurdescalculsded´eterminants,lavaleurdundesde´terminantscalcul´es servanta`illustrerlaquatrie`mepartie. Dansladeuxie`mepartie,ond´enitlesmatricesdeGrametonene´tudiequelquesproprie´te´s. Lestroisie`meetquatrie`mepartiessontdesapplicationsdeladeuxie`mepartie.
PARTIE I. Lesre´sultatsdecettepartieneservirontquedanslapartieIV. I.1.imantn´Dteredp. SoitnN. Pourp[|0, n|], on noteAp= (ai,jeeedra´ricecmatr)laMnp+1(R) dont le   p+i+j2 coefficient de la ligneiet de la colonnej`ase´tgelaai,j= avec(i, j)[|1, np+ 1|]× p+i1 [|1, np+ 1|]. On notedp= det(Ap).   r I.1.1.Expliciter les entiersretstels queai,j= pourles quatre coefficientsa1,1, a1,np+1, s anp+1,1etanp+1,np+1. I.1.2.Pour tout entier naturelnlureaccle´eteldsantsr2mindn,dn1etdn2. I.1.3.On suppose que la matriceApetopso`sdeaemuionsdeuxlignes.OnnLila ligne d’indice i. I.1.3.1Dans le calcul dedprus:poantesuivionstare´poseleutceneoivariant denp+ 1 a`2,onretranchelaligneLi1`lalaigneLicndoe´ep´eratio(oLiLiLi1ete´D.)renimr le coefficient d’indice (i, j) de la nouvelle ligneLi. I.1.3.2tilaenonetrdnEude´uerierendpetdp+1re,upsine´ddeiudp. I.2.inantsD´etermDnet Δn. PournN, on noteDnldeirtaacece´rredete´einrmtdanamelMn+1(R) dont le coefficient de la ligneiet de la colonnejest (i+j)!,´eesdeantindexnoen´steteelcslolsengilse0`an.     i+j On noteDn= det((i+jeΔnnotsno,taoinstoeˆemecAvsmle).)!npour (= deti, j)i [|0, n|]×[|0, n|].
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I.2.1.erlesd´eterminanstaCclluD0,D1,D2, Δ0, Δ1et Δ2. I.2.2.Donner une relation entreDnet Δn. I.2.3.nEΔuired´ednpuisDn.
PARTIE II.
A.SoitnN. II.A.1.SoitC= (ci,jedececarr´emenuirta)Mn(R). Pour tout entieri[|1, n|], on noteXila matrice colonne deMn,1(R) dont tous les coefficients sont nuls, sauf le coefficient de la lignei qui vaut 1. t II.A.1.1Pour (i, j)[|1, n|]×[|1, n|,]´dteerminerleproduitXiCXj. II.A.1.2´endirduueeqEC= 0 si et seulement si pour tout couple (X, Y) deMn,1(R)×Mn,1(R) t on aXCY= 0. SoitEun espace euclidien de dimensionnet soitB= (e1, . . . , en) une base deE. SoitA= (ai,j) lamatricecarr´eedeMn(R) telle queai,j= (ei|ej) le produit scalaire deeietej. Pour tout vecteurudeEmelettremajusculo,nntoaeevlcmaeˆeUla matrice colonne des composantes du vecteurunt`avemeselabaaliterB. t II.A.2.Pour tout couple (x, y) de vecteurs deE´t(ele´agiljustier,x|y) =XAY. 0 00 00 SoitB= (e ,. . . , e) une autre base deEet soitA= (artraei´rle)cmaacseedMn(R) avec 1n i,j 0 00 0 a= (e|e). On notePla matrice de passage de la baseB`labasaeB. i,j ij 0 II.A.3.Pour tout vecteurudeE, on noteUla matrice colonne des composantes du vecteuru 0 relativementa`labaseB. 0 II.A.3.1Soitxun vecteur deE. Donner une relation entre les matricesX,XetP. 0t II.A.3.2´elreJitsutilage´A=P AP. 0 II.A.3.3letnqsroeut´epgali´eder´ecdeveuQle´eitnB?est une base orthonormale II.A.3.4Montrer que la matriceAest inversible et que det(A)>0. II.A.3.5(sqntsiuee´ed´rcetapsustlsr´eredeeduiD´ε1, . . . , εp) est une famille libre de vecteurs dunespacepr´ehilbertienre´el,lamatriceB= ((εi|εj)) deMp(R) de coefficients les produits scalaires (εi|εj,)et(iedv´erB)>0. B.SoitnN. Dansunespacepre´hilbertienr´eelHsndie`er,onconvecteursquelconquesu1, . . . , un. Soit M= ((ui|uj)) la matrice deMn(R) de coefficients les produits scalaires (ui|uj). A toute matrice   x1 n P   colonneX= deMn,1(R), on associe le vecteurv=xiui. . i=1 xn II.B.1.Dans cette question on supposen= 2. II.B.1.1Montrer que det(M)0. II.B.1.2A quelle condition sur det(M) la famille (u1, u2) est-elle libre? Onrevientaucasge´ne´ralou`nest quelconque dansN. II.B.2.Exprimer les coefiicients de la matriceM Xen fonction des produits scalaires (ui|v). t2 II.B.3.nE´de´egalit´eduirelXM X=kvk`oukvkest la norme du vecteurv. II.B.4.Soitλune valeur propre (complexe) de la matriceM. Justifier queλappartient`aR. Montrer queλ0. II.B.5.Montrer queM X= 0 si et seulement sivest le vecteur nul. II.B.6.On suppose que la matriceMde´eeqntnpioecr´qaletseuude´derile,drsibinveesteual famille (u1, . . . , un) est libre. D´enition:´etantdonne´nvecteursv1, . . . , vne´ihecrpitneblreeer´lespadunH, on appelle matrice de Gram des vecteursv1, . . . , vn, la matriceG(v1, . . . , vn) = ((vi|vj)) deMn(R) de coefficients les produits scalaires (vi|vj). Ilre´sultedelapartieIIque la famille (v1, . . . , vn) est libre si et seulement si det(G(v1, . . . , vn))6;= 0 dans ce cas, on a det(G(v1, . . . , vn))>0.
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PARTIE III.
3 Dans cette partie,Eest l’espace euclidienRorient´e,ppuse´sou1, u2, u3sont trois vecteurs unitaires deE. On noteα, β, γelsde[0ele´rs, π] tels que (u1|u2) = cos(α), (u2|u3) = cos(β), (u3|u1) = cos(γ) et on suppose que 0γβαπ. 2 22 III.1.carsseninimrelreeompodunˆlye´etdP(X) =X2Xcos(β) cos(γ) + cos(β) + cos(γ)1. III.2.de´dnEsaritoacefunreui(tededitnoG(u1, u2, u3)) en produit de deux facteurs. III.3.Montrer que cos(α) est compris entre cos(βγ) et cos(β+γ). III.4.Montrer que det(G(u1, u2, u3)) = 0 si et seulement siα+β+γ= 2πouα=β+γ. III.5.On suppose queα=β=γet on notec= cos(α). III.5.1delaiqueristct´eacaroˆemlonylrpeeretnemiD´ecirtamG(u1, u2, u3eses-irvdau´end.E) leurs propres. III.5.2pluserlatevapetiopsselruedbielDnimrete´c. 1 III.5.3On prendc=. 2 III.5.3.1Quelle est la valeur deu1+u2+u3? III.5.3.2cirteeuemnoqicenaihmslama´e`asocintasnelrenimrete´DrpmodoenldeauoyG(u1, u2, u3). En utilisantII.B.5, retrouver la valeur deu1+u2+u3.
PARTIE IV.
Soitnun entier naturel avecn2. Onconsid`erenvecteursv1, . . . , vnihblreitne´reeldunespacepr´eH. IV.1.russvseletcedsruOpra´eontiitm.SoGearcideamrtuenλR. IV.1.1.Exprimer det(G(v1, . . . , vn1, λvn)) en fonction deλet de det(G(v1, . . . , vn1, vn)) IV.1.2.Exprimer det(G(v1, . . . , vn1, vn+λv1)) en fonction de det(G(v1, . . . , vn)). IV.2.SoitF=V ect(v1, . . . , vn) le sous-espace vectoriel deHrles´epaendrenguesrevtcv1, . . . , vn. IV.2.1.Soitwun vecteur deHnolaa`orogthF. Exprimer det(G(v1, . . . , vn, w)) en fonction de wet de det(G(v1, . . . , vn)). IV.2.2.Soitv∈ H, on noted(v, F) la distance du vecteurvau sous-espace vectorielF. Montrer 2 le´galite´det(G(v1, . . . , vn1, v)) = (d(v, F)) det(G(v1, . . . , vn)). IV.3.ur`aunsous-espacsiatcndeuvnceetdaledluclaCceveirot.le R +kt IV.3.1.PourkNt´egesinsraleocvnrealcndereegju,istJk=t edtet calculer leur 0 valeur. On rappelle (et on admettra) queR[Xorievectpacelesnyoˆpsloleedrle´iecsnts`meoeac,] R +t dansRertienr´pr´ehilbpeorudtieepluolrerialacs(senuecaptse,P|Q) =e P(t)Q(t)dt. 0 k Onconside`relabasedeR[Xevseuetcsr]´eedformekou`ek=X , kN. IV.3.2.Calculer les produits scalaires (ei|ej). IV.3.3.SoitnNitrapaledtesetneedc´´eprnsiostueedqsiuer´Dde.eI, la distance du vecteur enau sous-espace vectorielRn1[Xylopmoˆnsed]edrgseede´n1 de l’espaceR[X].
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