CCP TSI Maths page

Publié par

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
CCP TSI 2004 Maths 2 page 1 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI MATHEMATIQUES 2 Duree : 3 heures Les calculatrices sont autorisees NB. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Soit ? un nombre reel et f une fonction continue de R dans R. On note (E?) l'equation differentielle suivante : (E?) : y?? + ?y = f . On designe par : • S l'ensemble des fonctions F de la variable x deux fois derivables de R dans R solutions de l'equation differentielle (E?) • S0 l'ensemble des fonctions F elements de S telles que F (0) = F (pi) = 0. Partie A A.1.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle sur R et que le reel ? est nul. Determiner l'ensemble S0. A.2.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle sur R. Soit ? un reel strictement positif, determiner l'ensemble S0 lorsque : A.

  • classe c1 par morceaux

  • solution sur r?

  • epreuve specifique filiere

  • coefficient de fourier

  • concours commun polytechnique


Publié le : mercredi 20 juin 2012
Lecture(s) : 57
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
CCP TSI 2004 Maths 2
CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI
MATHEMATIQUES 2
Dur´ee:3heures
Lescalculatricessontautorise´es
page 1
NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancea`laclarte´,a`lapr´ecisioneta`la concisiondelare´daction. Siuncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd´enonc´e,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilae´t´eamene´a`prendre. Soitαbrer´eelunnomtefune fonction continue deRdansR. On note (Eαitviaenlleerseundi´ttei:onqeaul)´00 (Eα) :y+αy=f. Onde´signepar: • Sl’ensemble des fonctionsFde la variablexdedeufxiodse´iravlbseRdansRsolutions dele´quationdi´erentielle(Eα) • S0l’ensemble des fonctionsFme´le´detsenStelles queF(0) =F(π) = 0. Partie A A.1.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surRlee´relequetαest nul.D´eterminerlensembleS0. A.2.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surR. Soitωurne´letselesbmenlerinrmte´e,dfitisoptnemetcirS0lorsque : 2 A.2.a.)α=ω. 2 A.2.b.)α=ω. A.3.)Onsupposedanscettequestionquelere´elαest nul. Soitnaturelnuonentiernetmrnirennlud,e´leenlmbseS0lorsque : A.3.a.)f(x) = cosnx. A.3.b.)f(x) = sinnx. A.4.)Onsupposetoujoursquelere´elαotdne´isngperaeluntsefeuqnun´el´ementquelco 0 deC(R,R). A.4.a.) Montrerque :  ZZ x u 2 S=F:x7→f(t)dt du+ax+b|(a, b)R. 0 0 A.4.b.)End´eduirequelensembleS0eme´ontnuqinle´emeadnutut´eF1eterminer.D´F1. 0 Danstoutelasuitedecettepartie,onde´signeparϕdeeeniond´nctilafoC(R,R) danslui-mˆemequi,`alafonctionf, associeF1ntdeu,inuq´elee´emS0.
CCP TSI 2004 Maths 2
page 2
0 A.5.a.) Montrerque l’applicationϕest un endomorphisme deC(R,R). A.5.b.) L’endomorphismeϕest-il injectif? surjectif? A.5.c.)D´eterminerlesvaleurspropresetlesvecteurspropresdelendomorphismeϕ. Partie B B.1.)Onde´nitlafonctionpdeRdansRpar :   x xR, p(x) =sin. 2 1 B.1.a.) Montrerque la fonctionp2edotpesreaiep,dri´eπ, continue et de classeCpar morceaux. B.1.b.)Repre´sentergraphiquementlacourberepre´sentativedelafonctionpsur [π,3π]   dansunrepe`reorthogonal0;ji ,.    Unite´graphique2cmsurO;iet 5 cm surO;j. B.1.c.) Justifieravec soin que la fonctionpdesas´eriedeFourei.rstseemmo B.1.d.)De´terminerlescoecientsdeFourierdelafonctionpet montrer que : 2 4Pcosnx xR, p(x) =. 2 π π4n1 n>1 B.2.a.) Soitgoicnnoitnufenotceriode2nue,dep´πdeRdansR, on notean(g) etbn(g) ses coefficients de Fourier. Donner la formule de Parseval pour la fonctiong. B.2.b.)Ende´duireque: 2 4P1π + =. 2 2 π π(4n1) 4 n>1 Partie C Onseproposeder´esoudrele´quationdie´rentielle(E1o`ulier)elacadsnitucpsrafest un 0 ´ele´mentdeC(R,R), soit : 00 y+y=f. C.1.)D´eterminerlensembledesfonctionsdeuxfoisd´erivablesdeRdansRsolutions de le´quationdie´rentielle: 00 y+y= 0. C.2.)Onde´nitlafonctionhdeRdansRpar : Z x xR, h(x) =f(t) sin (xt)dt. 0 C.2.a.) Montrerque : Z Z x x x[0, π], h(x) = sin(x)f(t) cost dtcosx f(t) sint dt. 0 0 0 00 C.2.b.) Montrerque la fonctionhiravdse´fxiodtueesuresblRet expliciterheth. C.2.c.)End´eduirequelafonctionhseutenre`i(edertpauliclusoontiE1). C.3.)De´terminerlensembledesfonctionsdeuxfoisde´rivablesdeRdansRsolutions de le´quationdi´erentielle(E1). C.4.) Onsuppose dans cette question quef(x) =|sinx|. C.4.a.)De´duiredelapartieBque: 2 4Pcos 2nx xR,|sinx|=. 2 π π4n1 n>1
CCP TSI 2004 Maths 2
page 3
C.4.b.) Soitxree´morbunnletenun entier naturel, calculer : Z x cos 2ntsin (xt)dt. 0 C.4.c.)t´egraleerieetinmrture´sortiedepoiavedrlnaOetdm. Montrer que : 2 4Pcos 2nxcosx xR, h(x(1) =cosx.) + 2 π π 2 n>1(4n1) C.4.d.)D´eduiredelaquestionB.2.b.)que: +2π4Pcos 2nx xR, h(x) =cosx+ . 2 2 π4πn=1 (4n1) C.4.e.) Calculerh(0) eth(π). 00 C.4.f.)D´eduirelensembleSedloisnlotuedss´erendiatio´equelleitny+y=|sinx|puis l’ensembleS0´lmenestdedsee´Ss’annulant en 0 etπ. Partie D Onconsid`erele´quationdi´erentielle: 200 0 (F)x y(x) +xy(x) +y(x) = 0,x >0. D.1.) Soitzicationdeuxfoisde´iravlbserulppaenuRtelle quexR, y(x) =z(lnx). Ex-+ 0 00 primera`laidedesapplicationsz,zlenoitppaaciledelcondetse`ereerimeepsir´vdse´ y. D.2.) Montrerque l’applicationyest solution surR(elledietlnioatqu´ere´eindF) si, et + seulement si, l’applicationzest solution surRitauidnore´itneundeqe´elle`apr´eciser, que l’on notera (H). D.3.)R´esoudre(Hsdone(mesndelbosseitul).End´eduireleF). D.4.)D´eterminerluniquesolutiondusyste`mesuivant: 200 0 x y(x) +xy(x) +y(x) = 0>, x0 y(1) = 0 0 y(1) = 1
Findele´nonc´e
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.