CHAPTER LA TRANSFORMATION DE FOURIER

Publié par

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
CHAPTER 5. LA TRANSFORMATION DE FOURIER Chapter 5 La transformation de Fourier 5.1 La transformation de Fourier sur L1(Rn) Définition 5.1.1. Soit f ? L1(Rn). On appelle transformée de Fourier de f la fonction f : Rn ? C définie par f(?) = ∫ Rn f(x)e?2piix·?dx, où x · ? = ∑ni=1 xi?i dans une base orthonormale pour Rn. Lemme 5.1.2. f(?) est défini pour tout ? et |f(?)| ≤ ?f?1. En particulier, ?f?∞ ≤ ?f?1. Proof. Immédiat. 5.1.2 Théorème 5.1.3 (Riemann-Lebesgue). Pour toute f ? L1(Rn) on a f ? C0(Rn). L'application F : L1(Rn) ? C0(Rn), F(f) = f , dite la transformation de Fourier, est linéaire et continue. Proof. La linéarité est immédiate. La continuité est une conséquence du théorème de continuité sous le signe de l'intégrale (Théorème 2.5.1) appliqué à la fonction g(x, ?) = e?2piix·?f(x). Nous avons donc f ? C(Rn), et il reste à vérifier que f(?) ? 0 quand ? ? ∞. Supposons d'abord que f ? C∞c (Rn).

  • ?∞ e?api

  • conséquence du théorème de continuité sous le signe

  • dérivation théorème

  • transformation de fourier

  • rn e?2piix·?

  • base orthonormale de rn


Publié le : vendredi 8 juin 2012
Lecture(s) : 25
Source : math.univ-lyon1.fr
Nombre de pages : 11
Voir plus Voir moins
CHAPTER 5. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
Chapter 5
La transformation de Fourier
5.1
1n La transformation de Fourier surL(R)
1n Définition 5.1.1.SoitfL(R). On appelle transformée de Fourier defla fonction n ˆ f:RCdéfinie par Z ˆ 2πixξ f(ξ) =f(x)e dx, n R P n n xξ=xiξidans une base orthonormale pourR. i=1
ˆ ˆ ˆ Lemme 5.1.2.f(ξ)est défini pour toutξet|f(ξ)| ≤ kfk1. En particulier,kfk≤ kfk1.
Proof.Immédiat.
5.1.2
1n n ˆ Théorème 5.1.3(RiemannLebesgue).Pour toutefL(R)on afC0(R). 1n n ˆ L’applicationF:L(R)C0(R),F(f) =f, dite la transformation de Fourier, est linéaire et continue.
Proof.La linéarité est immédiate. La continuité est une conséquence du théorème de continuité sous le signe de l’intégrale (Théorème 2.5.1) appliqué à la fonctiong(x, ξ) = ˆ ˆ 2πixξ n e f(x)avons donc. Nous fC(R), et il reste à vérifier quef(ξ)0quand ξ→ ∞. n Supposons d’abord quefC(R). Alorsfest intégrable, ainsi que ses dérivée c ∂f n partielles . SoitMassez grand pour quesupp(f)[M, M]dit,. Autrement fest ∂xj n n nulle en dehors de[M, M], et par continuité, en dehors de]M, M[. Fixons une
–sourcefile–
47
Rev: –revision–, May 3, 2011
48
CHAPTER 5.
LA TRANSFORMATION DE FOURIER
directionj. Utilisant l’intégration par parties, nous calculons : Z Z M 2πixξ2πixξ e f(x)dxj=e f(x)dxj −∞ −M Z M 12πixξ =f(x)e dxj 2πiξjM∂xj  Z M 1x=M∂f 2πixξj2πixξ =[e f(x)]e dxj xj=M 2πiξjM∂xj Z 1∂f 2πixξ =e dxj, 2πiξj−∞∂xj
d’où
Zk k1 1∂f∂xj 2πixξ ˆ f(ξ)e dx.   2πiξ ∂x2πξ n jRj j
k k1 ∂x j ˆ Ainsi, pour toutε >0, sikξk>maxjalors|f(ξ)|< ε. 2π Maintenant, traitons le cas général. Soitε >0. Par la densité des fonctions lisses n à support compact il existe une fonctiongC(R)tell quekfgk1< ε/2. Il en c ˆ découle que|f(ξ)gˆ(ξ)|< ε/2pour toutξle paragraphe précédent, si. Par kξkest ˆ assez grand alors|ˆg(ξ)|< ε/2et|f(ξ)|< ε.5.1.3 Exemple5.1.4 (Transformée de Fourier de la Gaussienne).On a
|x|=kxk2. Proof.Nous admettons que
2n π2 |x− || − ξ| 2a F(e)(ξ) =,a e
Z 2 πt e dt= 1. −∞
La théorie des fonctions à une variable complexe nous permet d’en déduire que Z 2 π(t+ic) e dt= 1 −∞ pourcR, d’où Z 21 (t+ic) e dt= a −∞
5.1.
1N LA TRANSFORMATION DE FOURIER SURL(R)
pourcReta >0. Alors Z 2 2 |x| −|x| −2πixξ F(e)(ξ) =dxe e Z Pj 2 (x+2xj) =e dx j j a Z 2Piξ ξ 2 (xj++ ) =e dx j a2 a n R Z Yj π2 2 − |ξ| −(xj+ ) =e e dx a a n R j Z   Y π2 2 − |ξ| −(xj+ ) =dxe e j a a R j n π2 − − |ξ| =a e . 2a
49
5.1.4
5.1.1 Transformation de Fourier et dérivation ˆ 1n Théorème 5.1.5.SoitfL(R)suppose que. On x7→xjf(x)est intégrable. Alorsf 1 est de classeCet ˆ   ∂f =2πiFxjf(x). ∂ξj
2πixξ Proof.Posonsg(x, ξ) =e f(x), et calculons : ∂g 2πixξ =2πixje f(x). ∂ξj
∂g Cette dérivée partielle est continue pour toutxet = 2π|xjf(x)|est par hypothèse ∂ξj une fonction intégrable. Les hypothèses du théorème de la dérivation sous le signe de l’intégrale (Théorème 2.5.2) sont donc vérifiées, et nous avons Z Z ˆ ∂f ∂ 2πixξ2πixξ (ξ) =e f(x)dx=2πi e xjf(x)dx=2πiF(xjf(x)).5.1.5 ∂ξj∂ξj n PourαNnous écrivons X Y α αj x= |α|=αj, xj,
50
CHAPTER 5.
LA TRANSFORMATION DE FOURIER
|α| et sifest de classeC: |α| |α| ∂ ∂ α D f=f=f. α1 α αn ∂x ∂x∙ ∙ ∙∂x 1n n k Corollaire 5.1.6.Soitf:RCune fonction t.q.x7→(1 +|x|)f(x)est intégrable. k n ˆ Alorsfest de classeCet pourαN,|α| ≤k:   ˆ α|α|α α D f(ξ) = (2πi)F(x f) =F(2πix)f . n1 Théorème 5.1.7.Soitf:RCune fonction de classeC. On suppose quefet la ∂f dérivée partielle sont intégrables. Alors ∂ξj   ∂f ˆ F(ξ) = 2πiξjf(ξ). ∂xj Proof.Pour simplicité de notation nous considérons le casn= 1. FixonsM1< M2réels positifs. Intégrant par parties : Z Z M2M2 df 2πixξ2πiM2ξ2πiM1ξ2πixξ e(x)dx=e f(M2)e f(M1) + 2fπiξ e (x)dx. dx M1M1 df Commefintégrables, on obtient (e.g., par convergence dominée)et sont dx Z Z M2M2 df df 2πixξ2πixξ lime(x)dx=e(x)dx, dx dx M1→−∞ M1−∞ Z Z M2M2 2πixξ2πixξ lime f(x)dx=e f(x)dx. M1→−∞ M1−∞ 2πiM1ξ Il en découle quelimM1→−∞e f(M1)existe, et commefest intégrable l’unique 2πiM2ξ limite possible est zéro. Par le même raisonnementlimM2→∞e f(M2) = 0, d’où   Z M2 df df 2πixξ F(ξ) = lime(x)dx dx2Mdx M1→−∞,M→∞ 1 Z M2 2πixξ = lim 2πiξ e f(x)dx M1→−∞,M2→∞ M1 ˆ = 2πiξf(ξ).5.1.7 n k Corollaire 5.1.8.Soitf:RCune fonction de classeC. On suppose quefet toutes k n ˆ ses dérivées partielles jusqu’à l’ordreksont intégrables. Alors on a|ξ|f(ξ)C0(R), i.e., ˆ k lim|ξ|f(ξ) = 0, |ξ|→∞ n et pourαN,|α| ≤k: α|α|α α ˆ ˆ FD f) = (2πi)ξ f= (2πiξ)f .
1N 5.1. LA TRANSFORMATION DE FOURIER SURL(R)
5.1.2
1 Convolution surL
51
D’après l’inégalité de Young (Théorème 3.4.5) le produit de convolution est bien défini 1n surL(R)et on a kfgk1≤ kfk1kgk1.
C’est un produit associatif et commutatif.
1n Théorème 5.1.9.Soientf, gL(R). Alors
[ˆ fg=fˆg.
Proof.Par Fubini, Z Z Z 2πixξ2πixξ [ fg(ξ) =e(fg)(x)dx=e f(y)g(xy)dxdy n n n R R R Z Z 2πi(xy)ξ2πiyξ =e g(xy)fdx e (y)dy n n R R Z 2πiyξ =gˆ(ξ)e f(y)dy n R Z 2πiyξ ˆ = ˆg(ξ)e f(y)dy=f(ξ)gˆ(ξ). n R
5.1.3
Synthèse spectrale
La synthèse spectrale concerne l’inversion de la transformation de Fourier.
1n1n Théorème 5.1.10.SoitfL(R)et aussiF(f)L(R). Alors p.p.
f=F(F(f))
Z 2πixξ F(g)(x) =F(g¯) =g(ξ)e dξ. n R
Corollaire 5.1.11.La transformation de Fourier est injective.
5.1.9
1n n Mais l’image de la transformation de Fourier surL(R)n’est pas toutC0(R).
52
5.2
CHAPTER 5. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
La transformation n SchwartzS(R)
de
Fourier
sur
l’espace
de
Le but est de restreindre la transformation de Fourier sur un domaine qu’elle préserve.
n Définition 5.2.1.On appelle une fonctionf:RCàdécroissance rapide, si elle est k m de classeCet si pour toutαNetβN:
β α n x D f(x)C0(R),
i.e.,
|x|→∞ β α x D f(x)−→0.
n n S(R)est l’espace des fonctionsRCà décroissance rapide, elle est appelée laclasse de Schwartz.
Lemme 5.2.2.Pour toutp[1,[, Z 1 dt <. 2p (1 +t) R
Lemme 5.2.3.On a les inclusions
n n1n2n n C c(R)⊂ S(R)L(R)L(R)C0(R).
n1n2n Cc(R)est dense dansL(R)L(R)pour les normesk ∙ k1etk ∙ k2(Théorème 3.5.7).
Lemme 5.2.4.La classe de Schwartz est close par :
∂ α k (i)ou plus généralement, parDérivation , D,αN. ∂xi α (ii)Multiplication parxi, ou plus généralement, parx.
(iii)Par conjugaison complexe.
(iv)Par la transformée de Fourier.
n Théorème 5.2.5.La restriction de la transformation de Fourier àS(R)est un auto n n morphisme d’espaces vectorielsF:S(R) =S(R).
5.3
2n La transformation de FourierPlancherel surL(R)
1n Le but est de prolonger la transformation de Fourier (ou plutôt sa restriction àL(R)2n2n L(R)) àL(R).
2N 5.3. LA TRANSFORMATION DE FOURIERPLANCHEREL SURL(R)
53
1n2nn Lemme 5.3.1.SoitfL(R)L(R). Alors il existe une suite(fn)ndansCc(R), t.q. k∙k1k∙k2 fn−→fetfn−→f.
1n2n2n Théorème 5.3.2.SoitfL(R)L(R). AlorsF(f)L(R)et on a Z Z 2 2 |f(x)|dx=|F(f)(ξ)|dξ.
n À compléter.On démontre d’abord pourfC(R). c Z Z ˆ ˆ ˆ 2 |f(ξ)|=f(ξ)f(ξ)Z Z ˆ 2πihx,ξi =f(x)fe dx (ξ)
=. . . R R ˆ ˆ 1 Puisquefetfsont toute les deux dansL,|f(x)||f(ξ)|dxdξ <. Par le théorème de Fubini, nous avons donc droit aux manipulations suivantes : Z Z 2πihx,ξi ˆ . . .=f(x)f(ξ)e dxdξ Z Z 2πihx,ξi ˆ =f(ξ)e dξ f(x)dx Z Z ˆ 2πihx,ξi =f(ξ)fe dξ (x)dx Z ˆ =F(f)(x)f(x)dx Z Z 2 =f(x)f(x)dx=|f(x)|dx
ˆ Puis on utilise le fait quekfk≤ kfk1.
5.3.2
1n Théorème 5.3.3(Plancherel).La restriction de la transformation du Fourier àL(R)2n L(R)possède un unique prolongement continu
2n2n P:L(R)L(R).
En outre,Pest une isomorphisme isométrique, c’estàdirekP(f)k2=kfk2, dont l’inverse 1 est donné parP(f) =P(f).
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.