Concours CCP Filière PC

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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Concours CCP 2003 Filière PC MATHEMATIQUES 2 Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** PARTIE I Pour tout nombre réel u ?]0, 1[, on définit la fonction ?u de la variable réelle t par : -Pour tout t ? [?pi, pi[, ?u(t) = cosut, -La fonction ?u est périodique de période 2pi. Soit 12a0(u) + +∞∑ n=1 an(u) cosnt la série de Fourier de la fonction ?u. I.1 Calculer an(u) pour tout n ? N. La fonction ?u est-elle égale en tout point de R à la somme de sa série de Fourier ? I.2 En déduire pour tout u ?]0, 1[, l'égalité : pi cospiu sinpiu ? 1 u = +∞∑ n=1 2u u2 ? n2 . I.3 Montrer que la série de fonctions de terme général un(x) = ln ( 1? x 2 n2 ) , n ? N?, converge simplement sur [0, 1[, et

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Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Concours CCP 2003 FiliÈre PC MATHEMATIQUES 2
Les calculatrices sont interdites **** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance À la clartÉ, À la prÉcision et À la concision de la rÉdaction. Si un candidat est amenÉ À repÉrer ce qui peut lui sembler tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ÉtÉ amenÉ À prendre. ****
PARTIE I
Pour tout nombre rÉelu]0,1[, on dÉfinit la fonctionϕude la variable rÉelletpar : -Pour toutt[π, π[,ϕu(t) = cosut, -La fonctionϕuest pÉriodique de pÉriode2π. +X 1 Soita0(u) +an(u) cosntla sÉrie de Fourier de la fonctionϕu. 2 n=1 I.1 Calculeran(u)pour toutnN. La fonctionϕuest-elle Égale en tout point deRÀ la somme de sa sÉrie de Fourier? I.2 EndÉduire pour toutu]0,1[, l’ÉgalitÉ : +X πcosπu1 2u =. 2 2 sinπu uun n=1 Ã ! 2 x I.3 Montrer que la sÉrie de fonctions de terme gÉnÉralun(x1) = ln,nN, 2 n 0 converge simplement sur[0,1[, et que la sÉrie de fonctions de terme gÉnÉralu(x) n converge normalement sur tout segment[0, a][0,1[. +X En dÉduire une expression deun(x)pour toutx[0,1[. n=1 I.4 Soit(sn)nNla suite de fonctions dÉfinies pour toutxRpar la rÉcurrence : Ã ! 2 x s0(x) =x, sn(x1) =sn1(x)pour toutnN. 2 n I.4.1 Montrerque la suite de fonctions(sn)nNconverge simplement surR. Nous noteronsssa limite. x+n+ 1 I.4.2 Montrerque pour toutnNet toutxRon asn(x+ 1) =sn(x). xn En dÉduire ques(x+ 1) =s(x)pour toutxR. I.4.3 Calculers(x)pour toutx[0,1[. sinπx En dÉduire que pour toutxRon as(x) =. π PARTIE II
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