Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve :MATHÉMATIQUES II FilièrePSI Partie I -Valeurs propres de AB et BA Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant àMn(R). On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité. I.A - Cas de la valeur 0. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. I.B - Soit ? une valeur propre réelle non nulle de AB, X ? Rn un vecteur propre de AB associé à cette valeur propre ?. I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA? xA, démontrer que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB? xI) = det(BA? xI).

  • coefficients diagonaux

  • produit scalaire

  • q1 ·diag

  • endomorphisme de r3 canoniquement

  • b? ?

  • matrice dans la base cano- nique


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Calculatricesautoris?es
Concours Centrale - Supélec 2009
Épreuve :MATHÉMATIQUES II FilièrePSI
Préliminaires
PartieI-ValeurspropresdeAB etBA
Dans le problème,R désigne l’ensemble des nombres réels;M (R) désigne l’es
n
Soitn> 2unentieret A,B deuxmatricesappartenantàM (R).
n
pace vectoriel des matrices carrées d’ordren à coefficients réels. L’espace vectoriel
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
n n
euclidienR est muni du produit scalaire usuel. On identifie l’espace vectorielR
mêmeordredemultiplicité.
etl’espacedesmatricescolonnesréellesd’ordren.
I.A-Casdelavaleur0.
n
I.A.1) Démontrerque0estvaleurproprede AB si,etseulementsi,det(AB) = 0.
On peut ainsi écrire le produit scalaire< X,Y > de deux vecteurs X et Y deR
p
p
t t I.A.2)er que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
souslaforme XY etlanorme||X|| = < X,X> souslaforme XX.
propredeBA.
Pour λ ,...,λ des réels, on note Diag(λ ,...,λ ) ∈M (R) la matrice diagonale
1 n 1 n n
n
avecλ ,...,λ commecoefficientsdiagonaux.
1 n
I.B-Soitλ unevaleurpropreréellenonnullede AB,X ∈R unvecteurproprede
OnnoteO(n) l’ensembledesmatricesorthogonalesdeM (R).
n
AB associéàcettevaleurpropreλ.
I.B.1) Démontrerquelesvecteurs ABX etBX sontnonnuls.
n n
SiB est une base deR , on note (x ,...,x ) le vecteur deR de coordonnées
1 n B
I.B.2)erquelevecteurBX estvecteurproprepourlamatriceBA.
(x ,...,x ) danslabaseB.
1 n
0 0 0 n
I.B.3) Démontrerque AB etBA ontlesmêmesvaleurspropresréelles.
SiB = (e ,e ,...,e ) etB = (e ,e ,...,e ) sont deux bases de R , on note
1 1 2 n 2
1 2 n
I.C-Onsupposeque A estinversible.Onnote I lamatriceidentitéd’ordren.
P lamatricedepassagedeB versB .
1 2
B →B
1 2
n
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA xA, démontrer
Si f est un endomorphisme deR , on note Mat (f) la matrice de l’endomor-
B ,B
1 2
quepourtoutx réeloucomplexe,ona: det(AB xI) = det(BA xI).
phisme f parrapportàlabaseB audépartetB àl’arrivée,c’est à direlamatrice
1 2
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou com

dontlescolonnessontlesvecteurs f(e ) , f(e ) , ..., f(e ) .
n
1 2
plexes,aveclemêmeordredemultiplicité.
B B B
2 2 2
En particulier, siB =B =B, on note Mat (f) = Mat (f) la matrice de
1 2
B B ,B
1 2
On admet que ce résultat est encore vrai si A n’est pas inversible.
l’endomorphisme f danslabaseB.
Page 1/3
-
v
ersi
on
du
1
2
m
a
rs
2
009
1
0h51MATHÉMATIQUES II Filière PSI
t
II.B - On rappelle que A = Mat (f) et AA = Mat (g) et dans cette section, on
PartieII-Valeurssingulièresd’unematrice
B B
t
noteρ = rg(AA) = rg(g).
n
DanscettepartieII,onfixeunentiern,n> 2,unematrice A appartenantàM (R)
n II.B.1) Justifierl’existenced’unebaseorthonorméedeR notéeB = (X ,...,X )
1 1 n
etonposer = rg(A).
telleque:
n
t
On note f et g les deux endomorphismes deR dont les matrices dans la base
Pourtoutentieri ∈ [1,ρ], AAX = λ X ;
i i i
t
canoniqueB sontrespectivement A et AA.
(X ,...,X ) soitunebasedeKer f.
ρ+1 n
t t II.B.2) Démontrer que la famille (AX ,...,AX ) est une famille orthogonale de
ρ
1
II.A-Diagonalisationde AA etde AA.
vecteursnonnulsetunebasedeIm (f).
II.A.1)
II.B.3) Pourtoutentieri ∈ [1,ρ],calculer||AX||.
i
n t
a)DémontrerquepourtoutX ∈R , AX = 0 =⇒ AAX = 0.
n
II.B.4) Démontrerqu’ilexisteunebaseorthonorméeB deR telleque
2
n t
b)OnsupposequeX ∈R esttelque AAX = 0.
Mat (f) = Diag(σ ,...,σ ).
B ,B 1 n
t t
1 2
Calculer X AAX etendéduireque AX = 0.
II.B.5) Démontrerqu’ilexistedeuxmatricesorthogonalesP ,P ∈O(n)tellesque
1 2
t
c)EndéduirequeKerg = Ker f puisquerg(A) = rg(AA).
A = P Diag(σ ,...,σ )P .
1 1 n 2
t t
II.A.2) Démontrerque AA et A A sontdeuxmatricessymétriques.
II.C-
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu’il existe P,Q ∈ O(n) et D ∈M (R)
n
+
II.C.1) Soientσ ,...,σ ∈R desréelspositifs.
diagonaletellesque 1 n
t t t t Démontrerqu’ilexistedeuxmatricesQ etQ dansO(n) tellesque:
1 2
AA = PD P et A A = QD Q
A = Q Diag(σ ,...,σ )Q ⇐⇒ σ ,...,σ sontlesvaleurssingulièresde A.
1 1 n 2 1 n
OnposeD = Diag(λ ,...,λ )
1 n
II.C.2) Soient A,B∈M (R) deuxmatricesréelles.Démontrerque:
n
II.A.4) DémontrerqueD possèdeexactementr termesdiagonauxnonnuls.
2
A etB ontlesmêmesvaleurssingulières⇐⇒∃(R ,R )∈O(n) ,A = R BR .
1 2 1 2
Onsupposeparlasuitequeλ ,...,λ sontnonnulsetdonc
1 r
λ = = λ = 0.
r+1 n
PartieIII-Étudegéométriqued’unexemple
II.A.5)
 
t t t
a) En utilisant AA = PD P, démontrer qu’on peut écrire D sous la forme MM,
1 1 0
 
avec M ∈M (R).
n Danscettepartie,onpose A = 1 0 1 .
0 0 0
b)Démontrerqueλ ,...,λ ∈ [0,+∞[.
n
1
Pouri ∈ {1,...,n}, on appelle «valeurs singulières de A» lesn nombresσ définis
3
i
p
On note f l’endomorphisme deR canoniquement associé à A etB la base cano
parσ = λ .
3
i i
niquedeR .
II.A.6) SoientU,V ∈O(n).
III.A-Danscettesection,onutiliselesnotationsetrésultatsdelapartieII.
DémontrerquelesvaleurssingulièresdeUAV sontexactementcellesde A.
t
III.A.1) Déterminerlerangde A etcalculer AA.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A ∈M (R) est une ma
n
III.A.2)lesvaleurssingulièresde A quel’onnoteraσ ,σ ,σ
tricesymétriqueréelle.
1 2 3
Déterminerlesvaleurssingulièresde A enfonctiondesvaleurspropresde A.
avecσ > σ > σ .
1 2 3
Page 2/3MATHÉMATIQUES II Filière PSI
t
III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de AA que l’on IV.B-
noteraB = (X ,X ,X ).
1 1 2 3
Danscettesection,onsupposequerg(A) = 1.
On rangera les vecteurs dans l’ordre décroissant des valeurs propres correspon
IV.B.1) Démontrerqu’uneseuledesvaleurssingulièresde A estnonnulle.
dantes.
Onlanoteσ .
1
III.A.4) DéterminerunebaseorthonorméeB = (Y ,Y ,Y ) telleque
2 1 2 3
IV.B.2) DémontrerqueS estunsegmentdontondonneralalongueur.
Mat (f) = Diag(σ ,σ ,σ ).
2 3
B ,B 1
1 2
t
III.A.5) Démontrerque A = P Diag(σ ,σ ,σ ) P .
1 2 3
B→B B→B
2 1
OnposepourlasuiteP = P ,Q = P etD = Diag(σ ,σ ,σ ). PartieV-Pseudo inversed’unematrice
1 2 3
B→B B→B
1 2
3
III.B-OnétudielapartieS deR définiepar
Soitn un entier,n> 2 et A ∈M (R), qu’on écrit, comme dans la Partie II, sous la
n
3 3
S ={AX; X ∈R ,||X|| = 1} ={f(x); x ∈R ,||x|| = 1}.
forme A = Q Diag(σ ,...,σ ,0,...,0)Q , oùQ ,Q ∈O(n) sont deux matrices
1 1 p 2 1 2
C’est donc l’ensemble décrit par f(x) quand x décrit l’ensemble des vecteurs de
orthogonalesetσ ,...,σ desréelsstrictementpositifs.
1 p
3
norme1(sphèreunitédeR ).
+
Ondéfinitlepseudo inverse A de A par

III.B.1) Démontrer queS est une partie d’un plan dont on déterminera une base
1 1
+ t t
, , , , ,
A = Q Diag 0 0 Q
etuneéquationcartésienne.
2 1
σ σ
p
1
0 0 3 0
III.B.2) DémontrerqueS ={QDX ,X ∈R ,||X || = 1}.
+
OnposeP = AA .
0
III.B.3) DémontrerquedansunebaseadaptéeB àdéterminer,

V.A-Démontrerquerg(A) = p.
2 2
y y

1 2
+ 6 1 +
2 2 V.B - Simplifier le produit matriciel AA et en déduire que, si A est une matrice
y = (y ,y ,y ) 0 ∈S ⇐⇒
1 2 3 B σ σ
1 2

+ 1
inversible, A = A .
y = 0
3
n
III.B.4) Préciserlanaturegéométriquedel’ensembleS.
V.C- On note f et h les endomorphismesR dont les matrices dans la base cano
niquesontrespectivement A etP.
Démontrerqueh estunprojecteurorthogonaldontondonneralerang.
PartieIV-Imagedelasphèreunité
V.D-DémontrerqueIm (f) = Im (h).
n
Danscettepartie,commedanslaPartieIII,AestunematricedeM (R)etonétudie
V.E-SoitY ∈R fixé.
3
3
n
S l’ensembleS ={AX; X ∈R ,||X|| = 1}.
On considère le système linéaire AX = Y, où X ∈ R est l’inconnu. On suppose
quecesystèmen’apasdesolutionet,àdéfaut,onrecherchelesvecteursX telsque
IV.A-
lanormedeY AX soitminimale.
Danscettesectiononsupposequerg(A) = 3.
+
DémontrerqueX = A Y estl’undecesvecteurs.
IV.A.1) Démontrerque Aadmettroisvaleurssingulièresσ ,σ ,σ strictementpo
1 2 3
sitives,distinctesounon.
3 0
IV.A.2) Démontrerqu’ilexisteunebaseorthonorméedeR notéeB telleque:
FIN
2 2 2
y y y
1 2 3
y = (y ,y ,y ) 0 ∈S ⇐⇒ + + = 1
1 2 3 B
2 2 2
σ σ σ
1 2 3
IV.A.3) PréciserlanaturegéométriquedeS.
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