Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2007 1/8 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Définitions et notations Dans tout le problème désigne un entier naturel non nul et l'espace vecto- riel euclidien rapporté à sa base canonique et muni du produit scalaire usuel. On utilisera l'isomorphisme, relativement à la base canonique, entre et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre ; ainsi à tout élément de on associera la matrice colonne notée . On identifiera les matrices carrées d'ordre et et on pourra ainsi écrire le produit scalaire entre deux vecteurs de sous la forme : . • On désigne par l'ensemble des matrices orthogonales carrées d'ordre et par la matrice unité d'ordre . • On notera l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre symé- triques et l'espace des endomorphismes de admettant dans la base canonique une matrice symétrique réelle. Ils seront dits symétriques. On notera (respectivement ) l'ensemble des endomorphismes dont les valeurs propres sont positives (respectivement strictement positi- ves). et seront les espaces des matrices associées dans la base canonique. • Pour tout uplet , on notera la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont, dans cet ordre, . Toutes les questions précédées de la mention « Application » peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent. Partie I - Décomposition d'un isomorphisme de I.

  • réel

  • réelle positive

  • espace des matrices

  • espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre symé- triques

  • unique endomorphisme

  • matrice carrée d'ordre

  • unicité de la solution


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II
MATHÉMATIQUES II
Définitions et notations
Filière TSI
Dans tout le problèmendésigne un entier naturel non nul etEl’espace vecto-n riel euclidienIRà sa base canonique et muni du produit scalaire rapporté n usuel. On utilisera l’isomorphisme, relativement à la base canonique, entreIR et l’espace des matrices colonnes réelles d’ordren; ainsi à tout élémentxdeE on associera la matrice colonne notéeX. On identifiera les matrices carrées d’ordre1etIRet on pourra ainsi écrire le produit scalaire entre deux vecteurs t deEsous la forme :x,y=X Y. • On désigne parOnl’ensemble des matrices orthogonales carrées d’ordren et parIla matrice unité d’ordren. n • On noteraSnl’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordrensymé-triques etS(E)l’espace des endomorphismes deEadmettant dans la base canonique une matrice symétrique réelle. Ils seront dits symétriques. On + ++ noteraS(E) (respectivementS(E)) l’ensemble des endomorphismes dont les valeurs propres sont positives (respectivement strictement positi-+ ++ ves).Sn etSnles espaces des matrices associées dans la base seront canonique. • Pour toutn-uplet(λ , …, λ ), on noteradiag(λ , …, λ )la matrice diagonale 1n1n dont les termes diagonaux sont, dans cet ordre,…, λλ , . 1n Toutes les questions précédées de la mention « Application » peuvent être traitées en admettant éventuellement les résultats qui les précèdent.
Partie I - Décomposition d’un isomorphisme de E
I.A - Racine positive d’une matrice symétrique réelle positive Dans cette section on se propose d’étudier l’existence et l’unicité de solutions + 2 dansSnl’équation matricielle à (R):A=M oùA désigne une matrice symétrique réelle positive fixée. On noteraul’unique endomorphisme deEde matriceArelativement à la base canonique.
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I.A.1) a) Montrer l’existence d’une famille(λ )de réels positifs et d’une matrice i 1in t On1n Pdans tels que :A=Pdiag…, λ (λ , )P. t 1nR b) On pose :B=Pdiag, …, λ )( λ P. Montrer queBest une solution de(). R I.A.2) On considèreMune solution de()etvl’unique endomorphisme de Ede matriceMdans la base canonique. a) Justifier la relationu=vov. b) Montrer que tout vecteur propre devest un vecteur propre deuet préciser la relation entre les valeurs propres associées. c) En déduire que, pour toute valeur propreλ deu, il existe un unique réel positifµtel que l’espace propre deuassocié àλsoit égal à celui devassocié à µ. Montrer aussi qu’il existe une base deE formée de vecteurs propres com-muns àuetv. d) Déduire de ce qui précède queR admet une solution unique qui sera ( ) appelée racine positive deA. I.A.3)Application :on considère   21 A= . 1 2+ Montrer que c’est un élément deSnet calculer sa racine positive. I.B - Endomorphisme exponentiel d’un endomorphisme symétrique réel Dans toute cette section,uest un endomorphisme symétrique,Uest sa matrice Bε1… εn dans la base canonique et={ , , }désigne une base orthonormale de vecteurs propres pouru. I.B.1) a) Montrer qu’il existe une famille(λ )de réels tels que la matrice deu i 1in B1n danssoitD=diag…, λ )(λ , . B b) On note alorsexp(u)l’unique endomorphisme deEdont la matrice dansestdiag(exp(λ ), …,exp(λ )). Montrer queuetexp(u)ont les mêmes espaces pro-1n
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pres et qu’on définit bien ainsi un unique endomorphisme symétrique stricte-B ment positif, indépendamment du choix de. c) Déterminerexp(u)lorsqueuest l’endomorphisme nul et lorsqueuest l’iden-tité surE. d) Montrer queexp(u)est inversible d’inverseexp(u). e) Vérifier la relationexp(2u)=exp(u)oexp(u). ++ On notera désormaisΦl’application deS(E)dansS(E)qui, à un endomor-phisme symétrique, associe son endomorphisme exponentiel. I.B.2)Application.Dans cette unique question on pose   0 0 1   U= . 0 0 0   1 0 0   Déterminer la matrice deexp(u)dans la base canonique en fonction dech(1)et sh(1). I.B.3) Dans cette questionaest un endomorphisme orthogonal deEet on B1n notea()={a(ε ), …,a(ε )}. 1 a) Vérifier quew=aouoaest un endomorphisme symétrique. b) Montrer quea(B)est une base orthonormale de vecteurs propres pourw et exprimer la matrice dewdans cette base. En déduire la matrice deexp(w) dansa(B). 1 c) Exprimer la matrice deaoexp(u)oadansa(B). Conclure. d) Montrer queΦest surjective. e) En considérant les espaces propres respectifs deuet deexp(u), montrer que Φest injective. I.C - Décomposition d’un isomorphisme réel Dans cette sectionfest un isomorphisme deEetMdésigne sa matrice dans la base canonique. I.C.1) ++ t a) Montrer queMMest un élément deSn. ++ t2 b) Montrer qu’il existe un unique élémentBdeSntel queMM=B. 1 c) On poseV=M B. Montrer queVainsi définie est élément deOn. d) Déduire de ce qui précède l’existence et l’unicité d’un couple(V,B)de matri-++ ces (Bélément deSnetVélément deOn) tel queM=VB.
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I.C.2)Application.Déterminer les matricesVetB, puis identifier géométri-quement l’endomorphisme associé àV dans la base canonique, dans les deux cas suivants :   21 2     13 8 a)M=-  b)M=  22 1 5 4 6  1 2 2   I.C.3) Montrer qu’il existe un unique couple(v,u), avecv endomorphisme orthogonal de et élément deS.tel que E u(E)f=voexp(u) t Vérifier de plus queMMest la matrice, dans la base canonique, deexp(2u).
Partie II - Endomorphismes invariants d’une forme quadratique II.A - Forme quadratique associée à une matrice symétrique II.A.1) a) Montrer que, pour toute matrice symétrique réelleA, on définit une forme t bilinéaire symétrique en posant∀(x,y) ∈E,ϕ(x,y)=X AY. On noteraQ la forme quadratique associée. Sn b) Montrer qu’on définit ainsi une application injective dedans l’ensemble des formes quadratiques surE. On admettra que cette application est aussi sur-jective. Sn II.A.2) Dans toute la suite de cette partie,Aest un élément defixé,aest l’endomorphisme associé dans la base canonique etQdésigne la forme quadra-tique associée. De plusfdésigne un endomorphisme deEde matriceMrelati-vement à la base canonique. On dira queQ est invariant parf si xE,Q(f(x))=Q(x). On noteH(E) l’ensemble des endomorphismes laissantQ invariant etHn l’ensemble de leurs matrices dans la base canonique. a) Montrer quexQ(f(x))définit une forme quadratique surE. b) En utilisant ce qui précède, en déduire la caractérisation t Hn. (M) ⇔ (M AM=A) II.B - Structure des invariants des formes quadratiques associées à des matrices involutives Dans toute la fin du problème,Aest une matrice symétrique réelle qui vérifie 2 A=I.
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MATHÉMATIQUES II Filière TSI II.B.1) Montrer que tout élément deH(E)est inversible et que son inverse appartient àH(E). II.B.2) Montrer que, siMest élément deHn, il en est de même pour sa trans-posée. II.B.3) Montrer queHnest un sous-groupe du groupe linéaire d’ordrenet donc queH(E)est un sous-groupe du groupe linéaire deE. II.C - Caractérisation des endomorphismes orthogonaux dansHn II.C.1) SoitM un élément deOn,fassocié dans la base l’endomorphisme canonique. Montrer queMest un élément deHnsi et seulement siMcommute avecA. II.C.2)Application.les conditions nécessaires et suffisantes sur Déterminer (a,b,c,d)pour queAetMcommutent, avec     a b0 1 M= etA= . c d 1 0En déduire, lorsqueAest ainsi fixée, les matrices orthogonales dansH2. II.C.3) On noteF= ker(AI)etG= ker(A+I). a) Rappeler pourquoiFetGsont des sous-espaces vectoriels deE(éventuelle-ment réduits à{0}), orthogonaux et supplémentaires. b) Montrer quef, endomorphisme orthogonal, est élément deH(E)si et seu-lement sif(F)=Fetf(G)=G. II.C.4)Application.Déterminer les matrices orthogonales deHnlorsque   1 3 4 n=2etA=- . 5 43On pourra commencer par déterminerF,Gainsi qu’une base de chaque sous-espace, puis la forme de la matrice associée àfune base adaptée à la dans décompositionE=FG. II.D - Caractérisation des endomorphismes symétriques strictement H positifs dans(E) ++ II.D.1) Montrer quef, élément deS(E), est dans(E)si et seulement si H foaof=a. II.D.2)Application.Dans cette question,aest l’endomorphisme associé à   0 1 A= . 1 0
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Déterminer toutes les matricesM symétriques réelles d’ordre2que telles ++ MAM=A. En déduire dans ce cas tous les endomorphismes deS(E) qui H sont dans(E). ++ S S II.D.3) Soitf(E). On noteuélément de l’unique (E) tel que H f=exp(u). Montrer quefest élément de(E)si et seulement siaouoa= –u. II.D.4)Application.Dans cette questionaest l’endomorphisme associé à   0 1 A= . 1 0Déterminer toutes les matricesU symétriques réelles d’ordre2vérifient qui UA= –AU. Retrouver alors les résultats de II.D.2. ++ II.D.5) SoitfS(E). Montrer quefdans est H(E)et seulement si si u(F) ⊂Getu(G) ⊂F. II.D.6)Application.Déterminer les endomorphismes symétriques strictement positifs deH(E)le cas où dans a est l’endomorphisme associé dans la base canonique à
  1 3 4 A=- . 543
II.E - Caractérisation deH(E) II.E.1) Soitvun endomorphisme orthogonal etuun endomorphisme symé-trique tels quev(F)=F,v(G)=G etu(F) ⊂G,v(G) ⊂F. Montrer que f=voexp(u)est dansH(E). II.E.2) Réciproquement, on considèrefun élément deH(E). a) Justifier rapidement l’existence d’un endomorphismevet d’un orthogonal endomorphismeusymétrique tels quef=voexp(u). b) En utilisant les différents résultats trouvés et en particulier la question I.C.3, montrer que nécessairementexp(2u)dans est H(E). En déduire que exp(u)puisvsont dansH(E). II.E.3) Déduire de ce qui précède une caractérisation deH(E).
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Partie III - Applications géométriques
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III.A - Transformations affines laissant invariante une conique Le plan affine est rapporté à une origineOet à une base orthonormale{i,j}. On pourra utiliser l’isomorphisme entre l’espace euclidien de dimension2sous-2 jacent etIRmuni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique. On considère la coniqueCdéfinie par l’équationxy+3x+5y4=0. III.A.1) a) À l’aide d’un changement d’origine, montrer que cette conique admet un cen-tre de symétrieΩque l’on déterminera. b) Écrire une équation deCdans le repèreΩi,j. ( , { }) c) Quelle est la nature de la conique ? En donner une représentation graphique. III.A.2) On se propose de déterminer toutes les transformations affines qui fixentΩet laissent globalement invariante la coniqueC. a) Montrer que le problème équivaut à déterminerH2lorsque   0 1 A= . 1 0b) En utilisant ce qui a été fait précédemment achever la détermination des transformations affines laissant globalement invarianteC. III.B - Transformations affines laissant invariante une quadrique L’espace affine est rapporté à une origineOet à une base orthonormaleB. On pourra utiliser l’isomorphisme entre l’espace euclidien de dimension3 sous-3 jacent etIRmuni du produit scalaire usuel et rapporté à sa base canonique. On se propose d’étudier les transformations affines qui fixentOet laissent glo-balement invariante l’une des deux quadriquesS1 ouS2par les définies équations : 2 2 2 2 2 2 (S1)x+y+z=1et(S2)x+yz=1. III.B.1) a) Préciser la nature deS1. b) Déterminer dans les deux cas la matrice de symétrieAassociée à la forme quadratique, ainsi que les sous-espaces vectorielsF etG. Montrer que les transformations affines cherchées sont entièrement déterminées parH(E). III.B.2) Déterminer entièrement ces transformations dans le cas deS1.
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III.B.3)Cas deS2. a) Montrer que les matrices orthogonales deH3sont les matrices de la forme   cos(θ)α sin(θ)0     sin(θ)α cos(θ)0   0 0β   θest élément de[ 0,2π[et(α, β)un couple d’éléments de{1,1}. b) Étudier pourθfixé les quatre transformations associées lorsqueαetβpren-nent les valeurs1et1. On étudiera précisément le cas particulierθ=0. III.B.4) Recherche des endomorphismes symétriques de la formeexp(u). a) Montrer que l’ensemble des endomorphismesu tels queexp(u) soit dans H (E)est un espace vectoriel de dimension2et donner la forme générale deU, matrice deudans la base canonique. b) Déterminer une base de vecteurs propres commune àuetexp(u)ainsi que la matrice deexp(u)dans une telle base.
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