Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2006 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP On note l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme asso- ciée. Pour tout entier naturel , est l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à . Pour un de , on considère, de manière usuelle, les dérivées successives de : , et, pour tout de , . Pour un polynôme de , un entier naturel et un réel , on définit le polynôme de Taylor d'ordre de en par : . Soit une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle de et de classe . On rappelle qu'elle admet, en tout point de cet intervalle, un unique déve- loppement limité à l'ordre : . La fonction polynôme est appelée partie régulière de ce développement limité. Dans la troisième partie, on note le plan affine euclidien usuel muni d'un repère orthonormé et dans la dernière partie, on note l'espace affine euclidien usuel de dimension muni d'un repère orthonormé, encore noté , . Les éléments de et seront indifféremment appelés vecteurs ou points selon l'interprétation que l'on en a. IR X[ ] n IRn X[ ] n P IR X[ ] P P 0( ) P= n IN P n 1+( ) P n( )[ ] ?= P IR X[ ] n a n P a Tn a, P( ) X(

  • ordre de multiplicité des éventuelles racines

  • polynômes de tay- lor d'ordre

  • polynôme de taylor d'ordre

  • coefficients réels

  • l?m


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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On noteIR[X]l’algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme asso-ciée. Pour tout entier natureln,IR[X]est l’espace vectoriel réel des polynômes de n degré inférieur ou égal àn. Pour unPdeIR[X], on considère, de manière usuelle, les dérivées successives (0) (n+ 1) (n) deP:P=P, et, pour toutndeIN,P=[P]. Pour un polynômePdeIR[X], un entier naturelnet un réela, on définit le polynôme de Taylor d’ordrendePenapar : n (i) P(a)i T(P)(X)=-(Xa). n,ai! i= 0 Soit une fonctionfà valeurs réelles définie sur un intervalle deIRet de classe n C. On rappelle qu’elle admet, en tout pointade cet intervalle, un unique déve-loppement limité à l’ordren: n (i) f(a)i n f(x)=-(xa)+o[(xa) ]. i! i= 0 La fonction polynôme n (i) f(a)i xa-(xa) i! i= 0 est appelée partie régulière de ce développement limité. Dans la troisième partie, on noteE2le plan affine euclidien usuel muni d’un repère orthonorméR0=(O,i,j) et dans la dernière partie, on noteE3 l’espace affine euclidien usuel de dimension3 muni d’un repère orthonormé, encore notéR0,(O,i,j,k). Les éléments deE2etE3seront indifféremment appelés vecteurs ou points selon l’interprétation que l’on en a.
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n SiMest barycentre du système pondéré(A,α)avecα=αnon nul, i i1ini on a :i= 1 n   1 M=- αA. αi i   i= 1 Chaque pointMdeE2(ou deE3) est identifié à la famille de ses coordonnées (x,y)(ou(x,y,z)) dans le repèreR0, ce qui est contenu dans la notationM(x,y) (ouM(x,y,z)). De même chaque vecteuruest identifié à la famille de ses coor-B0R0 données dans la basedu repère. Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes. Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans trois situations différentes. Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les trois dernières parties sont indépendantes les unes des autres.
Partie I - Une fonction polynomiale
Un calcul simple qui n’est pas demandé ici (intégrations par parties successives par exemple) donne pour toutmdeIN: 2 1 m m(m!) I=t(1 –t)dt=-. 0(2m+ 1)! m Pour toutm entier naturelnon nul, on considère la fonction polynomialeL m définie surIRpar : x 1m m L(x)=-t(1 –t)dt. m I0 m I.A -I.A.1) Donner une expression développée deL(x) pourm= 1pour et m m= 2. 1 I.A.2) CalculerL(x)+L(1 –x)pour toutxdeIR. PréciserL(-). m m m 2 On vérifie queLest à coefficients entiers. Nous l’admettrons. m
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I.B -I.B.1) Étudier suivantm l’existence ainsi que l’ordre de multiplicité des éventuelles racines deLet deLdans l’intervalle[0,1]. m m I.B.2) En considérant le signe deL(x), étudier la monotonie de l’applica-m tion L(x) m1 xa-sur l’intervalle]0,-[. x2 I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative deLsur[0,1]. On pré-m cisera les points à tangente horizontale, on montrera l’existence d’un centre de symétrie et on précisera la convexité. I.C -Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie. I.C.1) Résoudre le système : 2 (x,y)[0,1] L(x)=L(y) m m I.C.2) Résoudre le système : 3 (α, β, γ ) ∈[0,1]  α+β+γ= 1 L(α)=L(β)=L(γ) m m m I.C.3) Résoudre le système : 4 α , , α , α  (1α2 3 4) ∈[0,1]  α+α+α+α= 1 1 2 3 4 L(α)=L(α)=L(α)=L(α) m1m2m3m4
Partie II - Les polynômes de Taylor Dans cette partie,mun entier naturel non nul et est nun entier tel que est n>3m. II.A -p On rappelle et on admet que, pour toutadeIR, la famille((Xa) )pINest une base deIR[X]. Vérifier que l’application[PaT(P)]définit un projecteur deIR[X]. n,a Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal deIR[X]et en donner un générateur.
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MATHÉMATIQUES II Filière MP 2 II.B -Pour(R,S)de(IR[X]), déterminer les polynômes de Taylor d’ordrem m en0et en1du polynôme : U(X)=R(X)L(1 –X)+S(X)L(X). m m
II.C -PourPdeIR[X], on note respectivementPetPses polynômes de Tay-n0 1 lor d’ordremen0et en1et on pose : (P)](X)=P(X)L(1 –X)+P(X)L(X). 0m1m II.C.1) Montrer que l’application[PaΦ(P)]est un projecteur deIR[X]. n II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application et donner pour chacun une base.
Partie III - Un raccord III.A -III.A.1) À l’aide de la première partie, déterminer un polynômeQtel que : 1 deg(Q)3,Q(–1)= 0,Q(1)= 1, etQ(–1)=Q(1)= 0. 1 1 1 1 1 Existe-t-il d’autres polynômes remplissant ces cinq conditions ? III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un poly-nômeQtel que : 2 deg(Q)5 2 Q(–1)= 0,Q(1)= 1 2 2 Q(–1)=Q(1)=Q(–1)=Q(1)= 0 2 22 2 1 III.B -Soientg:ta(x(t),y(t))classe de C sur]–∞,–1], paramétrage d’un 1 1 1 1 arcγetg:ta(x(t),y(t))de classeCsur[1,+[, paramétrage d’un arcγ. 1 2 2 2 2 Sihest la partie régulière du développement limité à l’ordre1dexen–1et 1 1 hla partie régulière du développement limité à l’ordre1dexen1, on pose : 2 2 x(t)=Q(t)h(t)+Q(t)h(t). 3 1 1 1 2 De même, sikest la partie régulière du développement limité à l’ordre1dey 1 1 en–1et sikest la partie régulière du développement limité à l’ordre1dey 2 2 en1, on pose : y(t)=Q(t)k(t)+Q(t)k(t). 3 1 1 1 2
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On obtient ainsi une fonction vectorielleg=(x,y)et on considèreγ, raccord 3 3 3 deγetγ, l’arc paramétré pargavec : 1 2 g(t)sit]–∞,–1[ 1 g(t)=g(t)sit[–1,1] 3 g(t)sit]1,+[ 2 Montrer brièvement en s’appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie 1 quegest de classeCsurIR. III.C - Étude d’un exemple Iciaest un réel strictement positif et on prend : g(t)=(– 1 +a(t+ 1),1 –a(t+ 1)) 1 g(t)=(1 +a(t– 1),1 +a(t– 1)) 2 III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcsγetγ. 1 2 III.C.2) Donner l’expression développée de la fonctiong(on ne demande pas 3 sa représentation graphique). III.C.3) Montrer que poura>3, le raccord coupe l’axe des ordonnées en deux points distincts que l’on précisera. Partie IV - Une animation On noteI={1,2,3,4}. 1 2 3 4E On considère un ensemble de quatre points{A,A,A,A}denon copla-3 naires, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de plan affine qui les contienne tous les qua-tre. On a ainsi un tétraèdre non aplatiA A A A. 1 2 3 4 On note(x,y,z)le triplet des coordonnées du pointApouriI. i i i i IV.A -4 IV.A.1) Soiti dansI. Justifier l’existence d’un(u,v,w,h) deIR avec i i i i i i iE3 (u,v,w) ≠ (0,0,0)tel que si l’on pose pourM(x,y,z)de, g(M)=u x+v y+w z+h, on ait :jI,g(A)=δ. i i i i i i j i,j (où de manière usuelle,δvaut1sii=jet vaut0sinon). i,j On admet l’unicité du quadruplet(u,v,w,h)pour toutidansI. i i i i 3 IV.A.2) PouridansIon considèreϕla forme linéaire deIRdéfinie par : i 3 ∀(x,y,z) ∈IR,ϕ(x,y,z)=u x+v y+w z. i i i i Quel est le rang de la famille(ϕ )? i 1i4
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SoitmIN. Pour toutidansIdeet tout E3, on pose :GiMm i. M(x,y,z)) ( =L(g(M)) On considère alors : 4 4 g=getG=G. ∑ ∑ i i i= 1i= 1 On appelleΩl’isobarycentre de{A,A,A,A}. 1 2 3 4 On note(,)E3i gi Δ={M x,y z∀ ∈I,0(M)1} IV.B -IV.B.1) Préciserg(A)pouridansIet en déduireg. i IV.B.2) Vérifier que tout pointM deE3 est le barycentre du système pondéré(A,g(M)). i i 1i4 IV.B.3) DéterminerαdeIRtel que pour tout pointMde toute arête[A,A] i j 2 avec(i,j)I,ijon aitG(M)=α. IV.C -IV.C.1) Montrer queΔest un compact deE3. IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre,Gadmet un maximum et un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où ils sont atteints. On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non alignés d’un plan est l’ensemble des barycentres à poids positifs des sommets du triangle et que l’on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à1. IV.C.3) CalculerG(Ω)et déterminer la différentielle deGenΩ. IV.C.4) Déterminer les pointsM deΔ en lesquels la différentielle deG est nulle. On pourra montrer que la nullité de la différentielle deGen un pointMimpli-que une relation linéaire portant sur lesϕet on utilisera dans ce cas le résultat i de IV.A.2. IV.C.5) Montrer que la fonctionGadmet surΔun maximum et un minimum et déterminer ces extremumsGetGdeGsurΔainsi que les points où ils min max sont atteints. IV.D -On prendA(1,–1,–1),A(–1,1,–1),A(–1,–1,1)etA(1,1,1). 1 2 3 4 Pourm= 1, on obtient, après un calcul qui n’est pas demandé : 12 2 2 G(x,y,z)=-[3(x+y+z– 2xyz)+ 5]. 8
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On appelleΣla surface d’équationG(x,y,z)= 1. On considèreB(O,3)la boule fermée de centreOet de rayon3pour la norme 3 euclidienne surIRet l’on noteS(O,3)sa frontière, la sphère de centreOet de rayon3. On admet que pour tout pointM(x,y,z)deS(O,3), on axyz1. (Ceci peut se démontrer en utilisant les coordonnées sphériques deM). IV.D.1) Déterminer les points non réguliers deΣ. IV.D.2) Montrer que pour toutP(a,b,c)deS(O,3), il existe un et un seul point du segment[OP]qui appartienne àΣ. On pourra étudier la fonctionh(t)=G(ta,tb,tc)sur[0,1]. IV.D.3) Qu’en déduit-on pour l’intersectionΣ′deΣavecB(O,3)? On préci-sera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi qu’avec la sphèreS(O,3). IV.D.4) Préciser les sections deΣ et deB(O,3)le plan médiateur de par [A,A], d’équationx+y= 0. Les représenter sur une même figure. 3 4 IV.D.5) Décrire l’animation que donne la vue des surfaces de niveau : S={(M∈ Δ) ∕G(M)=α}lorsqueαvarie deGàG. αmin max On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.
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