Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière PC Soit un entier naturel supérieur ou égal à . Soit une matrice carrée d'ordre , dont les coefficients sont des entiers naturels. On note le coeffi- cient de appartenant à la -ème ligne et à la -ème colonne de . On suppose que est symétrique et que les coefficients de la diagonale princi- pale de sont égaux à . On désigne par la matrice réelle, carrée, d'ordre , de coefficient , définie par : On remarque que est symétrique et que les coefficients de sa diagonale prin- cipale valent . Soit un espace vectoriel réel de dimension et une base don- née de . Pour chaque entier compris entre et , on désigne par l'endomorphisme de caractérisé par : , . On note l'endomorphisme de donné par : . où désigne la composition des applications. On désigne par et les matrices associées aux endomorphismes et dans la base et par la matrice unité d'ordre associé à l'identité (notée ). Partie I - Étude du cas Dans cette partie I, on suppose et on pose : et . I.A - I.A.1) Expliciter en fonction de puis en fonction de . I.A.2) Donner en fonction de les matrices , et .

  • dim eij

  • eij ?i ?

  • plan euclidien de façon usuelle

  • eij πij

  • matrice de passage de la base

  • plan euclidien

  • ?1 ?2

  • coefficients


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC MATHÉMATIQUES II
Soitn unentier naturel supérieur ou égal à2. SoitAmatrice carrée une d’ordren, dont les coefficients sont des entiers naturels. On noteale coeffi-ij cient deAappartenant à lai-ème colonne de-ème ligne et à laA. On suppose queAestsymétriqueet que les coefficients de la diagonale princi-pale deAsont égaux à1. On désigne parMla matrice réelle, carrée, d’ordren, de coefficientm, définie ij par :  π   – cos-siaj0 i   a m=ij ij–1 sia= 0 ij On remarque queMest symétrique et que les coefficients de sa diagonale prin-cipale valent1. SoitEun espace vectoriel réel de dimensionnetB=(e)une base don-k 1kn née deE. Pour chaque entiericompris entre1etn, on désigne parσl’endomorphisme i deEcaractérisé par : j{1,2, …,n},σ(e)=e– 2m e. i jj iji On noteτl’endomorphisme deEdonné par : τ=σoσ …oσ. 1 2n odésigne la composition des applications. On désigne parSetTles matrices associées aux endomorphismesσetτdans i i la baseBet parIla matrice unité d’ordrenassocié à l’identité (notéeId). Partie I - Étude du casn= 2 Dans cette partie I, on supposen= 2et on pose: a=a=ma m 12 21et=m12=21. I.A -I.A.1) ExpliciterMen fonction dempuis en fonction dea. I.A.2) Donneren fonction demles matricesS,SetT. 1 2 Concours Centrale-Supélec 20051/6
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I.B -On suppose dans cette question I.B quea{0,1}et donc quem= 1. I.B.1) Déterminerles valeurs propres et les vecteurs propres deτ I.B.2) LamatriceTest-elle diagonalisable ? (Justifier la réponse). I.B.3) Diagonaliserou trigonaliser, si possible, la matriceT. I.B.4) Montrerqueτest d’ordre infini (c’est à dire qu’il n’existe pas d’entier k k naturel strictement positifktel queτ=Id, oùτ=τoτo…τdésigne la puis-sancek-ième deτpour la loi de composition). I.C -On suppose dans cette question I.C, queasupérieur ou égal à est2, et donc quem<1. On définit la forme bilinéaireφsurE×Epar : φ(xe+ye,xe+ye)=xx+yy+m(xy+yx), pour tousx,x,y,yréels. 1 21 2 I.C.1) Montrerqueφest un produit scalaire. Muni de ce produit scalaire,Eest un plan euclidien, que nous noterons aussiE. B I.C.2) Pourquelle valeur deala baseest-elle orthonormale ? I.C.3) Montrerque les sous-espaces propres deσsont orthogonaux. 1 I.C.4) Montrerqueσetσsont des symétries orthogonales en précisant par 1 2 rapport à quelles droites vectorielles. I.C.5) Montrerqueτest une rotation et déterminer une mesure en radians B de l’angle de cette rotation, en supposant la basedirecte. I.C.6) Endéduire queτd’ordre esta, c’est-à-dire quea estle plus petit k entier strictement positifktel queτ=Id. I.D -On suppose dans cette question quea{2,3,4,6}. I.D.1) Danschacun des casa= 2,3,4,6, déterminer un réelµ,1<≤ µ2, tel a a que les matrices associées àσetσrelativement à la base(e, µe), aient tous 1 21a2 leurs coefficients dansZZ. I.D.2) Danschacun des casa= 2,3,4,6, faire une figure soignée où l’on indi-queraeetf=µe, ainsi que leurs images parσetσ. On représentera le 1 2a22 1 plan euclidienEfaçon usuelle, c’est-à-dire que des vecteurs orthogonaux de seront représentés par des flèches perpendiculaires et des vecteurs de même norme par des flèches de même longueur.
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC Partie II - Étude du cas général Dans cette partiendésigne un entier quelconque supérieur ou égal à2. II.A -II.A.1) a) Pouricompris entre1etn, calculerσ(e). i i 2 b) Exprimerσ=σoσen fonction de l’identité. i ii c) MontrerqueE= Ker(σId)Ker(σ+Id). i i II.A.2) Onposeε=eet, pour toutk∈ {2, …,n},ε=σo(σ …σe). 1 1k1 2k– 1k a) Montrerpar récurrence suri<k, que, pour toutk{2, …,n}, on a : σo(σ …σe)=e– 2mε. 1 2i kjk jk 1ji b) Vérifierque la familleF=i)est une bas e deE. 1in II.A.3) a) Exprimerτ(e)en fonction deε. n n b) Montrerque pour toutk{1,2, …,n– 1}on a: n τ(e)= –ε– 2mε. k kjk j j=k+ 1 II.A.4) SoitCmatrice carrée d’ordre lan, triangulaire supérieure, dont les coefficientscsont donnés par : ij 2m ij sii<j c= ij siij 0 t On noteraCla matrice transposée de la matriceC. On désigne parPla matrice de passage de la baseBà la base. –1 a) ExprimerPen fonction deC. b) Montrerque : –1t T= –(I+C) (I+C). c) Endéduire que, pour toutλ ∈IR, on a : t detIT)= det((λ+ 1)I+λC+C).
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC II.B -Soienti, vérifiant:1in,1jn,ij; on noteEle sous-espace ij vectoriel deEengendré pareete. i j II.B.1) a) MontrerquedimE= 2. ij b) MontrerqueEest stable parσ,σ,σoσetσoσ. ij ij ij ji On noteπetπles restrictions deσoσetσoσàE. ij jii jj iij c) Donnerles matricesΠetΠassociées àπetπrelativement à la base ij jiij ji (e,e)deE. i jij d) VérifierqueΠetΠsont inverses l’une de l’autre. Pouvait-on prévoir ce ij ji résultat ? II.B.2) a) Montrerque, si pour tousiaet ona{0,1}, alorsπetπsont d’ordre ij ijji infini. b) Quelssont les ordres deπetπlorsquea2? ij jiij II.C -On suppose dans cette section que : i)n3 ii)a= 2pour1<ij<n– 1 ij iii){a,a, …,a,a}{3,4,6}. 12 23(n– 1)n n1 On poseβ= 2metβ= 2mpouri{1,2, …,n– 1}. n1in i(i+ 1) On désigne parp (resp.q) le nombre de couples(i,j),i<j, tels quea= 4 ij (resp.a= 6). ij II.C.1) Montrerque sip etq sontpairs, alors il existe unn-uplet de réels (ν ,ν ,,ν)tel que les matrices de tous lesσ, pourk{1,2, …,n}, relativement 1 2n k à la base( νe, νe, …, νe), ont leurs coefficients dansZZ. 1 12 2n n II.C.2)detIT)un polynôme réel en estλ, de degrén, que l’on écrira k detIT)=α λ. k a) Justifierqueα= 1etαtr= –T, oùtrTdésigne la trace deT. n n– 1 b) Calculer,pourn= 3,detIT)en fonction deλ,β,βetβ. 1 23
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c) Montrerque 2n+ 1 α=n∑ β+(–1) β…βn1– 1in i1n (on pourra utiliser la question II.A.4 et démontrer la relation par récurrence sur n). II.C.3) a) Montrerque, s’il existe une base deEdans laquelle toutes les matrices des σont tous leurs coefficients entiers, alors la trace deτest un entier. k b) Montrerque sipest impair ouqest impair, alors la trace deτest irration-nelle. c) Montrerqu’il existe une base deEdans laquelle les matrices de tous lesσ k ont tous leurs coefficients entiers si et seulement sipetqsont pairs.
Partie III - Un exemple dans le cas den= 3 On suppose dans cette partie quen= 3et que : 1 3 2 A=. 3 1 4 2 4 1 III.A -Peut-on trouver une base deEdans laquelle les matrices deσ,σetσ 1 23 ont tous leurs coefficients entiers ? III.B -On définit la forme bilinéaireΦsurE×Epar : 3 33 3 Φ(x e,y e)=m xy ∑ ∑∑ ∑ i ij jij ij i= 1j= 1i= 1j= 1 pour tousx,x,x,y,y,yréels. 1 2 3 1 2 3 III.B.1) VérifierqueΦest un produit scalaire. On considérera doncEcomme un espace vectoriel euclidien muni de ce produit scalaire. III.B.2) Donnerune équation cartésienne de l’orthogonal, pourΦ, du vecteur ae+be+ceen fonction dea,b,c. 1 23
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC III.C -III.C.1) Pouri{1,2,3}, déterminer les sous-espacesF= Ker(σId) et i i G= Ker+Id). i i III.C.2) Endéduire que lesσ,i{1,2,3}, sont des symétries orthogonales par i rapport à des plans (ou réflexions) deE. III.D -Montrer que lesσoσ, pour1i,j3, sont des rotations et les carac-i j tériser. III.E -III.E.1) Quepeut-on dire deτ=σoσoσ? 1 2 3 III.E.2) Déterminerla matriceT. Déterminer un vecteur non nulude norme1tel queτ(u)= –u, puis une base D directe deE, de premier vecteuru, orthonormale pourΦ, =(u,v,w). III.E.3) Montrerqueτest la composée d’une rotation d’axeIRu, dont on pré-cisera l’angle et de la symétrie orthogonale par rapport au plan(IRu). Donner l’ordre de la matriceT, c’est-à-dire le plus petit entierk>0 telque k T=I.
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