Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP Notations : on désigne par le corps des nombres réels ou des complexes . Lorsque et , est le module de et . Pour les entiers et , on note : • le espace vectoriel des vecteurs avec pour . • les matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ; et . On identifie et donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie avec la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour , on note lorsqu'on veut préciser les éléments de ; quand le contexte est clair, on écrit simplement ou . Pour , est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont ceux de . Pour , désigne le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs pro- pres de et . Pour , est la transposée de ; et pour , ( c'est-à-dire ). désigne le sous- ensemble des matrice symétriques de . Pour , et sont respectivement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives de . On rappelle qu'une matrice symétrique est posi- tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne prend que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur . Partie I - I.A - Dans cette partie, on munit de la norme soit .

  • espace vectoriel des vecteurs

  • cercle bordant le disque

  • mn ic

  • filière mp

  • condition suffi- sante

  • i–? ??

  • ic zt


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II
MATHÉMATIQUES II
Filière MP
Notations :on désigne parKle corps des nombres réelsIRou des complexes 2 IC. LorsqueK=ICetzK,zest le module dezeti= –1. Pour les entiersn etp1, on note : n K leKespace vectoriel des vecteurs(z,z, …,z) aveczK pour 1 2n j j= 1,2, …n. M(K) les matrices àn lignes etpà coefficients dans colonnes K; et n,p M(K)=M(K). n n,n n On identifieKetM(K)donc, en calcul matriciel un vecteur s’identifie avec n,1 la matrice colonne ayant les mêmes éléments. PourAM(K), on note n,p A=(a) lorsqu’on veut préciser les éléments deA; quand ij 1in,1jp n le contexte est clair, on écrit simplementA=(a) ouA=(A). PourxK, ij ij Dest la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont ceux dex. Pour x AM(K),σdésigne le spectre deA, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs pro-n A t pres deAetρ(A)= max{ λ;}λ ∈ σ . PourAM(K),Aest la transposée de A n t A; et pourAM(IC),A* =A( c’est-à-direA* =a).S(K)désigne le sous-n ij ji n + ++ ensemble des matrice symétriques deM(K). PourK=IR,S(IR) etS(IR) n n n sont respectivement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives deS(IR). On rappelle qu’une matrice symétriqueAest posi-n tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu’elle définit ne prend n que des valeurs positives (resp. strictement positives) surIR\{0}.
Partie I -
n I.A -Dans cette partie, on munitICla norme de ()z= maxz. j= 1, …n j On définit l’applicationAM(IC) →N(A)= maxa. ni= 1, …nj∈ [1,2, …n]ij I.A.1) Montrer queAN(A)est une norme surM(IC). n I.A.2) n a) Montrer queAM(IC),zIC:A(z) ≤N(A)z. n∞ ∞
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soit
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b) Montrer l’égalité A(z) N(A)= maxn-. ∈ )z z(IC\{0} c) Montrer queρ(A) ≤N(A). I.A.3) Montrer queNest une norme matricielle c’est-à-dire qu’elle vérifie : AetBM(IC),N(AB) ≤N(A)N(B). n∞ ∞ I.A.4) SoitQM(IC)une matrice inversible. On définit n –1 AM(IC) →N(A)=N(Q AQ). n Qa) Vérifier queNest une norme matricielle surM(IC). Q n b) Montrer qu’il existe une constanteCtelle que Q 1 AM(IC)-N(A) ≤N(A) ≤C N(A). nQ QC Q
I.B -SoitTM(IC)une matrice triangulaire supérieure etε >0donné. n Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonaleDM(IC)avec S n 2 3n n S=(s,s,s,...s) ∈ICsest un réel strictement positif telle que : N(T) < ρ(T)+ε. D S Étant donnésAM(IC)etε >0, montrer qu’il existe une norme matricielleN nε telle que N(A) < ρ(A)+ε. ε k I.C -En déduire l’équivalencelimA= 0⇔ ρ(A) <1. k→ ∞
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Partie II -
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SoitAM(IC)fixée ; pouri∈ [1,2, …n]on pose :L=a n ij∈ [1,2, …n]ji ij C=a. ij∈ [1,2, …n]ji ji On définit les sous-ensembles du plan complexe : n G(A)=D(A)etD(A)={zIC,zaL}. Li= 1i i ii i n G(A)=D'(A)etD'(A)={zIC,zaC}. Ci= 1i i ii i On désigne parC(A)le cercle bordant le disqueD(A). i i
II.A -II.A.1) Soit 4 + 3i i2 –1     i – 1 +i0 0   A=.   1 +ii5 + 6i2i   1 –2i2i–5–5iReprésenter dans le plan complexeG(A)etG(A). L C II.A.2) On se propose de montrer l’inclusionσ ⊂G(A) ∩G(A). A L C a) SoitM=(m) ∈M(IC)telle que le système linéaireMZ= 0a une solution ij n non nulle. Montrer que p∈ [1,2, …n]mL. pp p b) SoientAM(IC)etλ ∈ σ. Utiliser II.A.2-a) et montrer queλ ∈G(A). n A L c) Conclure en justifiant l’inclusionσ ⊂G(A). A C II.A.3) On suppose queAM(IC)une valeur propre a µ sur le bord de n (1) G(A)et soitxun vecteur propre associé àµ. L a) Montrer que si pourk∈ [1,2, …n]on ax=x, alorsµ ∈C(A). kk n ijj= 1j b) On suppose de plus quea0∀(i,j). Montrer queµ ∈C(A).
1. Un pointzau bord de appartient G(A)et seulement si si zG(A) et L L zaLi= 1,2, …n. ii i
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MATHÉMATIQUES II Filière MP n II.A.4) SoitpIR. On notep>0 lorsquep=(p,p, …p) etp>0 pour 1 2n j j= 1,2, …n. SoientAM(IC)etDmatrice diagonale avecp>0. Déterminer n p –1 G(D AD). L II.A.5) a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l’inégalité n   1 ρ(A) ≤in fmax-p a. pp>0i= 1,2, …ijn j ij= 1 b) Soit la matrice 7 –16 8     A= –16 7 –8.     8 –8 –5 i) Montrer que le majorant deρ(A)donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal 83 à-. 3 ii) Donner une valeur approchée deρ(A)(on pourra utiliser la calculatrice).
II.B - Applications II.B.1) SoitAM(IC)telle que n i∈ [1,2, …n]a>L. ii i On dit queAest strictement diagonale dominante (SDD). a) Montrer que siAest SDD alorsAest inversible. b) SiAest SDD et si de plusiaest réel et strictement négatif, montrer que ii pour toutλ ∈ σ,Re(λ) <0. A c) SiAest une matrice réelle symétrique et SDD, énoncer une condition suffi-sante pour qu’elle soit définie, positive. II.B.2) SoitBdiagonalisable. Montrer qu’il existe une constanteκ (B)telle que ˆ ˆ EM(IC),∈ σ∀λ ∈ σ , ∃λ λκ (λ ≤ B)N(E). n B+E i B i∞ ∞
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Partie III -
Cette partie est indépendante de la Partie II, à l’exception de III.B.3.
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III.A - Préliminaire IC[X]est leIC-espace vectoriel des polynômes de degrénà coefficients com-n plexes. SoittPune application de[0,1]dansIC[X]: t n n n nj P(X)=X+c(t)Xtj= 1j où lesnapplicationstc(t)sont des fonctions continues de[0,1]dansIC. j On noteZl’ensemble des racines dePqui est un sous-ensemble deIC. t t III.A.1) Montrer qu’il existeR>0tel que t∈ [0,1]ZD(0,R). t III.A.2) Soitt fixé etXZ. Montrer que la proposition(P) suivante est 0 0t 0 vraie (P>) ∀ε 0, ∃η >0, ∀t tt< η, ∃XZ,XX< ε. 0tt t 0 On pourra raisonner par l’absurde et écrire la proposition (non(P)). III.B -III.B.1) Exhiber une matriceAM(IC)pour laquelleD(A)(notation Partie 2 1 II) ne contient pas de valeurs propres deA. III.B.2) SoitAM(IC)etG(A)défini dans II. On se propose de prouver la n L propriété suivante : sij= 2,3, …n,D(A) ∩D(A)=, le disqueD(A) contient au moins une 1j1 valeur propre deA. On suppose donc que,j= 2,3, …,n,D(A) ∩D(A)=. 1j On écritA=D+BDest diagonale etB=(b)avecb=apourijet ij ij ij b= 0. ii On définit l’application :t[0,1]A(t)=D+tBM(IC). n a) Montrer queG(A(t)) ⊂G(A). L L b) SoitE={t[0,1]σ ∩∃λ ∈ D(A)}. t A(t)1 i) Montrer queE≠ ∅. ii) Montrer la propriététE,∃η >0,]tη,t+η[∩ [0,1] ⊂E.
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iii) Soitk→ (t) une suite d’éléments deEconverge vers qui k k= 1,2, … a[0,1]; montrer queaE. On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans[0,1]sont et[0,1]. iv) En déduire queE=[0,1]. Conclure. III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre de la matriceAdéfinie dans la question II.A.1)
Partie IV - (indépendante de II et III)
Rappels : surM(IC) on définit le produit hermitien et la norme associée ou n norme de FrobeniusN: 2 * PourAetBM(IC),<A,B> =Tr(A B)et n 2 N(A)= <A,A> =a. 2i,j= 1,2, …n ij
IV.A -IV.A.1) Vérifier queNest bien une norme matricielle surM(IC). 2n Étant donnésA etBM(IC), on définit leurH–produit noté n,p A×BM(IC)par(A×B)=a b(i= 1,2, …nj= 1,2, …p). n,p H ij ij H ij IV.A.2) a) SiAetBM(IC), et siDM(IC)etΔ ∈M(IC)sont des matrices diago-n,pp n nales, établir les égalités : D(A×B=(DAΔ) ×B=(DA() × BΔ). H H H Donner deux égalités semblables pourD(A×B. H p t b) SoientAetBM(IC), etxIC, établir l’égalité :(A D B)=[(A×B)x] n,p x ii H i n p c) SiAetBM(IC),yIC,xICmontrer que n,p * *t y(A×B)x=Tr(D A D B). H y x t On pourra introduire la matrice colonnee=(1,1, …1), utiliser les questions a) et b) en remarquant queD e=y y * * d) En déduire quex(A×HB)x= <DD A ,B>. x x
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IV.B -Dans la suite on supposeK=IR, toutes les matrices sont à coefficients réels. +t IV.B.1) SoitSS(IR), montrer qu’il existeTM(IR)telle queS=TT. n n ++ Que peut-on dire deTsiSS(IR)? n + + IV.B.2) SoientAetBS(IR), montrer queA×BS(IR). Que peut-on dire n H n ++ siAetBS(IR)? n IV.B.3) On se propose d’obtenir un encadrement des valeurs propres deA×B H + quandAetBS(IR). n a) On désigne parλ (A) (resp.λ (B)) la plus petite valeur propre deA min min (resp.B) et parλ (A)(resp.λ (B)) la plus grande. max max + Montrer que les matricesBλ (B)IetA× (Bλ (B)I) ∈S(IR). minnminn n H b) Soitλ(A×B) une valeur propre de(A×B) etx un vecteur propre pour H H t cette valeur propre(x= 1). Évaluerx(A×Bλ(A×B)I)xet en déduire 2H H n λ(A×B) ≥ λ (B).(mina) Hminii i c) Montrer quea(≥ λ A)et en déduire la minoration iimin λ(A×B() ≥ λ A)λ (B). Hmin min d) Établir de même la majoration λ(A×B() ≤ λ A)λ (B). Hmax max
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••• FIN •••
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