Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP Objectif du problème Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème. Ce dernier ne commence qu'à partir du I. Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par Andrew Wiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l'action du groupe sur le demi-plan ouvert . En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps est en bijection (à un -isomorphisme près) avec l'ensemble des réseaux de (à une similitude près), lui même en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan sous l'action de . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers ensembles que nous proposons d'étudier dans ce problème. Partie I - Matrices carrées d'ordre à coefficients entiers Soit l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients dans l'anneau des entiers relatifs. Dans les parties I, II, III, les lettres , , , désignent des éléments de . On pose : . I.A - Démontrer que l'ensemble est un anneau. I.B - I.B.1) Démontrer que l'ensemble des éléments de inversi- bles dans est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni- tés de l'anneau .

  • coefficients entiers

  • sl2 zz

  • anneau

  • ?? ???

  • ??

  • m2 zz

  • coefficients dans l'anneau des entiers relatifs

  • groupe pour la multiplication des matri


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II Filière MP
MATHÉMATIQUES II
Objectif du problème
Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le
problème. Ce dernier ne commence qu’à partir du I.
Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par Andrew
Wiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de l’action du
groupe SL()Z Z sur le demi-plan ouvert H ={}z ∈ CI : Imz() > 0 .2
En effet, il se trouve que l’ensemble des courbes elliptiques sur le corps CI est en
bijection (à un CI -isomorphisme près) avec l’ensemble des réseaux de CI (à une
similitude près), lui même en bijection avec l’ensemble des orbites du demi-plan
H sous l’action de SL()Z Z . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers2
ensembles que nous proposons d’étudier dans ce problème.
Partie I - Matrices carrées d’ordre 2 à coefficients entiers
abSoit M()Z Z l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients dans2
cdl’anneau Z Z des entiers relatifs.
Dans les parties I, II, III, les lettres ab, , c , d désignent des éléments de Z Z . On
pose :
10
I = .2
01
I.A - Démontrer que l’ensemble M()Z Z est un anneau.2
I.B -
I.B.1)GL()Z Z des éléments de M()Z Z inversi-22
bles dans M()Z Z est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-2
tés de l’anneau M()Z Z .2
I.B.2) Montrer que
ab ∈ GL()Z Z si et seulement si ad–1bc = .2
cd
Concours Centrale-Supélec 2004 1/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
Filière MP
I.C - On pose
⎧⎫abSL()Z Z = ∈ M()Z Z : ad–1bc = ;⎨⎬22
cd⎩⎭
I.C.1) Montrer que SL()Z Z est un groupe pour la multiplication des matri-2
ces.
I.C.2) Déterminer l’ensemble des couples (,cd) ∈ZZZ× Z tels que la matrice
35 appartienne à SL()Z Z .2
cd
I.C.3)(,cd) ∈ZZZ× Z tels que la matrice
35 appartienne à GL()Z Z .2
cd
I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple
(,ab) de ZZZ× Z pour qu’il existe une matrice
ab appartenant à GL()Z Z ?2
cd
I.D - Soient ST et les éléments de SL()Z Z définis par2
01– 11S = et T = .
10 01
Pour chacune des trois matrices TS, et TS , répondre aux questions suivantes :
I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans
M()CI ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu’une matrice de passage.2
I.D.2),, dans
M()IR .2
I.E - On cherche les matrices AS de L()Z Z telles que2
2 10A== I .2
01
Concours Centrale-Supélec 2004 2/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
I.E.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans
M()IR et préciser les formes réduites diagonales possibles de A .2
I.E.2) En déduire l’ensemble des matrices solutions A .
I.F -
On cherche les matrices AS de L()Z Z telles que 2
2 –01A = .
01–
I.F.1) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans
M()CI et calculer la trace Tr()A de A .2
I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des
trois paramètres ab, , c et d’une relation liant ces trois paramètres.
I.G -
I.G.1) Démontrer que si deux matrices U et V de M()IR sont semblables en2
tant que matrices de M()CI , alors elles sont semblables dans M()IR .2 2
I.G.2) En déduire que les matrices AS de L()Z Z solutions de l’équation :2
2 –01 01–
A = sont semblables dans M()IR à la matrice S = .2
01– 10
Partie II - Réseaux de CI
On note H le demi-plan ouvert défini par H ={}z ∈ CI : Im()z > 0 .
B =()αβ, étant une base de CI considéré comme plan vectoriel réel, on appelle
2réseau engendré par B l’ensemble Λ==Z Z α + Z Z βu α+ v β;(,uv) ∈Z . B
Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre
Λ , sans préciser quelle base B de CI l’engendre.
II.A -
II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau Λ ?
II.A.2) Démontrer que tout réseau Λ peut être engendré par une base
α
B =()αβ, de CI telle que --- ∈ H .
β
4II.A.3) Démontrer que pour tout quadruplet (,abc,, d)∈Z et pour tout z ∈ CI
tel que cz+0d ≠ , on a
az + b ad – bc⎛⎞Im ---------------- = ---------------------Im()z .⎝⎠ 2cz + d cz + d
Concours Centrale-Supélec 2004 3/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
II.B -
II.B.1) Démontrer que si deux bases B= (,)ω ω et B′ω=(,)′ω ′ de CI tel-1 2 1 2
les que
ω ω′1 1
------ ∈ H et -------- ∈ H
ω ω′2 2
engendrent le même réseau Λ , alors il existe une matrice
ω′ ωab 1 ab 1∈ SL()Z Z telle que = .2
cd ω′ cd ω2 2
II.B.2) Étudier la réciproque.
II.C - On considère un réseau Λ engendré par une base B =(,)ω ω de CI telle1 2
que
ω1------ ∈ H
ω2
2Déterminer l’ensemble des couples (,cd) ∈Z tels que B′ω=(,)′ω ′ avec1 2
ω′ = 3 ω + 5 ω et ω′ = c ω + d ω soit une base de CI engendrant également le1 1 2 2 1 2
réseau . Λ
II.D - Pour tout complexe τ ∈ CI \ IR on note Λ le réseau engendré par la baseτ
(,τ 1) de CI . On suppose que τ ∈ H . Trouver la condition nécessaire et suffisante
pour qu’un élément τ′ ∈ H vérifie .Λ = Λτ′ τ
Partie III - Similitudes directes de centre O laissant stable
un réseau
Si Λ est un réseau et z un nombre complexe, on pose z Λ ={}z ρ ;()ρΛ∈ .
*On dit que deux réseaux Λ et Λ′ sont semblables s’il existe λ ∈ CI tel que
Λ′ = λΛ .
III.A -
III.A.1) Démontrer que tout réseau Λ est semblable à un réseau Λ où τ ∈ H .τ
III.A.2) Démontrer que deux réseaux Λ et Λ , où (,ττ′) ∈ H × H , sont sem-τ τ′
blables si et seulement si il existe une matrice
a τ + bab ∈ SL()Z Z telle que τ′ = ---------------- .2 c τ + dcd
Concours Centrale-Supélec 2004 4/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
La fin de la partie III montre qu’il existe des similitudes directes de centre O ,
autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné Λ .
III.B - Soit Λ un réseau.
III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l’ensemble
S()Λ ={}z ∈ CI ; zΛΛ⊂ et l’ensemble des similitudes directes σ de centre O lais-
sant stable le réseau Λ , c’est-à-dire telles que σΛ() ⊂ Λ .
III.B.2) Quel est l’ensemble des homothéties de centre O laissant stable le
réseau Λ ? En déduire l’ensemble S()Λ ∩ IR .
III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l’ensemble S()Λ ?
III.B.4) B =()ω , ω étant une base de CI , on pose1 2
ω1 ⎛⎞τ = ------ . Comparer les ensembles S Λ et S()Λ .τ⎝⎠ω B2
III.B.5) Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre les ensembles S()Λ et Λ ?τ τ
III.C - τ étant un complexe de CI \ IR , on considère le réseau Λ engendré par laτ
base ()τ, 1de CI.
III.C.1) On suppose que l’ensemble S()Λ n’est pas réduit à Z Z . Montrer que ττ
est alors racine d’un polynôme du second degré à coefficients dans Z Z .
III.C.2) Réciproquement, on suppose que τ est racine non réelle d’un polynôme
2
PX() = uX++vX w du second degré à coefficients ,uvw , dans Z Z.
a) Montrer que S()Λ n’est pas contenu dans IR .τ
b) Que dire des ensembles S()Λ et Λ si u = 1 ?τ τ
Partie IV - Action du groupe Γ des homographies associées à
SL()Z Z sur l’ensemble H 2
Dans cette dernière partie, on étudie l’action de ce groupe Γ sur l’ensemble H .
On introduit au IV.D un sous-ensemble fondamental F de H . On montre aux
questions IV.E et IV.F que Γ est engendré par les homographies st et associées
aux matrices ST et introduites au I.D et qu’un système de représentants des
orbites de Γ est constitué par les points de F .
À toute matrice
abA =
cd
a τ + bde SL()Z Z on associe l’application g : H → CI définie par : ∀ τ ∈ H, g()τ = ---------------- .2 c τ + d
Concours Centrale-Supélec 2004 5/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
IV.A -
IV.A.1) Montrer que l’on a g() H ⊂ H . On identifie dorénavant g avec l’appli-
cation de H vers H qu’elle induit. Lorsque la matrice AS parcourt L()Z Z ,2
l’application correspondante g de H vers H décrit un ensemble noté Γ . Dans
la suite de cette question on s’intéresse aux propriétés de la surjection
SL()Z Z → Γ⎧ 2
Φ: ⎨
Aga⎩
IV.A.2) Montrer que Φ()A o Φ()A ′ = Φ()AA ′ . En déduire que la loi o de com-
position des applications est une loi interne sur Γ .
IV.A.3) Pour tout AS∈ L()Z Z , montrer que Φ()A est une bijection de H sur2
–1 –1
H et que l’on a []Φ()A = Φ()A . En déduire que ()Γ, o est un groupe.
IV.A.4) Montrer que Φ()A = id ⇔[]A = ± I .2H
IV.A.5)
a) Résoudre l’équation Φ()A ′ = Φ()A .
b) En utilisant les matrices ST et définies en I.D, vérifier que le groupe ()Γ, o
n’est pas commutatif.
IV.B -
IV.B.1) Montrer que le cercle C()ω, R de centre ω ∈ CI et de rayon R > 0 a pour
équation
2 2 2
z –()ωz + ωz + ω = R .
À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans H ?
IV.B.2) On appelle s l’application de H vers H associée à la matrice
01–S =
10
définie au I.D, c’est-à-dire l’élément s = Φ()S de Γ . Déterminer l’image par s
d’un cercle C()ω, R inclus dans H .
IV.C -
IV.C.1) Trouver l’image par s d’une droite D incluse dans H , c’est-à-dire
d’une droite D d’équation y = β , avec β > 0 .
IV.C.2)s d’une demi-droite D d’équation+
⎧x = α
, où α ∈ IR , incluse dans H .⎨
y > 0⎩
Concours Centrale-Supélec 2004 6/7MATHÉMATIQUES II Filière MP
IV.D - On introduit le sous-ensemble F de H , défini par
⎧⎫1
F = τ ∈ H : τ ≥1 , Re()τ ≤ --- .⎨⎬2⎩⎭
On appelle t l’application de H vers H associée à la matrice
11T =
01
définie au I.D, c’est-à-dire l’élément t = Φ()T de Γ . Représenter graphiquement
–1 –1l’ensemble F et ses images t()F et t ()F par les applications tt et .
IV.E - On note G le sous-groupe de Γ engendré par l’ensemble {}st, . Soit τ un
élément de H .
IV.E.1) Montrer qu’il existe un élément g ∈ G tel que0
()∀gG∈ Im()gτ ≤ Im()gτ .0
IV.E.2) On pose alors τ′ = gτ . Démontrer qu’il existe un entier m ∈ Z Z tel0
que
m 1
Re()tτ′ ≤ --- .
2
m mIV.E.3) Vérifier que t ()τ′ ≥ 1 et en conclure que t ()τ′ ∈ F .
IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l’on admettra ici : si τ ∈ F et
si pour un élément g ∈ Γ , avec gi≠d, on a g()τ ∈ F alors τ est un point fron-H
tière de F , autrement dit on a
1
Re()τ = ± --- ou τ = 1 .
2
En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que G = Γ .
°Indication : on pourra considérer un point τ intérieur à F (c’est-à-dire τ ∈ F )
et son image g()τ par g ∈ Γ .
••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2004 7/7

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