Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2004 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Dans tout le problème, est un plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct . On rappelle que les déplacements de sont les rotations et les translations de ce plan. On notera l'identité de . Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note l'ensemble des matrices carrées à lignes. On désigne par la transposée de la matrice . Si est une matrice carrée, on désigne par son déterminant et si , on convient d'appeler écriture de par blocs l'écriture , où , est de la forme , est de la forme , et est de la forme , avec , , , , réels. La matrice identité de est notée . Partie I - Questions préliminaires I.A - Les matrices et leur produit appartiennent à ; on les écrit par blocs : I.A.1) En prélevant dans les matrices et les termes utiles, calculer les deux termes de la matrice et montrer que . Des calculs analogues prouveraient que , ce que l'on admettra. I.A.2) Donner sans justification l'écriture par blocs de la transposée de . ? O; i j,( ) ? Idπ ? Mn IR( ) n At A A det A( ) A M3 IR( )? A A P Q R S = P M2 IR( )? Q q1 q2 R r1 r 2 S s[ ] q1 q2 r1 r2

  • p0 π ?

  • coordonnées dans le repère

  • repère orthonormé direct

  • p0 x0

  • q?

  • a? p?

  • p? π

  • coordonnées


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II Filière TSI
MATHÉMATIQUES II
Dans tout le problème, Π est un plan euclidien orienté rapporté à un repère
orthonormé direct ()O; i, j . On rappelle que les déplacements de Π sont les
rotations et les translations de ce plan. On notera Id l’identité de Π .π
Les matrices utilisées dans le problème sont réelles. On note M()IR l’ensemblen
des matrices carrées à n lignes.
tOn désigne par A la transposée de la matrice A .
Si A est une matrice carrée, on désigne par det ()A son déterminant et si
AM∈ ()IR , on convient d’appeler écriture de A par blocs l’écriture3
PQ
A = ,
RS
q1où PM∈ ()IR , Q est de la forme , R est de la forme , et S est de lar r2 1 2q2
forme []s, avec , q ,q r, r, s réels.1 2 1 2
La matrice identité de M()IR est notée I .2
Partie I - Questions préliminaires
I.A - Les matrices AA, ′ et leur produit AA ′ appartiennent à M()IR ; on les3
écrit par blocs :
PQ P ′ Q ′ XYA = A ′ = AA ′ =
RS R ′ S ′ ZT
I.A.1) En prélevant dans les matrices AA et ′ les termes utiles, calculer les
deux termes de la matrice YY et montrer que =PQ′ + QS ′ .
Des calculs analogues prouveraient que
PP ′ + QR ′ PQ ′ + QS ′AA ′ = , ce que l’on admettra.
RP ′+ SR ′ RQ ′ + SS ′
I.A.2) Donner sans justification l’écriture par blocs de la transposée de A .
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Filière TSI
I.B -
2I.B.1) On suppose que le couple ()X , X forme une base orthonormée de IR1 2
et que X et X sont des vecteurs propres pour une certaine matrice B appar-1 2
tenant à M()IR . Montrer que le couple ()–X , X a les mêmes propriétés.2 1 2
I.B.2) Soit SM∈ ()IR , qu’on suppose symétrique. Justifier l’existence dans2
M()IR de trois matrices, NL,,D , avec NL et orthogonales et D diagonale, tel-2
t tles que SN= D N = LD L , où L est obtenue en remplaçant dans N la première
colonne par son opposée.
I.B.3) En comparant det ()N et det ()L , montrer que l’une des deux matrices
NL ou est de la forme
cos θ –sin θ
R()θ =
sin θ cos θ
I.C - Soit RR une matrice de la forme ()θ précédente, différente de I . Montrer
que RI– est inversible.
Partie II - Le Groupe G
À tout triplet ()θ,,pq de nombres réels, on associe la matrice
cos θ –sin θ p
M()θ,,pq = sin θ cos θ q
001
et son écriture par blocs, notée
R()θ Tp(),q RT
, abrégée en ,
0 []1 0 1
où les deux termes de la sous-matrice uniligne 0 sont nuls.
On appelle G l’ensemble des matrices de la forme M()θ,,pq.
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II.A -
II.A.1) Calculer le déterminant de M()θ,,pq.
II.A.2) La matrice M()θ,,pq est-elle orthogonale ?
II.B -
II.B.1) Calculer le produit M()θ,,pq ⋅ M()θ′,,p ′ q ′ de deux matrices de G.
Montrer que ce produit appartient à G .
II.B.2) Le triplet ()θ,,pq étant donné, comment choisir ()θ′,,p ′ q ′ pour que le
produit précédent soit la matrice identité I ?3
II.B.3) Montrer que, lorsqu’on le munit de la multiplication, l’ensemble G est
un groupe.
II.C -
II.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de M()θ,,pq est le produit de
deux polynômes à coefficients réels, que l’on précisera.
II.C.2) On suppose que RI≠ .
a) Déterminer, selon les valeurs de θ , les valeurs propres réelles de M()θ,,pq.
b) Quelle est la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 ?
x0
Trouver un vecteur propre de la forme associé à la valeur propre 1. On don-y0
1
x –10nera de une expression matricielle utilisant TI et ()–R .
y0
II.D - Chaque point P de Π est repéré par ses coordonnées (,xy) dans le repère
()O ; ij, .
II.D.1) Quelles sont les coordonnées (,x ′ y ′) de l’image P ′ de P par la transla-
tion de vecteur Tp= iq+ j ?
II.D.2) Le point P de Π et le réel θ sont fixés. On désigne par r la rotation0
de centre P et d’angle θ . Soit P ′ l’image de P par r .0
Exprimer les coordonnées (,x ′ y ′) de P ′ en fonction de xy, , θ , et des coordonnées
()x , y de P .0 0 0
Concours Centrale-Supélec 2004 3/7MATHÉMATIQUES II Filière TSI
II.D.3) Montrer que, dans II.D.2) comme dans II.D.1), on peut trouver dans G
une matrice M , que l’on précisera dans chacun des deux cas, telle que
x ′ x
= M .y ′ y
1 1
II.D.4)
a) Réciproquement, les réels θ,,pq,x,y étant donnés, calculer le produit matri-
x
ciel .M()θ,,pq y
1 x ′
b) Ce produit est de la forme . y ′
1
Montrer que le point P ′ de Π , de coordonnées (,x ′ y ′), est l’image du point P , de
coordonnées ()xy, , par un déplacement.
c) Lorsque ce déplacement est une rotation de centre P()x , y différente de0 0 0
l’identité de Π , on pose
x –10V = . Montrer que V =()IR– T .P P0 0y0
Partie III - Le groupe G et les matrices symétriques
Dans cette partie, on introduit l’ensemble S des matrices symétriques de
M()IR , donc de la forme générale 3
a b d
. bce
def
Une telle matrice sera notée Q()a,,bcd,,e,f , ou Q de façon abrégée.
Soit Q une matrice appartenant à S. On appelle transformée de Q toute
tmatrice de la forme MQM , où M est une matrice appartenant à l’ensemble G
défini dans la partie II.
III.A - Soit Q S .
III.A.1) Montrer que toutes les transformées de Q appartiennent à S .
III.A.2) Montrer que QQ est une transformée de .
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III.A.3) Montrer que si Q ′ est une transformée de QQ, alors est une transfor-
mée de Q ′ .
III.A.4)Q ′ et ″ une transformée de
Q ′ , alors Q ″ est une transformée de Q .
Pour les questions qui suivent, on pourra utiliser les résultats de la partie I.A.
III.B - À toute matrice Q()a,,bcd,,e,f , on associe les réels :
2
p()Q =ac+ ; pQ = ac – b ; p()Q = det ()Q1 2 3
et la matrice :
a bSQ() = .
b c
tIII.B.1) Pour M ∈ G , associée à θ,,pq, écrire S()MQM comme un produit de
trois matrices.
III.B.2) En déduire que, pour toute transformée Q ′ de Qp, on a ()Q = p()Q ′1 1
et .p()Q = p()Q ′2 2
III.B.3) Montrer que,Q ′ de , on a ()Q = p()Q ′ .3 3
Les nombres réels p()Q,,p()Q p()Q sont appelés les invariants de Q . 1 2 3
Dans la suite de cette section, on se propose, en considérant divers cas pour les
invariants de QQ, de trouver, dans chaque cas, une transformée simple de .
III.C -
III.C.1) Montrer que, parmi les transformées de Q()a,,bcd,,e,f , il y a une
matrice de la forme Q()λ,,0 µ,d ′, e ′, f ′ , qu’on notera Q ′ dans la suite, (on pourra
utiliser I.B.3) et III.B.1)).
III.C.2) Calculer pQ et pQ en fonction de λ et µ .1 2
III.C.3) Montrer que, si pQ est nul, on peut, en précisant le choix de Q ′ ,2
faire en sorte que µ soit nul.
III.D - Pour M ∈ G , de la forme M()0,,pq, calculer les termes non diagonaux
tde .MQ ′M
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III.E - Étude des différents cas
III.E.1) Premier cas : p()Q est non nul.2
Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a une matrice Q ″ diagonale dont
le troisième terme diagonal est nécessairement p()Q ⁄ p()Q .3 2
III.E.2) Deuxième cas : p()Q est nul.2
a) Premier sous-cas : p()Q et p()Q sont non nuls.1 3
Montrer que, parmi les transformées de Q ′ , il y a la matrice Q()λ,,,,000e ′,0 .
b) Deuxième sous-cas : p()Q est non nul et p()Q est nul.1 3
Montrer que,Q ′, il y a une matrice de la forme
Q()λ,,,,,0000f ″ .
c) Troisième sous-cas : p()Q est nul.1
Montrer que ab, et c sont nuls.
Partie IV - Application aux coniques
Les coefficients réels ()abcd,,,,e,f étant fixés, on considère la courbe du plan Π ,
qui admet, dans le repère O; i, j l’équation cartésienne :
2 2
ax++2bxy cy+2dx+2ey+f =0,
Cette courbe est notée Cabcd,,,,e,f , ou C , de façon abrégée.
L’ensemble des courbes C est noté F .
IV.A - Étude d’un exemple
On pose H= C()01, ⁄200,,, –1 ⁄2, –1 et H = C()10,, –100,,, –2.1 2
Représenter sur un même dessin les courbes H et H ainsi que leurs asymp-1 2
totes.
Dans la suite, on associe au point P de coordonnées xy, la matrice
x
P = y1
1
et à la matrice Q()a,,bcd,,e,f définie dans la partie III la courbe
C()abcd,,,,e,f .
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IV.B - Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur le produit
tmatriciel P QP , pour que le point P soit sur la courbe C associée à la matrice1 1
Q .
IV.C - Soit dd un déplacement du plan, ()P l’image par dP du point et M la
matrice, appartenant à G , définie dans II.D.3), qui est associée à d .
IV.C.1)fisante, liant les matrices P ,1
MQ et et leurs transposées, pour que le point d() soit sur la courbe C asso-
ciée à la matrice Q .
IV.C.2) En déduire que la courbe C de F , associée à Q de S , est l’image
par d d’une courbe C ′ de F , associée à une matrice Q ′ de S , que l’on préci-
sera.
IV.C.3) Montrer que Q ′ est, suivant la définition donnée dans la partie II, une
transformée de Q .
IV.D - En utilisant III.E, montrer que toute courbe C de F est l’image, par
un certain déplacement, d’une courbe C de F d’équation simple.1
IV.E - Montrer que si C est associée à la matrice Q , elle est aussi associée à
αQ , pour tout α non nul.
Exemple : montrer, en utilisant III.E.1), que H est l’image de H par un1 2
déplacement que l’on ne cherchera pas à expliciter.
••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2004 7/7

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