Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2004 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Notations et objectifs du problème Dans tout ce problème, est un espace vectoriel euclidien de dimension . Le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté , la norme du vecteur est notée . L'espace des endomorphismes de est noté . Le composé de deux éléments et de est noté indifféremment ou et l'identité . L'adjoint de est noté ; on rappelle qu'il est caractérisé par la propriété suivante : , . Si est un élément de , désigne la trace de . Le composé de exem- plaires de est noté (avec, par convention, ). Si est un sous espace de stable par , l'endomorphisme induit par sur est noté . On notera l'ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints) de et le sous ensemble de constitué des endomorphismes symé- triques dont les valeurs propres sont positives. On rappelle que, si est une application de dans et une base de , par rapport à laquelle les coordonnées de sont , : alors est de classe sur , si et seulement si, pour tout entier l'application est une application de classe de dans . Soit un élément de et un élément de . On considère l'équation dont l'inconnue est la fonction de classe de dans . On rappelle que, pour tout de , il existe une unique solution de .

  • degré minimal parmi les polynômes

  • cercle

  • cercle contenant la trajectoire

  • trajectoire

  • polynôme

  • πzz x0

  • polynôme unitaire


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI
MATHÉMATIQUES II
Notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, Ed est un espace vectoriel euclidien de dimension ≥ 1 .
Le produit scalaire de deux vecteurs uv et de E est noté ()uv, la norme du
vecteur uu est notée .
L’espace des endomorphismes de E est noté LE() . Le composé de deux éléments
fg et de L()E est noté indifféremment fg ou f o g et l’identité I . L’adjoint deE
∗ff est noté ; on rappelle qu’il est caractérisé par la propriété suivante :
2 ∗∀()uv, ∈ E, .()fu v =()ufv
Si fL est un élément de E, Trf désigne la trace de fp. Le composé de exem-
p 0
plaires de ff est noté (avec, par convention, f = I ). Si F est un sous espaceE
de Ef stable par , l’endomorphisme induit par f sur F est noté f .F
On notera SE() l’ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)
+
de ES et ()E le sous ensemble de SE() constitué des endomorphismes symé-
triques dont les valeurs propres sont positives.
On rappelle que, si txa ()t est une application de IR dans E et
()e =()e,,e …,e une base de Ex, par rapport à laquelle les coordonnées de ()t1 2 d
sont ,xt xt,,…x ()t :1 2 d
d
∀t ∈ IR,xt()= x()t e∑ i i
i = 1
k
alors xC est de classe sur IR , si et seulement si, pour tout entier i ∈{}12,, …,d
k
l’application txa ()t est une application de classe C de IR dans IR .i
Soit fL un élément de ()E et x un élément de E . On considère l’équation 0
⎧ dx
------- = fx()⎪ dt P()f , x ⎨0
⎪ x()0 = x0⎩
1dont l’inconnue xt est la fonction ax()t de classe C de IR dans E .
On rappelle que, pour tout x de E , il existe une unique solution de P()f , x .0 0
On l’appelle fx-trajectoire de .0
Concours Centrale-Supélec 2004 1/6MATHÉMATIQUES II Filière PSI
Filière PSI
Afin d’alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d’une
trajectoire xx concerne en réalité l’ensemble ()IR ={}xt()t ∈ IR ; par exemple, on
dira que la trajectoire est un cercle si ()IR est un cercle.
On désigne par BE() l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes les
f – trajectoires sont bornées, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de
x , il existe un réel M ≥ 0 , dépendant de x , pour lequel on a :0 0
∀t ∈ IR, , xt() ≤ M
si xf désigne la – trajectoire de x .0
De même, on note SP()E l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes
les f – trajectoires sont sphériques, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le
choix de x , il existe un élément γ ∈ E et un réel r ≥ 0 , dépendants de x , pour0 0
lesquels on a :
∀t ∈ IR, ,xt()– γ = r
si xf désigne la – trajectoire de x .0
L’objectif du problème est de caractériser les ensembles BE() et SP()E .
Partie I - Étude de trajectoires
I.A - Soit FE un sous-espace de , stable par f. Montrer que si x∈ F , la f – tra-0
jectoire de x est contenue dans F .0
I.B - Soit f un élément de LE() , x un vecteur propre de f associé à la valeur0
propre λ et xf la – trajectoire de x . Exprimer xt() en fonction de x , λ , t .0 0
2I.C - Soit f LE() , x un élément de Ker f n’appartenant pas0
à Ker fx et la f–x . Exprimer xt()x , fx() , t et0 0 0
préciser la nature géométrique de cette trajectoire.
I.D - Soit f un élément de LE() , x un élément de E –{}0 . On suppose qu’il0
existe un réel φ n’appartenant pas à πZ Z et un réel k strictement positif tels que
2 2 .()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0E 0
On note txat la f – trajectoire de x .0
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I.D.1) Montrer que la famille ()x ,fx est libre et justifier l’existence de0 0
deux applications uv et de IR dans E , telles que
.∀t ∈ IR,xt()= ut() x +vtfx0 0
2
I.D.2) Montrer que uv et sont de classe C . Former une équation différen-
tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u . En
déduire l’expression de u .
I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cos φ = 0 . Dans ce cas,
décrire géométriquement la f – trajectoire x . À quelles conditions cette trajec-
toire est-elle un cercle ?
2 2
I.E - Soit kf un réel strictement positif, un élément de L()E, gf= + k I etE
2
x un élément de Ker g . On désigne par G la famille0
.Gx={},fx() ,gx() , gf()x0 0 0 0
I.E.1) Montrer que F = vect()G est stable par f .
I.E.2)G est libre si et seulement si gx() ≠ 0 .0
I.E.3) On suppose que gx() ≠ 0. Montrer que la f –trajectoire de x peut0 0
s’écrire sous la forme :xt()= ut() x +vt()fx() +wt()gx() +ht() gf()x0 0 0 0
Déterminer ut(), vt(), puis wt(), puis ht(). Montrer que cette trajectoire n’est
pas bornée.
Partie II - Étude des endomorphismes à trajectoires bornées
Dans les questions II.A à II.D incluses, fE désigne un endomorphisme de tel
que toutes les f – trajectoires sont bornées : fB∈ ()E .
II.A - Soit λ une valeur propre réelle de f . Montrer que λ = 0 .
2II.B - Montrer que Ker f = Ker f et E = Im f ⊕ Ker f .
II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels,
qui annule f . Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui
est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[]X annulant f .
Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté P .
II.C.1) Soit QQ ()∈ IR[]X un diviseur non constant de PQ. Montrer que ()f
ne peut être inversible.
II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle λ . Montrer que λ = 0 et, en
s’aidant de la question II.B, que l’ordre de multiplicité de cette racine dans P
est égal à 1 .
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II.C.3) Que dire de fP si est scindé sur IR ?
II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe λ non réelle. On écrit
i φ
λ sous forme trigonométrique : λ = ke , avec k et φ réels, k > 0 et φ n’appar-
tenant pas à πZ Z. Démontrer qu’il existe un vecteur x ≠ 0 tel que :0
2 2
()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0 . En déduire la valeur de cos φ . Qu’en conclure surE 0
les racines non réelles de P ?
22 2 2 2II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker()f + k I = Ker()f + k I .E E
II.C.6) On suppose f ≠ 0 ; démontrer qu’ il existe un entier s ≥ 1 et des réels
a,,,a … a strictement positifs et distincts tels que P soit de l’une ou l’autre des1 2 s
deux formes suivantes :
s s
2 2 2 2
PX= ()+ a ou XX()+ a .∏ ∏i i
i = 1 i = 1
II.D - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :
2i) L’endomorphisme f est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels
négatifs ou nuls.
2ii) .rg f = rg f
2Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de f associés à ses
valeurs propres strictement négatives sont paires.
II.E - Réciproquement soit f un élément de LE() , non nul et vérifiant les deux
propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l’existence d’un entier s stricte-
ment positif, de sE sous-espaces ,,E …,E tous non réduits à {}0 , de dimen-1 2 s
sions paires et stables par fs et de réels a,,, … a , strictement positifs et1 2 s
distincts, tels que :
s
Ker f ⊕ = E (1) E
i
i = 1
2 2
∀i ∈{}1,,… s, (2)∀xE∈ , f ()x = –a xi i
Étudier la f – trajectoire d’un vecteur appartenant à l’un des E et en conclurei
que .fB∈ ()E
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Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires
sphériques
III.A -
III.A.1) Soit fL un élément de ()E. Prouver l’équivalence des deux propriétés
suivantes :
∗a) f+0f =
b) ∀uE∈, .()ufu = 0
Un endomorphisme vérifiant l’une de ces deux propriétés est appelé endomor-
phisme antisymétrique de EA. L’ensemble de ces endomorphismes est noté ()E.
III.A.2) Soit fA un élément de ()E et xf une – trajectoire associée ; calculer
2la dérivée de la fonction txa ()t . Montrer que AE() ⊂ SP()E .
III.B - Soit fSP() et FE un sous-espace de stable par F.
Montrer que f est élément de SP()F .F
III.C - Montrer que SP()E ⊂BE() .
III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non
nul de SP()E .
2III.D.1) Démontrer que f est une homothétie de rapport strictement négatif.
III.D.2) Soit x un élément de E –{}0 et a le centre d’un cercle contenant la0
f – trajectoire de x . Justifier que a peut s’écrire sous la forme αx + βfx() et0 0 0
prouver que ()x fx= 0 .0 0
III.D.3) Prouver que AE() = SP()E .
III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de
dimension . 3
Soit ω un élément de E –{}0 et vE un vecteur de orthogonal à ω . On définit
l’endomorphisme ψ de E par ψ : u a ω ∧uu+()ω v .
III.E.1) Montrer que ψ est antisymétrique si et seulement si v = 0 .
III.E.2) Montrer que si v est non nul, ψ appartient à SP()E .
On pourra commencer par prouver que pour tout x de Ex, si désigne la0
f – trajectoire de x , ()x ω est constant et l’on cherchera le centre de la0
sphère sous la forme αω+ ω ∧ v , où α est une constante à déterminer.
On se propose de prouver que tout endomorphisme fS élément de P()E, non nul
est de la même forme que ψ .
2III.E.3) Soit fS un élément de P()E–{}0 . Établir que f n’admet qu’une seule
2 2 2valeur propre strictement négative, notée –Iµ et que m f = Ker()f + µ I .E
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III.E.4) En déduire l’existence d’une base orthonormée de E où la matrice de
f est de la forme
⎛⎞0 –µ b⎜⎟µ 00
000⎝⎠
et conclure.
III.F - On suppose, dans cette question, que fS, élément de P()E, vérifie
2 2
f = –µ I où µ > 0 . À l’aide des résultats des questions III.B et III.D, montrerE
que f est antisymétrique.
III.G - Démontrer que, dans le cas général, SP()E est constitué des endomor-
phismes fL∈ ()E qui vérifient les deux propriétés suivantes :
i) E = Ker f ⊕ Im f .
ii) L’endomorphisme induit par f sur Im f est antisymétrique.
Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en
fonction de x élément de E , le centre d’une sphère qui contient la f – trajectoire0
de . x0
••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2004 6/6

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