Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2003 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Dans tout le problème, est un entier naturel supérieur ou égal à . On considère un espace euclidien de dimension . On note le produit scalaire de deux vecteurs et et la norme associée. Pour , on note son adjoint, son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres. On note le générateur de l'idéal des polynômes annulateurs de dont le coefficient de plus haut degré est égal à . est appelé polynôme minimal de . L'endomorphisme de est dit antisymétrique lorsque . On note, , et les sous-ensembles de formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux. Si est un sous-espace de stable par , on note l'endomorphisme de induit par . On note l'ensemble des endomorphismes de tels que soit un polynôme en et l'ensemble des endomorphismes de qui commutent avec leur adjoint, donc : , . Le but du problème est d'étudier et comparer les deux ensembles et . On note l'ensemble des matrices carrées réelles de taille et , et les sous-ensembles de formés respectivement des matrices symétri- ques, antisymétriques, orthogonales. Pour , on note son polynôme caractéristique et son polynôme minimal, c'est-à-dire le polynôme minimal de l'endomorphisme de canoni- quement associé à .

  • polynôme minimal de l'endomorphisme de canoni- quement

  • caractérisation des matrices

  • calculer pour entier positif

  • pa1 pa2–

  • polynôme

  • générateur de l'idéal des polynômes annulateurs

  • endomorphisme

  • degré après degré


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II
MATHƒMATIQUES II
Filière PSI
Dans tout le problème,nest un entier naturel supérieur ou égal à1. On considère un espace euclidienEde dimensionn. On note(x y)le produit scalaire de deux vecteursxetyetxaxla norme associée. PouruL(E), on noteuson adjoint,χson polynôme caractéristique etS p(u) u l’ensemble de ses valeurs propres. On note lπe générateur de l’idéal des u polynômes annulateurs deudont le coefficient de plus haut degré est égal à1. πest appelé polynôme minimal deu. u L’endomorphismeudeEest dit antisymétrique lorsqueu= –u. On note,S(E),A(E)etO(E)les sous-ensembles deL(E)formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux. SiFest un sous-espace deEstable paru, on noteul’endomorphisme deF F induit paru. On noteP(E)l’ensemble des endomorphismesude tEels que suoit un polynôme enuetNEl’ensemble des endomorphismesudeEqui commutent ( ) avec leur adjoint, donc : P No o , .)={uL(E)(u u=u u)} (E)={uL(E)u∗ ∈IR[u]}(ELe but du problème est d’étudier et comparer les deux ensemblesPEetNE. ( ) ( ) On noteMnIRl’ensemble des matrices carrées réelles de taillenetSn,Anet ( ) Oles sous-ensembles deMnIRformés respectivement des matrices symétri-( ) n ques, antisymétriques, orthogonales. PourAMn(IR), on noteχson polynôme caractéristique etπson polynôme A A n minimal, c’est-à-dire le polynôme minimal de l’endomorphisme deIRcanoni-t quement associé àA. On noteAla transposée deA. Deux matricesAetBsont dites orthogonalement semblables lorsqu’il existe –1 POtel queB=P AP. n t On notePnl’ensemble des matricesAdeMnIRtelles queApeut s’expri-( ) mer comme un polynôme enA, donc : t Pn={AMn(IR)AIR[A]}, et de manière analogue : t t NnMn  ={A(IR)AA=A A} Les parties I et II sont indépendantes.
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Partie I - Généralités surPetPn (E)
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I.A -I.A.1) SoientAetBles deux matrices d’un même endomorphisme deErap-porté à deux bases orthonormales. Montrer queAetBsont orthogonalement semblables. I.A.2) Soituun endomorphisme deEetAsa matrice sur,Bune base P orthonormale deEà. Établir un rapport entre l’appartenance de u(E) (resp.NE) et l’appartenance deAàPn(resp.Nn). ( ) Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à cer-taines questions. P N PnNn I.A.3) Montrer que(E)(E)et que. I.B -I.B.1) Vérifier queS EPEetA EPE. ( ) ( ) ( ) ( ) I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent ? àPn P En déduire que sin2, on a(E)L(E). B I.B.3) SoituL(E)admettant, sur une certaine basedeE, une matrice B triangulaire supérieure. Montrer qu’il existe une base orthonormale'deE, B B B B telle que les matrices de passage deà'et de'àsoient trian-gulaires supérieures. Montrer que la matrice deudansBest triangulaire supérieure. ' P En déduire les élémentsu(E)qui sont trigonalisables. I.B.4) On suppose queuest un automorphisme deE; montrer queuadmet –1 un polynôme annulateurPtel queP(0).0En déduire queupeut s’écrire comme un polynôme enu. P En déduire queO(E)(E). I.C -Pn I.C.1) Montrer que siAetA0, alors il existe un unique polynôme t réel que l’on noteP, tel que degré(P) <degré(π )etP(A)=A. A A A A SiAest la matrice nulle, on convient quePest le polynôme nul. A
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI uP Énoncer le résultat correspondant pour(E). I.C.2) Déterminer les matrices de pPonest unur lesquelles AP A polynôme constant. Pn A I.C.3) Déterminer les matricesAdepour lesquellesPest du premier degré. On rappelle que toute matrice carrée s’écrit comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique. I.C.4) SoientAetBdeux matrices orthogonalement semblables. Montrer quPnBPn A B e siAalors etP=P. I.D -Décrire les élémentsAdeP2et calculer lesPcorrespondants. A I.E -Soit
A0 1 A=avec , .AnAPn 1P122 0A 2 I.E.1) On suppose queπetπsont premiers entre eux. Montrer l’exis-A A 1 2 tence de deux polynômesUetVtels que : P(PP)Uπ=P+(PP)Vπ. A A A A A A A A 1 1 2 1 2 1 2 2 m CalculerApour entmpourier positif quelconque, puis P(A) P=P(PP)Uπ. A A A A 1 1 2 1 En déduire queAPn+n. 1 2 I.E.2) Expliciterπen fonction deπetπ. A A A 1 2 Comment trouverPconnaissantπ,π, et le polynômePdéfini par : A A A 1 2 P=P(PP)Uπ? A A A A 1 1 2 1
I.F -Soit
1 0 0 0 0 1 0 0 A=. 0 0 0 –1 0 0 1 0 Vérifier queAP4et calculerAavec la méthode précédente. P
Partie II - Étude deN(E)etNn N II.A -Montrer que siuNEetPIR[X], alorsP(u)(E). ( ) 2 2 N II.B -Soientu(E)etxE. Montrer queu(x)=u(x). En déduire que uetuont le même noyau.
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II.C -Soitmun entier,m>0. On suppose donné un endomorphismefantisy-m métrique inversible de l’espaceIRmuni de son produit scalaire canonique. II.C.1) Comparer les déterminants defetf. En déduire quemest pair. m2 II.C.2) On considère les applicationsnetgdéfinies surIRparn(x)=x 2 etg(x)=f(x)et l’application 2 mf(x) q:U=IR\{0}aIRdéfinie parq(x)=-. 2 x 1m Montrer quenetgsont de classeCsurIRet que leurs différentielles enx fixé sont les formes linéaires ha2(x h)etha2(f(x)f(h)). 1m Montrer que l’applicationqest de classeCsurIR\{0}et déterminer sa dif-férentielle enx, en calculantdq(x)(h)au moyen de produits scalaires et de nor-mes. On noteS={xUx= 1}. Montrer que l’ensemble des valeurs prises parqsurScoïncide avec l’ensemble des valeurs prises parqsurU. Montrer que la fonctionqadmet un maximum m surIR\{0}et que ce maximum est atteint en un pointxS. 0 2 Montrer que, pour touth, on a(f(x)f(h))=f(x)(xh.)En déduire que 0 0 0 Π= Vect(x,f(x))est un plan stable parf. 0 0 Donner une base orthonormale deΠet exprimer la matrice defrelative à Π cette base. m II.C.3) Montrer qu’il existe une base orthonormaleBdeIRtelle que : τ00 1 0τO M 20 –b im MB=avecτietipour . (f)=b0i= 1, …,-M O O0 2 b0 i 00τ m ----2 II.D -SoituL(E)etE1EOn noteet . un sous-espace stable par 2le u u E supplémentaire orthogonal deE. 1 II.D.1) Montrer queEest stable paruetu. 2 ∗ ∗ II.D.2) Montrer que(u)=u. E E 1 1 N N II.D.3) Montrer que si, en outre,uNE, alorsE1etE2E2. ( )u(E)u( ) 1 Jusqu’à la fin de la partie II,udésigne un élément deN(E).
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2 2 II.E -Soientλ ∈IRetxE; montrer queu(x)λx=u(x)λx. En déduire queuetuont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale. Siλest une valeur propre deu, on noteE(λ)le sous-espace propre associé. Soit u Fle supplémentaire orthogonal du sous-espace : u, où la somme porte sur l’ensemble des valeurs propres de . E(λ)u λ Montrer queFest stable paruetu. En considérant la restriction deuàF, montrer que la dimension deFne peut être impaire. On noteradimF= 2p. N II.F -On suppose quepest non nul. Soitv(F). On pose ∗ ∗ v+v vv s=-eta=-. 2 2 II.F.1) Justifier que le polynôme caractéristique desest scindé.On le note : k n i χ(X)=X). s i i= 1 II.F.2) Montrer ques a=a sets v=v s. o o o o B Montrer qu’il existe une base orthonormaledeFtelle que la matrice dev dansBsoit diagonale par blocs : M00 1 0MO M 2 MB= (v) M O O0 00M k avec, pouri= 1, …,k,Mde la formeλI+AAest antisymétrique. i i n i i i II.F.3) On suppose en outre quevn’admet aucune valeur propre réelle. Mon-trer que lesAsont inversibles. i B II.G -Montrer qu’il existe une base orthonormaledeEtelle que : D00 0τO Mab 1i i MB (u)=avecDmatrice diagonale,τ=etb0i i M O O0b a i i 00τ p pour .i= 1, …,p Nn II.H -Donner une caractérisation des matricesA. II.I -Préciser la matrice obtenue dans II.G quanduO(E).
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MATHÉMATIQUES II Partie III - Relation entrenetNn P III.A -Soit .PIR[X] III.A.1) Soit
M00 1 0MO0 2 Δ=une matrice réelle diagonale par blocs. M O O0 00M k t t Montrer queP(Δ)=Δsi et seulementP(M)=M, pouri= 1, …,k. i i III.A.2) Donner les expressions deP,χetπpour une matrice A A A ab A=b0. b a
Montrer que
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t (A)=Asi et seulement siP(a+ib)=aibetP(aib)=a+ib.
Dans les questions qui suivent, on fixeANn. D’après II.H,Aest orthogona-lement semblable à une matriceBtelle que celle représentée dans II.G. t III.A.3) Montrer que(A)=Asi et seulement si : P(λ)=λ pour toute valeur propre réelleλdeA . P(z)=zpour toute racine complexe non réellezdeχ A III.A.4) Montrer qu’il existePIC[X], de degré minimal, vérifiant les condi-tions ci-dessus (surP(λ)etP(z)) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels. En déduire queNn=Pn. III.B -Montrer que le polynômePtrouvé dans III.A.4 est, en fait,P. A Retrouver, avec la méthode précédente, le polynômePde la question I.F. A III.C -Dans cette question, on suppose et on noten3 C0 1n1Mn (…, αα , α , )(IR)la matrice circulante α α α … α 0 1 2n– 1 α α αO M n0 1– 1 C…, αα , α , =O OM O αetJ=C(0,1,0, …,0). ( ) 0 1n– 1 2 αO Oα α 2 0 1 α α … α α 1 2n– 1 0
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI Pn III.C.1) Montrer queJ. En déduire que toute matrice circulante appartient àPn. III.C.2) À toute matrice circulante non nulleA=C(α , …, α), on associe les 0n– 1 polynômes n– 1n– 1 i ni P(X)=αXetQ(X)=α+αX. ∑ ∑ i0i i= 0i= 1 Donner l’expression deπ. ComparerQet le reste de la division euclidienne de J P Pparπ. AoJ En déduire les étapes d’une méthode de calcul deP. Détailler le calcul pour A A=C(1,1,0). 2 III.D -SoitP(X)=a+a X+a X a0 0 1 2 2 Montrer qu’il existe un entiern3et une matriceAPntelle queP PAsi = 2 et seulement si(a– 1)– 4a a∈ [0,4[. 1 0 2 Indication :que, si montrer netAexistent,χadmet au moins une racine A réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l’une de l’autre.
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••• FIN •••
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