Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Les deux premières parties de ce problème se proposent d'étudier deux types d'approximation d'une fonction sur un segment, et de les comparer. La troisième partie munit l'espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à d'une structure euclidienne et étudie certaines propriétés des polynô- mes interpolateurs de Lagrange relativement à cette structure. La troisième par- tie est indépendante des deux premières. Partie I - Matrices tridiagonales Notations : pour , et , on note : ; ; ; I.A - Méthode du pivot Dans cette section on pose et on se propose de résoudre le système , d'inconnue , par la méthode du pivot de Gauss sans échange de lignes. IRn X[ ] n n IN? n 3≥ ?1 … ?n,,( ) IR n ? Mn ?1 … ?n,,[ ] ?1 1 0 K 0 0 1 ?2 1 0 K 0 0 1 ?3 1 O 0 M O O O O 0 0 K 0 1 ?n 1– 1 0 0 K 0 1 ?n? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? = An Mn 2 4 … 4 2,,, ,[ ]= ?1 2 ?2, … ?n 1– 4 ?n, 2= = = = =( ) Bn Mn 2 4 … 4,, ,[ ]= ?1 2 ?2, … ?n 4=

  • mn ?1

  • méthode du pivot de gauss sans échange de lignes

  • coefficients réels de degré inférieur

  • espace des polynômes

  • degré

  • spline cubique vérifiant les conditions

  • norme du polynôme

  • splines cubiques


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière PSI
Les deux premières parties de ce problème se proposent d’étudier deux types
d’approximation d’une fonction sur un segment, et de les comparer. La troisième
partie munit l’espace
des polynômes à coefficients réels de degré inférieur
ou égal à
d’une structure euclidienne et étudie certaines propriétés des polynô-
mes interpolateurs de Lagrange relativement à cette structure. La troisième par-
tie est indépendante des deux premières.
Partie I - Matrices tridiagonales
Notations
: pour
,
et
, on note :
;
;
;
I.A - Méthode du pivot
Dans cette section on pose
et on se propose de résoudre le système
, d’inconnue
, par la méthode du pivot de Gauss
sans échange de lignes
.
IR
n
X
[
]
n
n
IN
n
3
α
1
α
n
,
,
(
)
IR
n
M
n
α
1
α
n
,
,
[
]
α
1
1
0
K
0
0
1
α
2
1
0
K
0
0
1
α
3
1
O
0
M
O
O
O
O
0
0
K
0
1
α
n
1
1
0
0
K
0
1
α
n
=
A
n
M
n
2
4
4
2
,
,
,
,
[
]
=
α
1
2
α
2
,
α
n
1
4
α
n
,
2
=
=
=
=
=
(
)
B
n
M
n
2
4
4
,
,
,
[
]
=
α
1
2
α
2
,
α
n
4
=
=
=
=
(
)
C
n
M
n
4
4
,
,
[
]
=
α
1
α
2
α
n
4
=
=
=
=
(
)
B
β
1
β
2
M
β
n
1
+
=
S
n
(
)
A
n
1
+
X
B
=
X
M
n
1
1
,
+
IR
(
)
Concours Centrale-Supélec 2002
2/6
Filière PSI
MATHÉMATIQUES II
Filière PSI
I.A.1)
Cas
.
Résoudre par cette méthode le système
.
On remarquera en particulier que les pivots successifs valent :
;
;
.
I.A.2)
On revient au cas général.
a) Écrire une procédure de résolution du système
,
suivant l’algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes.
b) On note
la suite des pivots. Vérifier que :
c) Étudier la suite
définie par :
d) En déduire que
et que
est inversi-
ble.
I.B - Calculs explicites
Notation
: pour toute matrice
, on note
son déterminant.
I.B.1)
On pose
,
,
et pour tout
,
,
. Montrer que la suite
vérifie une relation de
récurrence simple ; en déduire
puis
et
.
I.B.2)
En déduire que
est inversible.
I.B.3)
Calculer explicitement les valeurs propres de
et
.
n
2
=
S
2
(
)
p
0
2
=
p
1
7
2
--
=
p
2
12
7
-----
=
A
n
1
+
X
B
=
p
0
p
1
p
n
,
,
,
(
)
p
0
2
=
k
0
n
2
,
,
{
}
p
k
1
+
,
4
1
p
k
------
=
p
n
2
1
p
n
1
-------------
=
u
n
(
)
n
IN
u
0
2
=
n
IN
u
n
1
+
,
4
1
u
n
------
=
k
0
n
1
,
,
{
}
(
)
2
p
k
2
3
+
(
)
A
n
1
+
M
det
M
c
0
1
=
c
1
4
=
c
2
15
=
n
3
c
n
,
det
C
n
=
b
n
det
B
n
=
a
n
det
A
n
=
c
n
(
)
n
3
c
n
(
)
n
3
b
n
(
)
n
3
a
n
(
)
n
3
A
n
A
3
C
3
MATHÉMATIQUES II
Filière PSI
Concours Centrale-Supélec 2002
3/6
I.B.4)
Localisation des valeurs propres
.
a) Soit
un réel tel que :
et,
Montrer qu’alors
est inversible.
b) En déduire que les valeurs propres de
appartiennent à la réu-
nion des intervalles
et que
,
et
sont inversibles.
Partie II - Fonctions splines cubiques
Pour
on pose
et pour
.
On note
l’ensemble des fonctions (dites splines cubiques) de classe
sur
telles que :
la restriction de
à
est polynomiale
de degré
.
II.A -
Montrer que l’application :
est un isomorphisme d’espace vectoriel.
On rappelle que, si
désigne la dérivée à
droite d’ordre
en .
Quelle est la dimension de l’espace vectoriel
?
II.B -
est une fonction de classe
sur
.
II.B.1)
Soit
.
a) Montrer qu’il existe une unique fonction
définie sur
à valeurs dans
vérifiant :
(i)
la restriction de
à
est polynomiale de degré
,
(ii)
,
(iii)
;
;
.
λ
λ
α
1
1
>
λ
α
n
1
>
k
2
3
n
1
,
,
{
}
λ
α
k
2 .
>
M
n
α
1
α
n
,
,
[
]
λ
I
M
n
α
1
α
n
,
,
[
]
α
1
1
α
1
1
+
,
[
]
α
k
2
α
k
2
+
,
[
]
k
2
=
n
1
α
n
1
α
n
1
+
,
[
]
A
n
B
n
C
n
n
IN
h
1
n
---
=
k
0
n
,
,
{
}
x
k
,
k
n
---
=
S
C
2
0
1
,
[
]
i
0
n
1
,
,
{
}
s
x
i
x
i
1
+
,
[
]
3
S
IR
n
3
+
s
s
0
(
)
s
0
(
)
s
0
(
)
s
d
3
(
)
0
(
)
s
d
3
(
)
1
n
---
s
d
3
(
)
2
n
---
s
d
3
(
)
n
1
n
------------
,
,
,
,
,
,
,
a
x
IR
s
d
3
(
)
x
(
)
,
s
x
t
+
(
)
s
x
(
)
t
-----------------------------------------
t
0
+
lim
=
3
x
S
f
C
1
0
1
,
[
]
m
0
m
1
m
n
,
,
,
(
)
IR
n
1
+
g
0
1
,
[
]
IR
i
1
n
,
{
}
g
x
i
1
x
i
,
[
]
3
i
0
n
,
{
}
g
x
i
(
)
f
x
i
(
)
=
g
0
(
)
m
0
=
g
x
x
i
x
x
i
lim
x
(
)
g
x
(
)
x
x
i
x
x
i
lim
m
i
=
=
g
1
(
)
m
n
=
MATHÉMATIQUES II
Filière PSI
Concours Centrale-Supélec 2002
4/6
b) Établir que pour
et
on a :
et
sont des réels que l’on exprimera en fonction de
,
, ,
et
.
II.B.2)
Montrer que :
,
,
selon les notations de la
partie I, et
est une matrice colonne dépendant des
,
,
et .
II.B.3)
En déduire qu’il existe une et une seule fonction spline cubique
vérifiant les conditions :
.
II.B.4)
Retrouver la valeur de la dimension de .
On peut montrer et on
admettra
ici que si
est de classe
sur
,
II.C - Interpolation de Lagrange-Sylvester
II.C.1)
Soit
une fonction de classe
sur
. Montrer qu’il existe une uni-
que fonction polynomiale , de degré
telle que :
i
1
n
,
,
{
}
x
x
i
1
x
i
,
[
]
g
x
(
)
m
i
1
=
x
i
x
(
)
6
h
------------------
3
m
i
x
x
i
1
(
)
6
h
-------------------------
3
u
i
x
x
i
1
(
)
v
i
+
+
+
u
i
v
i
m
i
1
m
i
h
f
x
i
1
(
)
f
x
i
(
)
g
S
g
0
(
)
f
0
(
)
=
g
1
(
)
f
1
(
)
=
A
n
1
+
M
B
=
M
m
0
m
1
M
m
n
=
A
n
1
+
M
n
1
+
2
4
4
2
,
,
,
,
[
]
=
B
f
x
i
(
)
,
i
0
n
1
,
,
{
}
(
)
f
0
(
)
f
1
(
)
h
g
S
i
0
n
,
,
{
}
,
g
x
i
(
)
f
x
i
(
)
=
g
0
(
)
f
0
(
)
;
g
1
(
)
f
1
(
)
=
=
S
f
C
4
0
1
,
[
]
f
g
sup
x
0
1
,
[
]
f
x
(
)
g
x
(
)
13
8
n
4
--------
f
4
(
)
=
f
C
1
0
1
,
[
]
h
n
2
+
i
0
n
,
,
{
}
,
h
x
i
(
)
f
x
i
(
)
=
h
0
(
)
f
0
(
)
;
h
1
(
)
f
1
(
)
=
=
MATHÉMATIQUES II
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5/6
II.C.2)
On peut montrer, et on
admettra
ici que, si
est de classe
sur
:
.
Comparer les deux méthodes d’approximation précédentes (splines cubiques et
Lagrange-Sylvester) du double point de vue de la simplicité et de la précision,
d’abord pour
, puis pour
.
Partie III - Un exemple de structure euclidienne
III.A -
On considère l’espace vectoriel
. Pour ,
, on pose :
III.A.1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire euclidien sur
. On
notera
la norme du polynôme
associée au produit scalaire précédent.
III.A.2) Montrer qu’il existe une unique famille
de
telle que :
où la fonction
désigne le symbole de Kronecker :
Vérifier que la famille
est une base orthonormée de
. Elle sera
notée
. Que peut-on dire du degré du polynôme
?
III.A.3) Déterminer les coordonnées dans la base
d’un vecteur
de
orthogonal (au sens du produit scalaire précédemment défini) à l’hyperplan
de
formé des polynômes de degré
.
Si
, on note
la distance du polynôme
à l’hyperplan
.
Montrer que
.
f
C
n
3
+
0
1
,
[
]
f
h
f
n
3
+
(
)
n
3
+
(
)
!
------------------------
M
n
M
n
x
(
)
x
x
1
(
)
x
k
n
---
k
0
=
n
=
n
1
=
n
2
E
IR
n
X
[
]
=
P
Q
E
P
Q
(
)
P
i
(
)
Q
i
(
)
i
0
=
n
=
E
P
2
P
L
0
L
1
L
n
,
,
,
(
)
E
i
j
,
(
)
0
n
,
,
{
}
2
L
i
j
(
)
δ
i
j
,
=
δ
δ
i
j
,
1 si
i
j
=
0 si
i
j
=
L
0
L
1
L
n
,
,
,
(
)
E
B
X
n
1
(
)
n
1
+
n
!
L
0
+
B
N
E
H
E
n
1
P
E
d
P
H
,
(
)
inf
Q
H
=
P
Q
2
P
H
d
X
n
H
,
(
)
n
!
d
L
0
H
,
(
)
=
MATHÉMATIQUES II
Filière PSI
Concours Centrale-Supélec 2002
6/6
III.A.4) En remarquant que :
, exprimer
à l’aide d’un seul coefficient binômial.
III.A.5) En déduire la valeur de
.
III.B - Étude d’un endomorphisme de
On note
et on fixe un polynôme
dans
.
On considère l’application
de
dans
, qui à tout
de
associe le reste de
la division euclidienne de
par
.
III.B.1)
Montrer que
est un endomorphisme de
.
III.B.2)
Exprimer
en fonction de
. En déduire que
est un endomor-
phisme autoadjoint de
.
III.B.3)
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur
pour que
soit un automorphisme orthogonal de
. Quelle est alors sa nature
géométrique ?
III.B.4)
On note
.
Exprimer
et
à l’aide des
.
••• FIN •••
1
X
+
(
)
2
n
1
X
+
(
)
n
1
X
+
(
)
n
=
C
n
p
(
)
2
p
0
=
n
d
X
n
H
,
(
)
E
Π
X
(
)
X
i
(
)
i
0
=
n
=
M
0
E
ϕ
E
E
P
E
P
M
0
×
Π
ϕ
E
ϕ
L
i
(
)
L
i
ϕ
E
M
0
ϕ
E
B
E
0
1
,
(
)
P
E
;
P
2
1
{
}
=
min
P
B
E
0
1
,
(
)
ϕ
P
(
)
P
(
)
max
P
B
E
0
1
,
(
)
ϕ
P
(
)
P
(
)
M
0
i
(
)
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