Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2002 1/4 MATHÉMATIQUES II Filière MP désigne l'espace vectoriel muni de sa structure euclidienne canonique et orienté de sorte que la base canonique, notée , soit orthonormale directe. On a donc pour tout et réels : . Le produit scalaire sera noté : . Si est un vecteur non nul élément de , on note , la droite vectorielle de base , le plan vectoriel orthogonal à et le demi-tour par rapport à c'est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à ou encore la rotation vectorielle d'axe et d'angle de mesure . Si est un nombre réel, on note la rotation vectorielle d'axe orienté dans le sens du vecteur et d'angle de mesure . On rappelle qu'une rotation vectorielle de ayant comme valeur propre est un demi-tour. On rappelle également l'inégalité de Cauchy-Schwarz : , et l'on admet que dans cette inégalité, l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs et sont colinéaires. Partie I - Étude d'un cas particulier Pour tout élément de , on pose : et l'on note l'ensemble suivant : . I.A - Une étude de I.A.1) Déterminer quelques éléments de symétrie de I.A.2) Déterminer et dessiner l'intersection de avec le plan .

  • ?? ir

  • q0 k0 ?

  • rotations vectorielles

  • révolution d'axe

  • rotation vectorielle d'axe orienté dans le sens

  • r?o r?

  • endomorphisme de matrice dans la base


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/4
MATHÉMATIQUES II
Filière MP
désigne l’espace vectoriel
muni de sa structure euclidienne canonique et
orienté de sorte que la base canonique, notée
, soit orthonormale directe.
On a donc pour tout
et
réels :
. Le produit scalaire
sera noté :
.
Si
est un vecteur non nul élément de
, on note
, la droite vectorielle de
base
,
le plan vectoriel orthogonal à
et
le demi-tour par rapport à
c’est-à-dire la symétrie orthogonale par rapport à
ou encore la rotation
vectorielle d’axe
et d’angle de mesure .
Si
est un nombre réel, on note
la rotation vectorielle d’axe
orienté dans
le sens du vecteur
et d’angle de mesure .
On rappelle qu’une rotation vectorielle de
ayant
comme valeur propre est
un demi-tour.
On rappelle également l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
,
et l’on admet que dans cette inégalité, l’égalité a lieu si et seulement si les deux
vecteurs
et
sont colinéaires.
Partie I - Étude d’un cas particulier
Pour tout
élément de
, on pose :
et l’on note
l’ensemble suivant :
.
I.A - Une étude de
I.A.1)
Déterminer quelques éléments de symétrie de
I.A.2)
Déterminer et dessiner l’intersection de
avec le plan
.
I.A.3)
a) Démontrer que pour tout
réel :
.
b) En déduire que, pour tout
réel,
est invariant par
c’est-à-dire :
.
I.A.4)
Donner la nature géométrique de
.
E
IR
3
i
j
k
,
,
(
)
x
y
,
z
x
y
z
,
,
(
)
x
i
y
j
z
k
+
+
=
.
.
u
E
D
u
u
P
u
D
u
S
u
D
u
D
u
D
u
π
θ
R
θ
D
k
k
θ
E
1
u
v
,
(
)
E
2
u
v
2
u
2
v
2
u
v
x
y
z
,
,
(
)
E
q
x
y
z
,
,
(
)
x
2
y
2
z
2
+
=
Q
0
Q
0
x
y
z
,
,
(
)
E
q
x
y
z
,
,
(
)
0
=
{
}
=
Q
0
Q
0
Q
0
P
j
θ
R
θ
Q
0
(
)
Q
0
θ
Q
0
R
θ
R
θ
Q
0
(
)
Q
0
=
Q
0
Concours Centrale-Supélec 2002
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Filière MP
MATHÉMATIQUES II
Filière MP
I.B - Automorphismes orthogonaux laissant
invariant
On note
l’ensemble des automorphismes orthogonaux de
qui laissent glo-
balement invariant
, c’est-à-dire :
I.B.1)
Donner quelques éléments de
.
I.B.2)
Soit
un élément quelconque de
.
a) Démontrer que
est un vecteur propre de .
b) Démontrer :
.
c) Déterminer l’ensemble
des rotations vectorielles éléments de
.
I.B.3)
On pose
. Démontrer que
.
I.C - Automorphismes orthogonaux laissant
invariant
On note
l’ensemble des automorphismes orthogonaux de
qui laissent glo-
balement invariant
, c’est-à-dire :
.
I.C.1)
Démontrer que
est un sous-groupe de
.
I.C.2)
a) Reconnaître, pour tout
réel, l’endomorphisme
.
b) Démontrer :
.
c) Démontrer :
.
I.C.3)
Soit
un élément quelconque de
.
a) Démontrer que pour tout vecteur
élément de
tel que :
, l’on a :
.
b) On note
un vecteur quelconque unitaire élément de
.
i) Observer que
, puis démontrer :
.
ii) En faisant intervenir le vecteur
, en déduire
:
iii)On suppose
; démontrer qu’alors
est colinéaire à . Est-ce
cohérent ?
iv) En déduire :
.
I.C.4)
Démontrer que
.
D
u
K
E
D
k
K
ϕ
O
E
(
)
ϕ
D
k
(
)
=
D
k
{
}
=
K
ϕ
K
k
ϕ
ϕ
k
(
)
k
k
,
{
}
K
+
K
K
r
r
K
+
{
}
=
K
K
+
K
=
Q
0
K
0
E
Q
0
K
0
ϕ
O
E
(
)
ϕ
Q
0
(
)
Q
0
=
{
}
=
K
0
O
E
(
)
θ
R
θ
S
i
o
K
+
K
0
K
K
0
ϕ
K
0
v
Q
0
v
2
=
v
k
2
1
=
u
P
k
u
k
Q
0
+
ϕ
u
k
+
(
)
k
2
1
=
u
k
ϕ
u
(
)
k
ϕ
k
(
)
k
0
=
ϕ
k
(
)
k
0
=
ϕ
u
(
)
k
ϕ
P
k
(
)
P
k
=
K
0
K
=
MATHÉMATIQUES II
Filière MP
Concours Centrale-Supélec 2002
3/4
I.D - Composition et invariance
On pose :
.
I.D.1)
Démontrer
.
I.D.2)
a) Justifier que
est une forme quadratique sur
et donner sa matrice
dans la base
.
b) Reconnaître l’endomorphisme
de matrice
dans la base
.
I.D.3)
Démontrer que tout élément
de
commute avec
c’est-à-dire véri-
fie
.
I.D.4)
Soit
un élément de
qui commute avec . Démontrer que
est
un vecteur propre de .
I.D.5)
En déduire
.
Partie II - Une généralisation
On note
un endomorphisme symétrique de
et l’on pose pour tout vecteur
de
:
. Pour tout
réel, on pose ;
.
On veut déterminer les endomorphismes
tels que toutes les surfaces
soient de révolution d’axe
c’est-à-dire tels que :
.
II.A -
Démontrer que
est équivalente à
.
II.B -
On suppose ici :
. Démontrer qu’alors
est véri-
fiée.
II.C -
On suppose maintenant que
est vérifiée et l’on veut démontrer :
.
II.C.1)
Déterminer les endomorphismes symétriques
de
tels que :
.
II.C.2)
Démontrer que si
et
sont des endomorphismes symétriques de ,
il en est de même de
.
II.C.3)
Démontrer que pour tout réel
l’endomorphisme
est
symétrique.
II.C.4)
Conclure.
II.D -
On suppose que
commute avec toutes les rotations
.
II.D.1)
Démontrer que
est un vecteur propre de
. En déduire :
.
C
ϕ
O
E
(
)
q
ϕ
o
q
=
{
}
=
C
K
=
q
E
M
i
j
k
,
,
(
)
σ
M
i
j
k
,
,
(
)
ϕ
C
σ
ϕ
σ
o
σ
ϕ
o
=
ϕ
O
E
(
)
σ
k
ϕ
C
ϕ
O
E
(
)
σ
ϕ
o
ϕ
σ
o
=
{
}
=
U
E
X
E
f
X
(
)
X
U
X
(
)
=
a
F
a
X
E
f
X
(
)
a
=
{
}
=
U
F
a
D
k
a
IR
θ
IR
R
θ
F
a
(
)
F
a
*
(
)
=
,
,
*
(
)
θ
IR
f
R
θ
f
=
o
,
θ
IR
U
R
θ
o
R
θ
U
o
=
,
*
(
)
*
(
)
θ
IR
U
R
θ
o
R
θ
U
o
=
,
V
E
X
E
X
V
X
(
)
0
=
,
V
V
E
V
V
θ
R
θ
1
U
R
θ
o
o
U
R
θ
k
U
U
P
k
(
)
P
k
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