Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2001 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP Le but du problème est d'établir quelques propriétés des cônes et coni- ques dans le cadre de la théorie des formes quadratiques. Dans tout le problème, le corps de base est . Si est un espace vectoriel réel, on désigne par l'espace vectoriel réel des formes quadratiques définies sur . Si , on désigne par le cône isotrope de , c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs tels que . Les parties sont largement indépendantes et de difficulté croissante. La résolu- tion des questions préliminaires A et B n'est pas indispensable pour la suite du problème. Question préliminaire A. Soit un plan vectoriel réel et ; en vue de décrire on intro- duit une base de et on désigne par la matrice de relativement à . Quelle est la signature de ? Montrer que est réduit à ou est la réunion d'un ensemble fini de droites, dont on précisera le cardinal. On utilisera pour toute cette question une décomposition de Gauss et la discussion portera entre autres sur le signe de . Partie I - Cônes contenant cinq vecteurs donnés On rapporte l'espace vectoriel euclidien muni de son produit scalaire cano- nique < .,.> à sa base orthonormale canonique et on considère deux vecteurs et de composantes respectives et , avec .

  • c? p1?

  • c? π1? q?

  • coordonnées du point courant

  • x? x?

  • ir3

  • plans d'équa- tions respectives

  • scalaire cano- nique

  • q? ?


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre MP MATHƒMATIQUES II
Le but du problËme est dÕÈtablir quelques propriÈtÈs des cÙnes et coni-ques dans le cadre de la thÈorie des formes quadratiques. Dans tout le problËme, le corps de base estIR. SiEest un espace vectoriel rÈel, on dÈsigne parQ(E)lÕespace vectoriel rÈel des formes quadratiques dÈÞnies sur E. SiqQ(E), on dÈsigne parCle cÙne isotrope deq, cÕest-‡-dire lÕensemble q des vecteursxEtels queq(x)=0. Les parties sont largement indÈpendantes et de difÞcultÈ croissante. La rÈsolu-tion des questions prÈliminairesAetBnÕest pas indispensable pour la suite du problËme. Question prÈliminaire A. SoitEun plan vectoriel rÈel etqQ(E)Ð{0}; en vue de dÈcrireCon intro-2 2q duit une baseB=(i,j)deEet on dÈsigne par 2 r s M= s t la matrice deqrelativement ‡B. Quelle est la signature deq? Montrer queCest rÈduit ‡{0}ou est la rÈunion q dÕun ensemble Þni de droites, dont on prÈcisera le cardinal. On utilisera pour toute cette question une dÈcomposition de Gauss et la discussion portera entre 2 autres sur le signe dertÐs.
Partie I - CÙnes contenant cinq vecteurs donnÈs 3 On rapporte lÕespace vectoriel euclidienIRmuni de son produit scalaire cano-nique < .,.> ‡ sa base orthonormale canoniqueB=(i,j,k)et on considËre deux c vecteurse etecomposantes respectives de(a,b,c) et(a′,b′,c′), avec 3 abcabc′ ≠0. On noteQlÕensemble des formes quadratiquesqQ(IR)telles e,e3 queCcontiennei,j,k,eete;Qest un sous-espace vectoriel deQ(IR)(on q e,ene demande pas de le vÈriÞer). 3 I.A -SoitqQ(IR); donner une condition nÈcessaire et sufÞsante portant sur la matrice deqrelativement ‡Bpour queCcontiennei; en dÈduire queC c qq contienti,jetksi, et seulement si, il existeα,β,γrÈels tels que : 3 X=(x,y,z) ∈IR,q(X)=αyz+βzx+γxy. (1)
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FiliËre MP
3 I.B -On dÈsigne parl etl lesformes linÈaires surIR qui‡ un triplet τ=(α, β, γ )associent respectivement :l(τ)=αbc+βca+γabetl(τ)=αbc+βca+γab. I.B.1) Donnerune relation entre le rang de la famille(l,l)et la dimension de Q. e,eI.B.2) Lorsquecette dimension vaut1, montrer que tous les ÈlÈments non nuls deQont le mÍme cÙne isotrope. e,eI.B.3) ¿lÕaide de Vect(e,e), interprÈter la condition (2) suivante : (bcÐbc)(caÐca)(abÐab) ≠0(2) On suppose (2) vÈriÞÈe. DÈterminer une base deQ. DÈterminer le rang des e,eformes quadratiques non nulles deQ. Montrer que les ÈlÈments deQont e,ee,eune signature diffÈrente de(3,0). Quelles sont les valeurs possibles de cette signature ? 3 Dans la suite on sera amenÈ ‡ envisager des propriÈtÈs afÞnes deIRdont les ÈlÈments seront alors considÈrÈs comme des points. En particulier le pointO sera le vecteur(0,0,0).
Dans toute la suite du problËme, on dÈsigne parPetPles plans dÕÈqua-0 1 tions respectivesx+y+z=0etx+y+z=1et, 3 pour tout tripletτ=(α, β, γ ) ∈IR, on dÈsigne parq laforme quadratique τ 3 qui ‡M=(x,y,z) ∈IRassocieαyz+βzx+γxy.
Partie II - Nature
dÕune section conique
Question prÈliminaire B DÈterminer les ÈlÈments communs aux cÙnes isotropes de toutes les formes qua-dratiques du typeq. τ On Þxe maintenant, pour toute la partie II , le tripletτ=(α, β, γ )non nul et on dÈsigne pour simpliÞer parCle cÙne isotrope deq. τ τ
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre MP II.A - …tude deCP τ0 JustiÞer lÕexistence dÕune baseB=(I,J)deP quisoit une famille orthonor-0 0 3 male pour le produit scalaire canonique deIRet telle que la restrictionq τ P 0 ait dansBune matrice de la forme : 0 α′0 0β′ Discuter selonα′etβ′la nature deCP. τ0 II.B - …tude deCP τ1 II.B.1) SoitBen II.A, et commeB=(I,J,K) quila complËte en une base 0 3 orthonormale deIR. Dans cette base, les coordonnÈes du point courantMde 3 IRseront dÈsignÈes parX,YetZ. a) Montrerque, relativement au repËre(O;B),Pa une Èquation de la forme 1 Z=zzprend lÕune ou lÕautre de deux valeurs que lÕon prÈcisera. 0 0 b) Dequelle forme est la matrice deqrelativement ‡B? En conclure que si τ (α′, β′)=(0,0), alorsrg(q) ≤2. En dÈduire que(α′, β′)=(0,0) ⇒ αβγ=0. τ On supposera dÈsormais queαβγ ≠0, de sorte que(α′, β′) ≠ (0,0). c) Montrerque, relativement au repËre(O;B),CPest dÈÞnie par un sys-τ1 tËme du type : 2 2 α′X+β′Y+γ′X+δ′Y+ε′=0 Z=z 0 En dÈduire queCPest une conique dont on prÈcisera le genre en fonction τ1 deα′etβ′. II.B.2) Mettreen relation le genre deCPet la nature deCP. τ1τ0 Partie III - Sections circulaires dÕun cÙne Soienta,b,cdes scalaires non nuls,ΠetΠles plans dÕÈquations respectives 0 1 x y zx y z -+-+-=0et-+-+-=1. a b ca b c Soitτun triplet non nul etqla forme quadratique qui lui est associÈe ;Cen τ τ dÈsigne le cÙne isotrope ;qdÈsigne enÞn lÕapplication carrÈ scalaire canonique 0 3 dansIR. III.A -Montrer que sia,b,c, α, β, γvÈriÞent αbcβacγab -=-=-(3) 2 22 22 2 b+c a+c a+b Concours Centrale-SupÈlec 20013/6
MATHƒMATIQUES IIFiliËre MP * 3 il existeλ ∈IRetlL(IR,IR)tel que 3x y z   M=(x,y,z) ∈IR,q(M)Ðλq(M)=-+-+-l(M) τ0 a b cDans ce cas, montrer queC∩ Πest inclus dans une sphËre. En conclure que τ1 C∩ Πest un cercle. Que reprÈsente-t-il pour les pointsA(a,0,0),B(0,b,0)et τ1 C(0,0,c)?
On admettra que les relations (3) constituent une condition nÈcessaire et sufÞ-sante pour queC∩ Πsoit un cercle. τ1 3 Πx y III.B -Montrer que pour tout pointM(x,y,z) ∈1, il existe′,( ′,z′) ∈IR tel quex+y+z=1et queMsoit le barycentre deA,BetCaffectÈs des masses respectivesx,y etz. Siτtel que estC∩ Πun cercle, donner une soit τ1 expression simple deq(x,y,z)‡ lÕaide deλ,x,y,zet des carrÈs des distan-τ 2 2 2 cesBC,CA,AB.
Partie IV - Couple foyer Ñ directrice dÕune conique Dans cette partie, on note pour simpliÞerCle cÙne dÕÈquationyz+zx+xy=0. 0 Pour la suite,adÈsigne un rÈel donnÈ. IV.A -SoitΩ lepoint de coordonnÈes(a,a,a). Montrer quÕil existe un rÈel a d0que, pour tout telMC\{O}, la distance deΩla droite ‡(OM) soit a0a Ègale ‡d. En dÈduire la nature deC. a0 IV.B -On suppose dÈsormaisa0. SoitP leplan dÕÈquationx+y+z=a ; a comment se dÈduit-il deP? Pourλ ∈IR, on dÈsigne parΦlÕapplication qui ‡ 1λ 3 2 Mde coordonnÈes(x,y,z)dansIRassocie(x+y+zÐa)+λ(yz+zx+xy). Montrer que pour un uniqueλ ∈IR,Φ(M)=0est lÕÈquation dÕune sphËreΣ . 0λa 0 En donner le centre et le rayon et la situer par rapport ‡C. 0 IV.C -IV.C.1) SoitΠun plan non parallËle ‡P; montrer quÕil existe une droiteD a incluse dansΠet un scalaireµtels que : 2 2 M(x,y,z)∈ Π,(x+y+zÐa)=µ(d(M,D)) d(M,D)dÈsigne la distance deMD. Indicationon pourra sÕintÈresser ‡ la relation :x+y+zÐa=0; un croquis pourra Ítre utile.
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre MP IV.C.2) Onsuppose, de plus, queΠest tangent ‡Σen un pointF. Pour tout a M∈ Π, exprimerΦ(M)‡ lÕaide deFM. λ 0 IV.D -Conclure de ce qui prÈcËde queC∩ Πest une conique de foyerFet de 0 directriceD. Faire un croquis dÕensemble sans nÈcessairement chercher ‡ reprÈ-senter le repËre canonique.
Partie V - Centre dÕune conique 3 Dans cette partie, on considËreqQ(IR), dont on dÈsigne parfla forme polaire. 3 V.A -SoientEetEdeux sous-espaces vectoriels supplÈmentaires dansIRet 3 soitsL(IR) lasymÈtrie qui ‡X=X+X, o˘(X,X)E′ ×E, associe s(X)=XÐX. Pour(X,X)E′ ×E, exprimerq(X+X)Ðq(XÐX)‡ lÕaide de f. En dÈduire que : 3 [XIR,q(s(X))=q(X)]⇔ ∀(X′,X″) ∈E′ ×E″,f(X′,X)=0(4) On supposeqnon dÈgÈnÈrÈe ; on ne demande pas de prouver lÕexistence et lÕuni-3 citÈ deuautomorphisme deIRtel que 3 3 (X,Y)IR×IR,f(X,Y)=<u(X),Y>. 33V.B -SiVest un ÈlÈment non nul deIR, on poseH=XIR<V,X>=0.   3 SoitFun sous-espace vectoriel deIR; montrer que : [ (X,Y)F×H,f(X,Y)=0]u(F)Vect(V) V.C -En dÈduire que lÕhyperplanHpossËde un supplÈmentaireFvÈriÞant : (X,Y)F×H,f(X,Y)=0, Ð1 si et seulement si<u(V),V>0. Montrer queFest alors unique et en donner une description. On choisit maintenantV=(1,1,1), de sorte queH=P. Soitτ=(α, β, γ ), avec 0 αβγ ≠0; on choisitq=q, on lui associeucomme ci-dessus et on appelleMla τ matrice deqrelativement ‡ la base canonique. V.D -DÈterminer la comatrice deM. Montrer que : Ð2 21 2 <u(V),V>0⇔ α+β+γ ≠2(αβ+βγ+γα)(5) Ð1 V.E -Si<u(V),V>0, on dÈÞnitFci-dessus, puis commespartir de la ‡ 3 dÈcomposition en somme directeIR=FP. DÈcomposer alors un vecteur 0 3 XIRainsi que son images(X)sur la somme directeFP. En dÈduire que 0
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre MP slaisse stableP. En dÈduire queCPpossËde un centre de symÈtrie dont 1q1 on donnera les coordonnÈes. Ð1 V.F -On suppose au contraire que<u(V),V>=0. V.F.1) Quelleest la nature deCP? On pourra utiliser II.B.2. q1 3 V.F.2) OndÈÞnit une base orthonormaleB=(I,J,K)deIRtelle queJsoit Ð1 colinÈaire ‡u(V)etKdirectement colinÈaire ‡V. …tudier soigneusement la forme de la matrice deqrelativement ‡Bet retrouver la nature deCP. q1 Que reprÈsente la direction deJpour cette conique ?
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