Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2001 1/4 MATHÉMATIQUES II Filière PC Notations On désigne par l'ensemble des matrices à lignes et colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice on note la matrice transposée de , la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de la matrice et le rang de . On fixe un entier et on considère , munis des opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement et . L'espace vectoriel admet pour base canonique . Pour on pose , ce qui donne une matrice à lignes et colonnes dont le coefficient d'indice vaut si et sinon. La base canonique de est constituée des matrices , , . On note la matrice identité, . Si est une matrice élément de et un sous-espace vectoriel de , désigne l'ensemble . Si est un sous-ensemble de , on dit que est stable par si . Pour tout sous-ensemble de on s'intéresse aux propriétés suivantes : P1 : contient (au moins) une matrice de rang , P2 : contient (au moins) une matrice de rang , P3 : contient , P4 : est un sous-espace vectoriel de , P5 : est stable par produit de matrices : , P6 : si est un sous-espace vectoriel de stable par , alors soit soit . Mp q, IC( ) p q A Mp q, IC( )? At A A A rg A( ) A n 2≥ V Mn 1, IC( )= E Mn n

  • ic? m0

  • produit matriciel

  • bv lv

  • propriétés p1

  • matrice de rang

  • m1 m0n0

  • m0n0 ?

  • rg m1


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre PC MATHƒMATIQUES II
Notations M On dÈsigne parp,q(I)lignes etcolonnes dontlÕensemble des matrices ‡ Cp q les coefÞcients sont des nombres complexes. Pour toute matriceMp,q( )on AIC t noteAla matrice transposÈe deA,Ala matrice obtenue en conjuguant tous les coefÞcients de la matriceAetrg(A)le rang deA. 2=Mn,1( )=Mn,n( ) On Þxe un entiern eton considËreVIC,EICdes munis opÈrations usuelles. Les vecteurs nuls sont notÈs respectivement0et0. V E LÕespace vectorielVadmet pour base canonique 1 00         0 10     e=0,e0.  = ,,e=01n 2     M MM         0 01 2t Pour(k,m) ∈[[ 1,n]]on poseE=ee, ce qui donne une matrice ‡nlignes k,mm k etncolonnes dont le coefÞcient dÕindice(i,j)vaut1si(i,j)=(k,m)et0sinon. 2 La base canonique deEest constituÈe desnmatricesE,1kn,1mn. k,m On noteIla matrice identitÈ,I=E. k,k 1kn SiAest une matrice ÈlÈment deEetWun sous-espace vectoriel deV,A(W) dÈsigne lÕensemble{Aw wW}. SiFest un sous-ensemble deE, on dit queWest stable parFsi AF,A(W) ⊂W. L Pour tout sous-ensembledeEon sÕintÈresse aux propriÈtÈs suivantes : 1L P :contient (au moins) une matrice de rang1, 2L P :contient (au moins) une matrice de rangn, 3L P :contientI, 4L P :est un sous-espace vectoriel deE, 5LL L P :est stable par produit de matrices :A,B∈ ⇒A B, 6LV P :siWest un sous-espace vectoriel deVstable par, alors soitW={0} soitW=V.
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Partie I - …tude de quelques exemples L I.A -Dans cette section I.A - ,est lÕensemble desAEqui sont inversibles : Ln =G L(IC). I.A.1) Soitxun vecteur non nul deV. Montrer que pour tout vecteurynon nul deVil existe une matrice inversibleAtelle queAx=y. Indication : on peut considÈrer deux cas, a) lafamille(x,y)est liÈe, b) lafamille(x,y)est libre. 6L En dÈduire que la propriÈtÈ Pest vÈriÞÈe par. 1 5L I.A.2) Indiquercelles des propriÈtÈs P,..., Pqui sont vÈriÞÈes par; jus-tiÞer les rÈponses. Lk,m I.B -Dans cette section I.B - ,est lÕensemble des matricesT=(t) ∈Equi sont triangulaires infÈrieures, cÕest-‡-dire telles que m>kt=0 k,m nL I.B.1) Montrerqueeest vecteur propre de toutT. Que peut-on dire de 6L la propriÈtÈ Ppour? 1 5L I.B.2) Indiquercelles des propriÈtÈs P,..., Pqui sont vÈriÞÈes par; jus-tiÞer les rÈponses. L I.C -- ,Dans cette section I.Cn=2 etest un sous-ensemble deE pour lequel Pet Psont vÈriÞÈes. 3 4 1L I.C.1) Onsuppose que PnÕest pas vÈriÞÈe par(les matrices2×2de rang L L 1donc toutes ‡ appartiennentE\le complÈmentaire dedansE). Soit Letλ ∈. Quelles sont les valeurs possibles du rang deÐλ? Montrer AICA I queLest lÕensemble des homothÈties vectorielles. 6L I.C.2) Onsuppose que Pest vÈriÞÈe par. Montrer quÕalors la propriÈtÈ 1L P estvÈriÞÈe par.
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MATHƒMATIQUES IIFiliËre PC Dans toute la suite du problËme, Pet Psont supposÈes vÈriÞÈes : 4 5 L est donc un sous-espace vectoriel deEstable par produit matriciel. Partie II -les propriÈtÈs3 6sont supposÈes vÈriÞÈes parL(en Dans cette partie,P etP plus de Pet P). On veut montrer quÕalors P aussi est vÈriÞÈe. 4 51 On note   L{0E}  m=minrg(M)M\,   et on se propose de montrer quem=1., ce qui Ètablira P 1 On suppose dans un premier temps quem2. On note alorsMun ÈlÈment de 0 L0i1im0  quivÈriÞerg(M)=mon considËre une base et(z) deM(V). On notex,,xdes ÈlÈments deVtels quei[[ 1,m]],M x=z. 1m0i i   1LII.A -Montrer queNN z=V.   0L20 1 On note alorsN unÈlÈment de quivÈriÞeN z=xon pose et M=M NM. Montrer que(M,M)est une famille libre. 1 00 00 1 II.B -Montrer queM(V)est stable parM Npuis que 0 00 ∃(α,z) ∈IC×M(V), tel quez0etM N z=αz. 0V0 0 En dÈduire que0<rg(MÐαM) <rg(M). 1 00 Conclure quem=1. Partie III -L Dans cette partie on suppose quen>2et que la dimension deest supÈrieure 2 3 6L ou Ègale ‡nÐ1sont vÈriÞÈes, puis queet P. On veut montrer que P=E, cÕest-‡-dire quÕil nÕexiste pas dÕhyperplanEde stablepar produit matriciel. L III.A -SoitWun sous-espace vectoriel deVstable par; on notekla dimen-sion deW. Montrer que{MEM(W) ⊂W}est un sous-espace vectoriel deE 2 Lqui contient etdont la dimension vautnÐk(nÐk). En dÈduire que W={0}ouW=V. On a donc dÈmontrÈ P. V6 III.B -2 k,mLIII.B.1) Onsuppose ici :(*)∃k,m[[ 1,n]],k metE E\. Hk,m On note alors=Vect(E,I)sous-espace vectoriel de leE engendrÈpar EetI. k,m H LL Montrer quedim() ≥1puis quecontient une matrice inversible. Concours Centrale-SupÈlec 20013/4
MATHƒMATIQUES IIFiliËre PC III.B.2) Onsuppose ici que cÕest le contraire de(*)qui est vrai, donc k,mL kmE. Trouver une combinaison linÈaire de cesEqui donne une matrice inversible. k,m L En dÈduire que dans tous les cascontient une matrice inversibleA. III.C -Montrer que pour la matriceAci-dessus, la famille dÈÞnie 2 2n+1A,A, …,Aest une famille liÈe.   En dÈduire quÕil existe un entierp>0et des nombres complexes(λ )tels i 0ip queλ λ0et 0p p λI+λA++λA=0. 0 1p Montrer alors queL. I On a donc dÈmontrÈ P. 3 Compte tenu de la partie II -, la propriÈtÈ Pest donc satisfaite. On note alors 1 0L Mune matrice de rang1qui appartient ‡, matrice que lÕon peut Ècrire t M=v w, o˘v,wV\{0}. 0 00 00V t On introduit le produit scalaire canonique surV,(v,w)avwet pourvVon pose   vLA=Lv L,   tvLB=Lv L,   C=(B). v v III.D -SoituV,u0. Montrer queCest un sous-espace vectoriel deVsta-V u Lu V ble paret queBnÕest pas rÈduit ‡{0}. Montrer alors queC={0}etB=V. u Vu 2 uL Montrer queA=V. En dÈduire que pour tout(x,y) ∈Vil existeL,Mt tels queLv=xetM w=y, puis que toute matriceAEde rang1appar-0 0 L L tient ‡. Montrer que=E.
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