Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2000 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Dans tout le problème, désigne le plan affine euclidien rapporté à son repère orthonormé canonique . On note le complexe de module et d'argument . Si , on note l'image de dans . Si est un sous- corps de , on note l'espace vectoriel sur des matrices de taille à coefficients dans et le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. On note le - espace vectoriel des vecteurs colonnes complexes de taille . Enfin, si est une matrice carrée à coefficients complexes de taille , on note la trace, c'est-à-dire . Le plus souvent, il sera possible, si nécessaire, d'admettre les résultats d'une question pour traiter les suivantes. Partie I - Triplets harmoniques. I.A - I.A.1) Déterminer la dimension de ; on prouvera soigneusement le résultat annoncé. Soit et inversibles et dans , on dit que est harmonique relative- ment à s'il existe une base de telle que et . I.A.2) Soit et deux matrices inversibles de et une matrice inversible de . Montrer que et sont deux matrices inversibles de . Si, de plus, est harmonique relativement à , montrer que est harmo- nique relativement à . On suppose dans les deux questions qui suivent que et sont inversibles et dans , avec ? IR2 O I J,;( ) i 1 π 2-- z IC? M z( ) z ? KIC Mn K( ) K n n

  • harmonique

  • s2 ic

  • z2 z1–

  • s? s2

  • ?? ??µ–?

  • harmonique relative

  • ?? ?

  • espace vectoriel des vecteurs colonnes


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI MATHÉMATIQUES II
2 Dans tout le problème, désignele plan affine euclidienIRà son rapporté repère orthonormé canonique(O;I,J). On notei lecomplexe de module1 et  d’argument-. SizIC, on noteM(z)l’image dezdans. SiKest un sous-2 corps deIC, on noteM(K)l’espace vectoriel surKdes matrices de taille(n,n)à n coefficients dansKetS(K)le sous-espace vectoriel des matrices symétriques. n 2 On noteICleIC- espace vectoriel des vecteurs colonnes complexes de taille(2,1). Enfin, siM=mune matrice carrée à coefficients complexes de est i,j1in 1jn n taille(n,n), on notetr(M)la trace, c’est-à-direm. i,i i= 1 Le plus souvent, il sera possible, si nécessaire, d’admettre les résultats d’une question pour traiter les suivantes.
Partie I - Triplets harmoniques.
I.A -I.A.1) Déterminerla dimension deS( IC); on prouvera soigneusement le 2 résultat annoncé. SoitMetNinversibles et dansS( IC), on dit queMestharmoniquerelative-2 2t t ment àN s’ilexiste une base(X,X ) deIC tellequeXMX=X MX = 0 et t XNX = 0. I.A.2) SoitM etN deuxmatrices inversibles deS( IC) etPmatrice une 2 t t inversible deM( IC). Montrer quePMPetPNPsont deux matrices inversibles 2 deS( IC). 2 t Si, de plus,Mest harmonique relativement àN, montrer quePMPest harmo-t nique relativement àPNP. On suppose dans les deux questions qui suivent queMetNsont inversibles et dansS( IC), avec 2    N=    
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I.B -  0b I.B.1) Onsuppose queMest de la forme . Montrer queb0; on pose 2t b c I={XICXMX= 0}. Montrer queIest la réunion de deux sous-espaces vectoriels duIC-espace vec-2 2 torielIC, puis décrire les bases(X,X )deICtelles queXetX soient dansI. M En déduire queest harmonique relativement àNet seulement si si c= 2b. I.B.2) Onsuppose queMest de la forme   a b  , aveca0. b c 2 On notedracine carrée de unebac. En utilisant les scalairesa,b,c,d 2t déterminer{XICXMX= 0}. En s’inspirant du I.B.1, montrer queM est harmonique relativement àNsi et seulement sic+a= 2b. I.B.3) Enconclure queMest harmonique relativement àNsi et seulement siNest harmonique relativement àM. I.C -Montrer queM estharmonique relativement àN siet seulement si –1 tr(N M)= 0. Vu la symétrie de la propriété, siM estharmonique relativement àN, nous dirons jusqu’à la fin de cette partie queM etN sontconjuguées harmoni-ques. I.D -PourNS(IC)donnée, avecNinversible, on pose 2 –1 HM S2I. =(C) tr(N M)= 0   Montrer queHun sous-espace vectoriel de est2; endéterminer la S( IC) dimension ; déterminerHVect(N); donner un supplémentaire deH dans S( IC). 2   I.E -SoitkINetM,M, !,MdansS( IC), inversibles, telles queMetM 1 2k2i j soient conjuguées harmoniques chaque fois que1ik,1jk,ij. Une telle famille sera diteharmonique.
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI I.E.1) Dansune famille harmonique, montrer qu’aucune matrice n’est com-binaison linéaire des autres. I.E.2) Enconclure quekest inférieur ou égal à3et que tout triplet harmo-nique, c’est-à-dire toute famille harmonique à trois éléments, est une base de S( IC). 2 La fin de cette partie consiste en la détermination de l’ensemble des triplets (A,B,C)harmoniques. I.F -On suppose dans cette question queAest de la forme   "0  , avec" 0etµ0. 0µ  Montrer que, pour que(A,B,C)soit harmonique, il est nécessaire queBetCsoient respectivement de la forme    "  "    et .   µ   µ Inversement,A,B,Cétant de cette forme, déterminer une CNS sur, ,,  pour que le triplet(A,B,C)soit harmonique. SiAest de la forme ci-dessus, en déduire tous les couples(B,C)tels que(A,B,C)soit harmonique. Dans le cas particulier où les matricesA,B,Csont à coefficients réels, déterminer le signe dedetB×detC(on distinguera les casdetA>0etdetA<0). I.G -Soit(A,B,C)triplet harmonique et unPM( IC), avecP inversible. 0 0 02 t t t Montrer que le triplet(PP A,P BP,PC P)harmonique. En déduire une est 0 0 0 description de l’ensemble de tous les triplets harmoniques (on utilisera sans démonstration le résultat suivant : siAS( IC), il existePinversible deM( IC) 2 2 t telle queP APsoit diagonale). Dans le cas oùAS(IR), dire pourquoi on peut 2 t prendrePM(IR)etP AP=Ddiagonale réelle. 2 Dans le cas particulier où les matricesA,B,Csont à coefficients réels, montrer queA,B,Cne peuvent avoir toutes trois un déterminant<0. I.H -Déterminer{MM( IC)'SS( IC),tr(SM)= 0}. 2 2 Soit alors(A,B,C)qu’on peut le; montrertriplet harmonique quelconque un compléter en une base(A,B,C,D)deM( IC), oùDest inversible et vérifie 2 –1 –1 –1 tr(A D)= tr(B D)= tr(C D)= 0.
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI Partie II - Propriétés géométriques II.A -On se limite dans les questions qui suivent au cas particulier du triplet harmonique(A,B,C)suivant :     1 01b b1 A= ,B= ,C= , oùbIC\IR. 0 –1 b1 1b On considère les deux équations suivantes : 2 z+ 2bz+ 1= 0(1) 2 b z+ 2z+b= 0(2) II.A.1) Montrerque ni (1) ni (2) n’ont1ou–1comme solution ; montrer que (1) et (2) n’ont pas de solution commune. 2 On notedune racine carrée deb– 1, et on pose – 1 +id– 1 –id z= –b+d,z = –bd,z=-,z =-1 12 2 b b (ce sont les solutions respectives de (1) et (2)). II.A.2) Montrerque : z– 1z – 1 i i 'i{1,2},-= –-. z+ 1z + 1 i i Exprimer(zz)(z z )+(zz )(z z) à l’aide de 2 1 21 21 21 p=z z ,p=z z ,s=z+z , ets=z+z . 1 11 22 21 11 22 2 zz z z 2 12 1 En conclure que :-= –-. zz z z 2 12 1 zi II.A.3) Ondéfinit(:IC\{i} )ICpar( (z)=-. 1 –zi Déterminer((((z))quand cette expression a un sens. 2 II.A.4) Simplifierl’expressionb(((z))+ 2((z)+bpourzi. En conclure queziest solution de (1) si et seulement si((z)est solution de (2). II.B -On note respectivementP,P ,Q,Q ,R,R les images des complexes1, ,1,1,2,2dans. –1z z z z II.B.1) Montrerqu’un cercle(C)depasse parPetP si et seulement s’ il a une équation de la forme zz2 2 F(x,y)=z zt-– 1=x+yty– 1= 0tIRet où on a posé 2i z=x+iy.
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI 1   Six+iyIC, on poseX+iY=-. Donner une relation simple entreF(x,y) x+iy etF(X,Y). 1 En conclure que pourz0M(z)Csi et seulement siM(-)C. z II.B.2) MontrerqueP,P etQne sont pas alignés. En choisissant pourC le cercle circonscrit au trianglePP Qque montrerP,P ,Q,Q sur un sont même cercleC1, et de même montrer queP,P ,R,R sont sur un même cer-cleC2. z– 1 II.B.3) Ondéfinit*:IC\{–1} )ICpar* (z)=-. z+ 1 Déterminer le polynôme unitaire de degré2, notéq, dont les zéros sont*(z) 1 1 et* (z )celui, noté etq, dont les zéros sont*(z) et*(z )de (chacun 1 22 2 2 ces polynômes est de la formez+w= 0, où le coefficientwest fonction deb i i seul). En déduire que les images de ces quatre complexes sont les sommets d’un carré +de centreO. Montrer que, les quatre pointsM(* (z))etM(* (z )),i {1,2}sont situés sur i i 2 un même cercle dont une équation estz ze= 0 pourun certain réele. En déduire que, sauf dans un cas particulier que l’on mettra en évidence, les quatre pointsQ,Q ,R,R sont situés sur un même cercle. z+z 1 1 II.B.4) Onpose,=-etT=M(,). 1 +z z 1 1 Déterminer un réel"tel queTQ ="TQ. En déduire le point d’intersection des droites(PP )et(QQ ). Montrer que les droites(PP ),(QQ )et(RR )sont con-courantes (on pourra regarder ce que devient,l’on remplace lorsquez par 1 ((z), et remarquer que((z) {z,z }). 1 12 2
Partie III - Cas des matrices (3,3)
On noteS (IR)l’ensemble des matrices inversibles deS(IR). Désormais, on ne 3 3 considérera plus que des éléments deS (IR). On dira queAetBsont conju-3 –1 –1 guées harmoniques sitr(A B)= tr(B A)= 0. On cherche à discuter l’existence, pourAS (IR)d’une matrice donnée, 3 BS (IR)telle queAetBsoient conjuguées harmoniques. 3 III.A -On donne pour les questions III.A.1, III.A.2, III.A.3, seulement,   u0 0   A= , avecu,v,wréels non nuls, et on chercheB, telle queA 0v0   0 0w
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MATHÉMATIQUES IIFilière TSI  au bc  etBsoient conjuguées harmoniques,sous la forme. b dv e  fwc e –1 III.A.1) Écriretr(A B)à l’aide des coefficients deAetB. –1 Écrire, de même,tr(B A)à l’aide des coefficients deAetB. –1 –1 Montrer alors quetr(A B)= tr(B A)= 0si et seulement si : a+d= –f -2 22 (3) 2 b ce -ad=-+-+-+f uv uw vw  Les coefficients réelsu,v,w,b,c,e,fétant donnés, montrer que l’existence d’une solution de (3) équivaut à 2 22 b ce32 -+-+-+-f0. uv uw vw4 III.A.2) Conclurequant à l’existence deBles valeurs propres de lorsqueA sont de même signe. III.A.3) Lorsqueuv<0, montrer qu’on peut choisirBvérifiant les propriétés imposées, avec de plusc=e= 0. On n’oubliera pas de vérifier l’inversibilité deB. III.A.4)Aétant un élément donné deS (IR), conclure quant à l’existence de 3 BS (IR)telle queAetBsoient conjuguées harmoniques. 3 III.B - Exemple: on choisit les matricesAetBsous la forme    1 00 10    A=00 1etB=00 1    2 2 0 0 –  0  >0est un réel donné, les réelset >0étant à déterminer. –1 –1 III.B.1) Déterminertous les couples(,)tels quetr(A B)= tr(B A)= 0. –1 III.B.2) Onchoisit(,)=(3,2)et on poseC=A B. Montrer qu’il existeU inversibleetDdans diagonaleM( IC) tellesque 3 –1 C=UDU. Peut-on choisirUetDréelles ?
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