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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2000 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière MP On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle. Notations : On désigne par l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, par le sous-espace des matrices symétri- ques, par le groupe des matrices orthogonales d'ordre et par le groupe des matrices orthogonales directes (i.e. dont le déterminant vaut ). On désigne par la matrice diagonale d'ordre : La notation signifie que la matrice de a pour coefficient en -ème ligne et -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de sera notée et la trace de définie par . Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème. La partie II traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter soigneuse- ment avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et sert dans V.D - . Partie I - Une norme sur I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées , . I.B - Montrer que l'application : , définie par : Mat n IR,( ) n Sn IR( ) On IR( ) n On + IR( ) 1 diag ?1 … ?n,,( ) n ?1 … 0 M O M 0 … ?n A ai j,( )= A Mat n IR,( ) ai j, i j A

  • matrice diagonale d'ordre

  • diag ?1

  • ak dk

  • groupe des matrices orthogonales d'ordre et par le groupe des matrices orthogonales

  • espace vectoriel des matrices carrées d'ordre


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP MATHÉMATIQUES II
On se propose dans ce problème d’étudier une méthode de calcul approché des valeurs propres d’une matrice symétrique réelle.
Notations: On désigne parMat(n,IR) l’espacevectoriel des matrices carrées d’ordrencoefficients réels, par àS(IR)sous-espace des matrices symétri- le n + ques, parO(IR)le groupe des matrices orthogonales d’ordrenet parO(IR)le n n groupe des matrices orthogonales directes (i.e. dont le déterminant vaut1). On désigne pardiag(, ,)la matrice diagonale d’ordren: 1n  0 1 M O M 0  n
La notationA=(a)signifie que la matriceAdeMat(n,IR)a pour coefficient i,j a eni-ème ligne et-ème colonne. Dans ce cas, la transposée deA sera i,j n t notéeAet la trace deAdéfinie parTr(A)=a. i,i i= 1
Liens entre les parties du problème: La partie I sert dans tout le problème. La partie II traite d’un cas particulier que l’on aura intérêt à traiter soigneuse-ment avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et sert dans V.D - .
Partie I - Une norme surMat(n,IR) I.A -Montrer que pour tout couple de matrices carrées(A,B), (Tr(AB))=Tr(BA). I.B -Montrer que l’application t :Mat(n,IR) ×Mat(n,IR) IR, définie par :(A,B)=Tr(A B)
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est un produit scalaire ; calculer en particulier(A,A). On notenorme la 2 associée à. ExprimerAen fonction des(a). i,j I.C -Montrer que pour toute matriceA=(a)deMat(n,IR), on a : i ,j i,j n2n n   2 a na i,i i,j i= 1i= 1j= 1 En déduire la norme de l’applicationTr:Mat(n,IR) IR(norme subordonnée à la norme). I.D -Soitélément de unO(IR). Montrer que pour toute matriceA, n t A=A. Prouver que siAest une matrice symétrique, la matriceB=A est elle-même symétrique et que l’on a, en notant(b)les coefficients deB: i,j n nn n 2 2 b=a.  i,j i,j i= 1j= 1i= 1j= 1
Partie II - Diagonalisation pourn= 2 + SoientAune matrice deS(IR), etune matrice deO(IR)définies par : 2 2 a a 1,1 1,2cos()sin() A=,=. a a– sin()cos() 1,2 2,2 t On poseB=A=(b). i,j II.A -Calculer les termes de la matriceB. II.B -Montrer que 2 2 2 22 2 b+ 2b=a+ 2a. i,i2,1i,i2,1 i= 1i= 1 II.C -On suppose ici quea0. Montrer qu’il existe un réelappartenant à 1,2   ]–-,0 [] 0,-], et un seul, tel queb= 0(penser à distinguer deux cas). 2,1 4 4
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP Définir la fonctionF qui,à une matrice symétrique non diagonale deS(IR), 2 associe le réelainsi défini. II.D -Montrer que pour ce choix de, la matriceBest diagonale et quebet 1,1 bsont les valeurs propres deA. 2,2 II.E -On donne 1 1 12 A=-. 5 12 –6 Calculer=F(A)puis la matriceB. En déduire les éléments propres deA.
Partie III - Quelques résultats généraux On définit, pour réel,p etq entiersdonnés (avecp<q), une matrice =( )deMat(IR,n)en posant : i,j 1 00 00 0 10 00 M M OMMM 0 0cos( )sin()0 =M MO MM 0 0– sin)(cos()0 M MMM O0 0001 == cos(),= sin()etsin= –(). p,p q,q p,q q,p t On considèreA=(a)une matrice deS(IR)etB=A. i,j n III.A -Justifier queB=(b)est symétrique et que i,j n nn n 2 2 b=a.  i,j i,j i= 1j= 1i= 1j= 1 III.B - Calcul des coefficients deB III.B.1) SoitM=(m)=A. Exprimer, en fonction deet des coefficients de i,j A, les coefficientsm,metmlorsque estun élément de[1,n]distinct i,j i,p i,q depet deq,iest quelconque dans[1,n]. III.B.2) Exprimer,en fonction des coefficients deAet deles coefficientsb, i,j puisb,bpourideux différents de, touspet deq, ainsi queb,b i,p i,q p,q p,p etb. q,q
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP III.B.3) Donnerune relation simple entre les matrices. b ba a p,p p,q p,p p,q et . b ba a q,p q,q q,p q,q En déduire que 2 22 22 2 b+b+ 2b=a+a+ 2a. p,p q,q p,q p,p q,q p,q III.B.4) Onsuppose queanon nul, montrer qu’il existe un réel est p,q p,q   appartenant à]–-,0 [] 0,-]et un seul, tel queb= 0. p,q 4 4
Partie IV - Suites dans espace vectoriel normé de dimension finie SoitEun espace vectoriel normé, de dimension finie, dont la norme est notée . IV.A -On se propose de montrer le résultat suivant: une suite(x) de n nIN l’espace normé(E,)telle que : (x)est bornée,(1) n nIN (x)(2)admet un nombre fini de valeurs d’adhérences, n nIN limxx= 0, (3) n+ 1n n  est convergente. On considère donc(x)qui vérifie les propriétés (1), (2) et (3) etMun entier n nIN strictement supérieur à1; on noteapour1 µ M, les valeurs d’adhérence µ de(x). n nIN IV.A.1) Montrer,en raisonnant par l’absurde, que : M    >0,!nIN,kIN,k"n#xB(a, ),  kµ µ= 1 B(a, )est la boule ouverte de centreaet de rayon. µ µ IV.A.2) Endéduire, par un choix judicieux de, qu’il existeµ [1,M]un et entierntels que :k"n#xB(a, ), et conclure. 0 0kµ
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MATHÉMATIQUES IIFilière MP Partie V - Méthode de Jacobi : une suite de matrices convergeant vers une diagonalisée deA SoitAun élément deS(IR). On note($, $,)ses valeurs propres, éventuel-n1n lement répétées avec leur multiplicité. (k) On définit par récurrence une suite de matricesA=(a)en posantA=A, k i,j0 t etA=Aest construite de la façon suivante : k+ 1kk k k siAest diagonale,est la matrice unité, k k sinon la matriceest définie comme dans la partie III, en choisissant : k (k) (k) (1) deux entierspetqtels quep<qeta= supa p,q i,j ij (k) (k) aa  q,q p,p (2)=, dans]–-,0 [] 0,-]tel quecotan(2 )=-. k k (k) 4 4 2a p,q On observera quepetqdépendent deket on pourra noter, si le besoin s’en fait sentir,p=petq=q. k k V.A -Donner une conséquence du choix depour la matriceA. k k+ 1 k2 V.B -On poseA=D+BavecD=diag(a)et=B, la norme étant k kk ki,ki k définie comme dans la partie I. 2 (k) V.B.1) Montrerque n(n– 1)a. k p,q 2 (k) V.B.2) Montrer,en utilisant la question III.B.3, que=– 2a. k+ 1k p,q V.B.3) Endéduire que 2    1 –-, puis quelim= 0. k+ 1k k ( ) n n– 1k  Que peut-on dire de la suite(B)dans l’espace normé(Mat(IR,n),)? k kIN V.C -On veut montrer que la suite des matrices diagonales(D)admet un k kIN nombre fini de valeurs d’adhérence dansE=(Mat(IR,n),), qui sont toutes des matrices de la formediag($, $,)où la suite finie($, $,)est obtenue par % %% % 1n1n permutation des valeurs propres deA. Pour cela considérons une suite extraite que nous noterons(D)convergeant vers une matrice&dans l’espaceE k llIN ((k)désigne une suite d’entiers naturels strictement croissante). l lIN V.C.1) Montrerque la limite&est une matrice diagonale. V.C.2) MontrerqueAet&ont le même polynôme caractéristique. V.C.3) Conclure.
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V.D - Convergence de la méthode V.D.1) Montrerque la suite(D)est bornée et quelim(DD)= 0. k k+ 1k k  V.D.2) Montrerque les suites(D)et(A)convergent dans(Mat(IR,n),)et k k dire en quoi l’algorithme ainsi défini permet d’obtenir une valeur approchée des valeurs propres deA.
Partie VI - Étude d’un exemple pourn= 3 On donne ici 15 43 A=, et on définit la suiteAcomme dans V - . 4 612k 3 12–1 VI.A -Déterminerpuis. Donner les valeurs rationnelles des coefficients 0 0 (1) (a). i,j (2) VI.B -Calculer de la même façon,et les coefficients(a)deA. 1 1i,j2 VI.C -Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres deA. Observation ?
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