Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2000 1/5 MATHÉMATIQUES II Filière PC Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment. Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre Dans toute la partie I - , désigne un intervalle de et une fonction à valeurs réelles, définie sur . On note l'ensemble des réels tels que la fonction définie sur par soit majorée ; si , on définit la fonction sur par : . La fonction est appelée la transformée de Legendre de ; on note . I.A - Exemples Calculer la transformée de Legendre (en précisant l'ensemble ) et tracer le graphe de , dans les cas suivants : I.A.1) ; . I.A.2) ; . I.A.3) ; . I.B - Etude générale Soit une fonction réelle définie sur un intervalle . On suppose que est non vide. I.B.1) Montrer que est un intervalle : on montrera que, si et sont dans , alors pour tout , appartient à . I.B.2) Montrer que est convexe sur , c'est-à-dire : , , . I.B.3) Que peut-on dire de la monotonie de dans les cas suivants : a) b) .

  • matrice carrée réelle d'ordre

  • vecteur colonne associé

  • vecteur colonne

  • caractérisation des points

  • interprétation de la caractérisation trouvée


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC MATHÉMATIQUES II
Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment.
Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre
Dans toute la partie I - ,Idésigne un intervalle deIRetfune fonction à valeurs réelles, définie surI. On noteJ(f)l’ensemble des réelsptels que la fonction définie surIparxa(pxf(x))soit majorée ; siJ(f)  , on définit la fonction gsurJ(f)par : pJ(f),g(p)= sup(pxf(x)). xI La fonctiongest appelée la transformée de Legendre def; on noteg=L(f). I.A - Exemples Calculer la transformée de Legendreg=L(f)(en précisant l’ensembleJ(f)) et tracer le graphe deg, dans les cas suivants : 2 * I.A.1)f(x)=k x(kIR);I=IR. + x I.A.2)f(x)=e;I=IR. I.A.3)f(x)= arctan(x);I=IR. I.B - Etude générale Soitfune fonction réelle définie sur un intervalleI. On suppose queJ(f)est non vide. I.B.1) MontrerqueJ(f)est un intervalle : on montrera que, siaetbsont dansJ(f), alors pour toutt [0,1],ta+(1 –t)bappartient àJ(f). I.B.2) Montrerqueg=L(f)est convexe surJ(f), c’est-à-dire :  (a,b) J(f) ×J(f),t [0,1],g(ta+(1 –t)b) tg(a)+(1 –t)g(b). I.B.3) Quepeut-on dire de la monotonie deg=L(f)dans les cas suivants : + a)IIR -b)IIR. I.C - Étude d’un cas particulier 2 Soitfune fonction de classeCsur l’intervalleI, telle que :xI,f(x) >0.
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On sait quef(I)est un intervalle ; on noteetses extrémités et l’on suppose  < (on peut avoir= -ou= +). I.C.1) MontrerqueJ(f)contient l’intervalle ouvert], [et donner l’expres-[-1] sion degsur], [en fonction defetf(fonction réciproque de la fonction f). Pourp], [, on notex(p)point de l’uniqueIque : tel g(p)=p x(p)f(x(p)). I.C.2) Pourp], [, calculerg(p)au moyen dex(p). I.C.3) Montrerque,p], [, la droiteD d’équationy=pxg(p) est p tangente au graphe de la fonctionf. 2 I.C.4) SoitH={hC(IR,IR) (xIRh(x) >0)eth(IR)=IR}. Montrer que: a)L(H) H. b)hH,L(L(h))=h. c)Lest une bijection deHsurH.
Partie II - Généralisation aux fonctions de plusieurs variables *n SoitnIN.Edésigne l’espace vectoriel euclidienIRmuni du produit scalaire canonique n x,y=xy; i i!  x 1 i= 1    x 2 six=(x,, x) E, on noteXle vecteur colonne associéX= . 1n   M   x n t Ainsi, siYest le vecteur colonne associé àyE,x,y=X Y. E Soitfdansune application deIR, telle que, pour toutp E, l’application   deEdansIRdéfinie parxap,xf(x), soit majorée ; on définit alors la transformée de Legendre def, notéeL(f), comme étant l’application deE dansIRdéfinie parL(f):pasup( p,xf(x)). xE Concours Centrale-Supélec 20002/5
MATHÉMATIQUES IIFilière PC t Dans la suite de cette partie II,fdéfinie par estf(x)=XAX, oùAune est matrice carrée réelle d’ordren, symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. II.1) SoitpEfixé. On poseF(x)=p,xf(x). Démontrer qu’il existe une baseB=(e)deEtelle que : i1 i n n n 2 six=y e, on aF(x)=F(y,, y)=(q y"y)i i1 1ni ii i i= 1i= 1 où lesqet les"sont des réels à déterminer. i i Montrer que la fonctionFest majorée surEet atteint sa borne supérieure. On en déduit en particulier que la transformée de Legendre defest bien définie. II.2) Calculerg=L(f), la transformée de Legendre defet montrer qu’il existe une matrice carrée réelle symétriqueB, d’ordren, qu’on exprimera en fonction deAtelle que t pE,g(p)=PBP, Pest le vecteur colonne associé àp. Calculer la fonctionh=L(L(f)). II.3) * 2 a) MontrerquepE,tIR,f(tp)=t f(p), + b) Montrerque : n #f pE,p-(p)= 2f(p). i #p i 1 = 1 Indication: on pourra calculer la dérivée de la fonctiontaf(tp). II.4) Enutilisant la question II.3-b), déterminer pour toutpE, un vecteur x(p) Etel queg(p)=f(x(p)). Indication: on pourra utiliser$ Etel que(gradF)($)= 0.
Partie III - Problème d’optimisation n E désignel’espace vectoriel euclidienIR(nIN*)du produit scalaire muni canonique, noté,et de la norme associée, notée. SixE, on noteXle vec-t teur colonne associé et par extensionX=x=XX. Soitpun vecteur donné deE,Aune matrice carrée réelle d’ordren, symétri-que et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles.
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MATHÉMATIQUES IIFilière PC On noteFl’application deEdansIRdéfinie par : t tt F(x)=p,xX AX=P XX AX. Une partieCdeEest dite convexe si : 2  (x,y) C,t [0,1],tx+(1 –t)yC. SoitCune partie fermée, non vide, convexe, deE. LorsqueFest majorée surC, on s’intéresse àM, ensemble — éventuellement vide — des points deC oùl’applicationF restreinteàCsa borne atteint supérieure : M= {xCF(x)= supF(y)}. yC III.A - Convexité deM III.A.1) Soitxetxdeux points deCet pourt [0,1],x=t x+(1 –t)x. 1 21 2 t Montrer que :F(x)=(1 –t)F(x)+tF(x)+t(1 –t)(XX)A(XX). 2 11 21 2 III.A.2) OnsupposeMnon vide. Montrer queMest convexe. III.B - Cas particulier. Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs pro-pres deAsont strictement positives. III.B.1) Démontrerqu’il existe un nombrek>0tel que : t t xEXA X%Xk X. III.B.2) MontrerqueMest non vide. III.B.3) MontrerqueMne contient qu’un élément. III.C - Une caractérisation des points deM III.C.1) Avecles mêmes notations qu’au III.A.1, montrer que : 2t t F(x)F(x)= –t.(XX)A(XX)+t.(P– 2A X)(XX). 2 12 12 21 2 III.C.2) Montrerl’équivalence : t!   ()( ) xM& x C ety C,P– 2AX YX0 .  Donner l’interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de Fau pointx. III.D - Cas oùCest borné Dans cette question III.D, on suppose de plus que l’ensembleCest borné, con-tenu dans la boule fermée de centreOet rayonR. Concours Centrale-Supélec 20004/5
MATHÉMATIQUES IIFilière PC III.D.1) DémontrerqueMest non vide. Trouver un exemple avecFnon identiquement nulle oùMa une infinité d’élé-ments. III.D.2) Démontrerqu’il existe un réeltel que :xE,AX X. III.D.3) Soitrun nombre réel strictement positif tel que : 2 r>sup{6R,2R(p+ 2R)} (oùest défini au III.D.2). On se propose de construire par récurrence des suites(u),(v)de points deC m m et une suite réelle(t)telles que siU(resp.V) est le vecteur colonne associé m mm àu(resp.v), on a pour toutmIN: m m t t i)xC,(2AUP)V (2AUP)X; m mm 1t ii)t=-(P– 2AU)(VU); m mm m r iii)u=u+t(vu). m+ 1m mm m On suppose donnémINetuC. m a) Montrerl’existence devCvérifiant la relation i). m b) Montrerquetdéfini par la relation ii) est dans l’intervalle[0,1]. m c) Montrerqueudéfini par la relation iii) est dansC. m+ 1
Déduire des questions a), b) et c) que pour toutuC, les relations i), ii) et iii) 0 permettent de définir les suites(u),(v)et(t). m mm III.D.4) Montrerque, si(u)est la suite définie à la question III.D.3), la suite m (F(u))est croissante et convergente. m Montrer qu’il existe une suite extraite de la suite(u)qui converge vers un élé-m ment deM.
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