CONCOURS COMMUN DES ECOLES DES MINES D'ALBI ALES DOUAI NANTES

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CONCOURS COMMUN 2008 DES ECOLES DES MINES D'ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve Specifique de Mathematiques (filiere MPSI) Mardi 20 mai 2008 de 8h00 a 12h00 Instructions generales : Les candidats doivent verifier que le sujet comprend 4 pages numerotees 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invites a porter une attention particuliere a la redaction : les copies illisibles ou mal presentees seront penalisees. Les candidats colleront sur leur premiere feuille de composition l'etiquette a code a barres correspondant a l'epreuve specifique de Mathematiques. L'emploi d'une calculatrice est interdit Remarque importante : Si au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Les deux problemes sont independants. Bareme indicatif : 10 points pour chaque probleme. Premier probleme Dans le plan euclidien R2, au point M de coordonnees (x, y) on associe l'affixe m = x + iy. Le conjugue de z est note z, son module |z| = √ zz, et sa partie reelle Re(z) = z + z2 . On note j = ei 2pi3 = ?12 + i √ 3 2 le complexe solution de X 2 + X + 1 = 0, et on rappelle que j = j2.

  • deduire sur la monotonie de ?x ?

  • unique point d'affixe z verifiant

  • plan euclidien

  • determination des points fixes

  • affixes respectives des points ak

  • specifique de mathematiques

  • ?x

  • affixe


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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CONCOURS COMMUN 2008 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES
Instructionsg´en´erales:
´ EpreuveSp´eciquedeMathe´matiques (li`ereMPSI)
Mardi20mai2008de8h00`a12h00
Lescandidatsdoiventv´erierquelesujetcomprend4pagesnum´erote´es1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`ere`alar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pre´sent´eesserontp´enalis´ees. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionl´etiquette`acode`abarrescorrespondant a`l´epreuvesp´eciquedeMathe´matiques.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
Remarque importante :
Siaucoursdele´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurde´nonc´e,illesignalera sursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´et´e amene´a`prendre.
Lesdeuxprobl`emessontind´ependants. Bare`meindicatif:10pointspourchaqueprobl`eme.
Premierprobl`eme 2 Dans le plan euclidienR, au pointMroodnne´se(decox, y) on associe l’affixem=x+iy. z+z Leconjugu´edez´tetsonez, son module|z|=zz,ete(ee´rRellapaseitrz) =. 2 1 3 2π i2 2 3 On notej= e= +ile complexe solution deX+Xet on rappelle que+ 1 = 0,j=j. 2 2 Etudeduneine´galite´
+ 1.SoitaC. Montrer que|a|= Re(a)aR. ¡ ¢ 2 2 2.Soitz, wC(´elertron,m:etnaviuse´tilag|z|+|w|)− |z+w|= 2|zw| −Re(zw) . 3.et:Ee´dnriudileegn´italsu´eaniv|z+w|6|z|+|w|ntreetmoilyarqu´tilage´este,isetsenemuli,z etwe.insoe´utrussniopisstdeesuxdelentxsaedlrogitiiesseudemidrounemˆeme
La notion de(p:q)point
SoientAetBdeux points du plan d’affixes respectivesaetb. Soientpetq.dxreuel´etrsscietemtnopisitsf za p 4.PourA6=B, montrer qu’il existe un unique point d’affixez,onl=ellelae(pprei´vnatp:q) bz q pointdeA`aBernteiunuiqnsai´moe´gnoitate´rpetrique.aexsrnonoenD. 5.Soitα]0,+[, montrer que le (p:q)pointdeAa`Bet le (αp:αq)pointdeAa`B.dentnıicc¨o 6.1(elresi)1:Ct´eraracpointdeAa`B.
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7.A, B, Co,nnedxuxua`stedaoterrttnengise´dnctiissdntoispoicl’affixe deC. SoientXle (p:q) pointdeA`aBetYle (p:q)pointdeA`aC. Montrer que la droite (XYioetela`alrdparall`e)est (BC). La notion de(p:q)soustriangle ′ ′ ′ On appelle (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC), le triangle Δ(A B Cu`o) ′ ′ Aest le (p:q)pointdeA`aBd’affixea, ′ ′ Best le (p:q)pointdeB`aCd’affixeb, ′ ′ Cest le (p:q)pointdeCa`Ad’affixec. 8.raegt´vienucedtrelgn(Δud)eairtrybasoi(orentcelrennoDledexaABC). 9.Montrer que le (p:q)soustriangledu triangle Δ(ABC(queΔntreryceabosiemeˆmela)ABC). Etude de suites Onvaconside´rerunesuitedetrianglesΔ(AkBkCketnavius.)ocsnrtuitsdelamani`ere Le triangle Δ(A0B0C0tes)elps´x(edsueiotneuxdx`adnctsistitoutpour).EtkN, Δ(Ak+1Bk+1Ck+1) est le (p:q)soustriangledu triangle Δ(AkBkCk). On note, pourkN, parak,bketckles affixes respectives des pointsAk,BketCk.     q p0akak+1 1     10.0vinaet:riatnmiosuleelcineire´vtaleraltrquentrexeslesaoMbq pk=bk+1. p+q p0q ckck+1 2 2 11.On pose, pour toutkN,αk=ak+bk+ck,βk=ak+jbk+j ck,γk=ak+j bk+jckire´Vre. 2 q+qj p+jp que les suites (αk)k, (βk)ket (γk)kquesderaeom´etritesino,1rvitcepseeotst,e´ngetmn p+q p+q quellessonttoutesconvergentesenpr´ecisantleurlimite.(Onpourrautiliserlaquestion3..)    1 11 10 0 2    On poseV= 1j jetQ= 0on va prouver que0 1 ,Vitserevnlbisete,´eprsecionrs 2 1j j0 1 0 inverse. 12.SoitBM3(C), on poseC=BQnemmoC.ude´desttrmalaiteicCde la matriceB? 2 13.Montntnade´dtereimerqreuelVvaut 3j(j1). Montrer queVest inversible. CalculerV, en 1 1de´duirequeVest de la formeV Q, avecmNrpa`ice´.res m    αkak    14.En remarquant queβk=V bk,end´eduireqiusseleu(setak)k, (bk)ket (ck)ksont toutes les γkck troisconvergentes,etpr´eciserleurlimite. Etudeduneapplicationlin´eaire ϕ:M3(C)−→M3(C) Ond´enitlapplicationsuivante: 1 M7VV M 2 15.Montrer queϕllpncniietnapoaiesreuuqte´iarieiv´e(M, N)M3(C) ,ϕ(M N) =ϕ(M)ϕ(N). 1 16.e`erlpalpcitaoinidnscoOnψdeM3(Crap)d´enieψ(M) =V MV. Calculerψϕ. Montrer que ϕest une application bijective.      q p1 10 1 1q+jp      17.On poseA(p,q)= 0q p. CalculerA(p,q)montrer que1 ,A(p,q)j=j, p+q2p+q2 p0q1j j   1 2   et donner une expression similaire pourA(p,q)j. j
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18.dcnlel´uuqd,eriu,eassnEacϕ(A(p,q)) =Do`uDnptoecr´alononedecirgaidnutstameelasesire coefficients diagonaux. 19.On rappelle que l’ensemble des matrices diagonales deM3(Certamuf,tid´enuied)seutannnaecumo © ª que deux matrices quelconques de l’ensembleA(p,q)/(p, q)]0,+[ commutent. 1 20.Montrer queA(1,n). . . A(1,2)A(1,1)=V DnV`ouDnest une matrice diagonale ayant pour coeffi à !à ! n nn n Y YY Y 2 2 k+j k+j k+j k+j cients diagonaux (1, ,). Montrer que les suiteset sont k+ 1k+ 1k+ 1k+ 1 k=1k=1k=1k=1 n n 2 j j convergentes vers 0. (On pourra admettre que1 +61 et1 +61.) ¯ ¯¯ ¯ k k Deuxi`emeproble`me Etude d’une fonction 1 21.Etudier sur ]0,+[ la fonctionf:x7→xition,leeded´enelodamnie´icesarprOn.xuamilsseti x bornes,lesextremaetasymptotes´eventuels. 22.oMqreutnertnocrapre´tiuniutpeonlgeonolprftnesarneoceron´ten0.Ceprolongemeef.Pecr´eris la valeur defen 0. 23.La fonctionflletse?n0eeblvari´eed 1/e 24.Montrer quefest une bijection de ]0,e] sur ]0,e ]. 1/e 25.epioruqdeontiecr´Lancfofuresblva]0setleue,d´erilecontin,?e ] Etude d’une suite t Soitx.OifosnpeΦunrx´e´eeltcmetsirsotineptx(t) =xuite(te,´dnoinesalttn)n`ireedelaman suivante t0= 1, tn+1= Φx(tn) pournN. Lorsque la suite (tn)nest convergente on noteh(x) sa limite dansR. 26.Six= 1, que peuton dire sur la convergence de la suite (tn)n? 27.Justifier que sih(xideralusets`aisex(cteite()tn)nest convergente) alorsh(x) = Φx(h(x)), en de´duiredanscecasquef(h(x)) =x. On va traiter le casx >1 : t 28.Montrer que pourx]1,+[, la fonction Φx:t7→xest strictement croissante surR. 29.Soitx >:ecnerrurentmo1,ecr´arrpnN,tn< tn+1. 1/e 30.On suppose quex]1,e],mceen:e´rrrrucrtnoaprenN,tn6.Eeslacecaadsnqeeuudridne´ suite (tn)nest convergente. 1/e 31.On supposex >et on veut montrer que la suite (e ,tn)na pour limite +. On pourra supposer que la suite est convergente versh(x) et en utilisant les questions27.et21.tnocenua`rituoban.ioctdira Conclure. Onvae´tudierlecasx]0,1[ : t 32.Montrer que pourx]0,1[, la fonction Φx:t7→xts´dceoreurissantesRonen.Qeuuetpuired´ed sur la monotonie de ΦxΦxsurR? 33.Pour 0< x <m,1aprertnorr´ecurrenceque:nN,t2n+1< t2n. 34.On suppose que 0< x <.1tnoMprer´rraite(xtraiteealusqeeuercncerut2n)nispue,tnassiorce´dtse que la suite extraite (t2n+1)nest croissante. 35.tgeeoeureesssnltsusxldeetntvocnoiqlerruielteimuqdtneE,euldeeu´trequunnepeutˆeopnit fixe de ΦxΦxdans [0,`ste,c1]oitulosenueridaΦnde(xΦx) (t) =tdans [0,1].
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