CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

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SESSION 2008 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2 Les calculatrices sont autorisées. ? ? ? ? N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ? ? ? ? Le sujet comporte 5 pages. Notations : On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres entiers naturels et par N? l'ensemble N privé de 0. Pour n entier naturel non nul, on note Mn(R) l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans R. Pour A dans Mn(R), on note det(A) le déterminant de la matrice A. Étant donné un espace vectoriel E, on note IdE l'endomorphisme identité de E. On note Im l'image d'un endomorphisme de E et Ker son noyau. Pour k ? N, on note k l'endomorphisme de E défini par k = id si k = 0 et k = ? k?1 sinon. Étant donné un sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel de dimension finie, on note dim F la dimension de F.

  • réel des matrices carrées

  • e?1

  • décomposition des auto- morphismes orthogonaux

  • base de e1

  • matrice matb

  • nature géométrique de l'endomorphisme de f1

  • propriété d'algèbre linéaire


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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SESSION 2008 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI)
FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 2
Les calculatrices sont autorisÉes. ∗ ∗ ∗N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance À la clartÉ, À la prÉcision et À la concision de la rÉdaction. Si un candidat est amenÉ À repÉrer ce qui peut lui sembler tre une erreur d’ÉnoncÉ, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ÉtÉ amenÉ À prendre. ∗ ∗ ∗Le sujet comporte 5 pages. Notations :
On dsigne parRl’ensemble des nombres rels, parNl’ensemble des nombres entiers naturels et parNl’ensembleN priv de0. Pournentier naturel non nul, on noteMn(R)l’espace vectoriel rel des matrices carres Ànlignes et À coefficients dans R. PourAdansMn(R), on note det(A)le dterminant de la matriceA. Ètant donn un espace vectorielE, on noteIdEl’endomorphisme identit deE. On note Im`l’image d’un endomorphisme`deEet Ker`son noyau. k kk k1 PourkN, on note`l’endomorphisme deEdfini par`=idsik=0et`=``sinon. Ètant donn un sous-espace vectorielFd’un espace vectoriel de dimension finie, on note dimFla dimension deF. On dsigne par Vect(u, v)(respectivement Vect(u, F)) le sous-espace vectoriel engendr par les vecteursuetv(respectivement engendr par le vecteuruet les vecteurs deF). LorsqueEsera un espace vectoriel norm, on noterakukla norme d’un vecteuru. LorsqueEsera un espace euclidien, on notera(u|v)le produit scalaire des vecteursuetv; on noteO(E)le groupe orthogonal deE(c’est-À-dire l’ensemble des automorphismes orthogonaux deE),Fdsigne l’orthogonal du sous-espace Fet`dsigne l’adjoint de l’endomorphisme`.
Objectifs :
Ètant donn un endomorphisme`d’un espace vectorielE, pour toutxdeEet toutndeN, on dfinit n1 X 1 k Ln(x) =`(x). n k=0 En prenant diffrentes hypothses pourEet pour`, on tudie la limite de la suite(Ln(x))nNdeElorsquentend vers +. Dans la premire partie, on tudie cette limite dans trois exemples. Dans la deuxime partie, on obtient la limite de la suite(Ln(x))nNlorsquentend vers+; cette limite est obtenue À l’aide d’une propritdans un cadre plus gnral d’algbre linaire que l’on fait tablir dans trois contextes gnraux diffrents. Dans la troisime partie, cette proprit algbrique permet d’obtenir un rsultat concernant une dcomposition des auto-morphismes orthogonaux d’un espace euclidien.
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PARTIE I : EXEMPLES
La partieIpermet d’illustrer les rsultats tablis dans la partieII. Elle doit tre traite sans utiliser les rsultats de la partie II. Les exemplesI.A,I.B,I.Csont indpendants les uns des autres. Dans cette partie,Eest un espace vectoriel de dimension 4, rapport À une base orthonormaleB= (e1, e2, e3, e4).
  1 22 0 3 33 1 22 0− − 3 33 I.ASoitsl’endomorphisme deEdfini par sa matrice MatB(s) =S=. 2 21 0 3 33     2 21 0 3 33 I.A.1 RÉduction de l’endomorphismes 2 I.A.1.1Justifier l’affirmation : l’endomorphismesest diagonalisable. Calculer la matriceS. I.A.1.2En dduire quesest un automorphisme orthogonal deEet que1et1sont ses valeurs propres. On noteE1etE1les sous-espaces propres desrespectivement associs aux valeurs propres1et1. Il rsulte des questions prcdentes queE1etE1sont des sous-espaces supplmentaires deE. I.A.1.3Calculer la trace des. En dduire la dimension deE1etE1.
I.A.2On considre les trois vecteurs deE:u=e1+e3+e4,u2=e1+E2+2e4etu3= −e1+e2+e3. I.A.2.1Dterminer les vecteurss(u1)ets(u2). En dduire que(u1, u2)est une base deE1. Dterminer une base orthonormale deE1. I.A.2.2Dterminer un vecteur non nulu=ae1+be2+ce3+de4orthogonal aux trois vecteursu1,u2etu3. En dduire que(u3, u4)forme une base orthogonale deE1.
n1 X 1 k I.A.3Pour toutxdeEet toutndeN, on poseSn(x) =s(x). n k=0 I.A.3.1PourxEfix, on notex=y+zavecyE1etzE1. k SoitkN, dterminer un relαktel ques(x) =y+αkz. En dduire, pournN, un relβntel queSn(x) =y+βnz. I.A.3.2Dduire de ce qui prcde que la suite(Sn(x))nNdeEa une limite lorsquentend vers+. Exprimer cette limite en fonction dexet des(x).   3 1 0 0 4 4 3 1 0 0 4 4 I.BSoit`l’endomorphisme deEdfini par sa matrice MatB(`) =. 1 3 0 0   4 41 3 0 0 4 4 I.B.1 Une propriÉtÉ concernant les normes. 2 2 I.B.1.1Pour tout vecteuru=ae1+be2+ce3+de4deE, calculerkukk`(u)k. Prouver l’ingalitk`(u)k ≤ kuk. I.B.1.2En dduire une condition ncessaire et suffisante pour qu’un vecteuruvrifie l’galitk`(u)k=kuk. Montrer que1est valeur propre de`et que le sous-espace propre associ est de dimension2.
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I.B.2 RÉduction de l’endomorphisme`. I.B.2.1Dterminer le polynÔme caractristique de`. I.B.2.2Montrer que`possde une autre valeur propreλ6=1que l’on dterminera. Justifier que les sous-espaces propresG1etGλde`associs aux valeurs propres1etλsont supplmentaires dansE. n1 X 1 k I.B.3Pour toutxdeEet toutndeN, on noteLn(x) =`(x). n k=0 SoitxE. On notex=y+zavecyG1etzGλ. k I.B.3.1PourkN, exprimer`(x)en fonction dey,zetk. I.B.3.2Pour toutndeN, exprimerLn(x)en fonction dey,zetn. En dduire que la suite(Ln(x))deEa une limite lorsquentend vers+et dterminer cette limite. nN   1 11 0√ √ 3 33 1 11 0√ √ 3 33 I.CSoittl’endomorphisme deEdfini par sa matrice MatB(t) =T=. 1 11 √ √0 3 33     1 11 03 33 I.C.1Montrer queTest une matrice orthogonale. 1 1 I.C.2On considre les deux vecteurs suivants deE:ε1=(e3+e4)etε2=(e3e4). 2 2 I.C.2.1On noteF=Vect(e1, ε1). Dterminer les vecteurst(e1)ett(ε1). En dduire queF1est un sous-espace vectoriel deEde dimension2, stable part. I.C.2.2SoitF=Forth sous-espaceF. Mo 2 1dul’ ogonal1ntrer queF2est stable part. Montrer que(e2, ε2)est une base deF2. 0 La famille de vecteursB= (e1, ε1, e2, ε2)est donc une base deE.
0 I.C.3On noteT=MatB(t). 0 0 0 I.C.3.1Justifier que la matriceTest orthogonale. ExpliciterT.  ! r 2 0 I.C.3.2Soitθ=Exprimer la matriceArcsin .Ten fonction deθ. 3 On oriente le planF1par la base(e1, ε1)(respectivement on oriente le planF2par la base(e2, ε2)). Prciser la nature gomtrique de l’endomorphisme deF1(respectivement deF2) induit part. k0 I.C.3.3PourkN, exprimer en fonction deθetkla matrice detrelativement À la baseB.
n1 X ikω I.C.4SoientωRetnN. On noteζn(ω) =e. k=0 Expliciterζn(ω)selon les valeurs deω. En dduire les relsωpour lesquels la suite complexe(ζn(ω))est borne. nN
n1 X 1 k I.C.5Pour toutxdeEet toutnN, on noteTn(x) =t(x). n k=0 I.C.5.1Justifier que le sous-espaceF1est stable parTn.
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I.C.5.2Soity=αe1+βε1F1. k On notet(y) =γke1+δkε1,Tn(y) =λne1+µnε1.    γkα I.C.5.2.1Dterminer la matriceVkM2(R)telle que=Vk. δkβ    λnα En dduire la matriceUnM2(R)telle que=Un. µnβ On exprimeraVken fonction deθetketUnen fonction deθetn. I.C.5.2.2Montrer que la suite(Tn(y))deEa une limite lorsquentend vers+et dterminer cette limite. nN I.C.5.3SoitxE. En crivantx=y+zavecyF1etzF2, montrer que la suite(Tn(x))a une limite lorsque nN ntend vers+et dterminer cette limite. PARTIE II Dans cette partie,Eest un espace vectoriel rel. Ètant donn un endomorphisme`deE, pour toutxdeEet toutnde n1 X 1 k N, on poseLn(x) =`(x). n k=0
II.ADans cette partieII.A, on suppose queEest un espace euclidien et que`O(E). II.A.1Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(`IdE)et Im(`IdE)sont orthogonaux. En dduire qu’ils sont supplmentaires dansE. SoitxE. D’aprs le rsultat prcdent, il existeyKer(`IdE)etzEtels quex=y+`(z) −z. k II.A.2PourkN, exprimer`(x)en fonction dey,zetk. En dduire l’expression deLn(x)en fonction dey,zetn. II.A.3Montrer que la suite(Ln(x))a une limite que l’on dterminera quandntend vers+. nN Dans la suite de la partieII, tant donn un espace vectoriel normE, on noteraB(E)l’ensemble des endomorphismes hdeE, qui vrifient , pour toutxdeE:kh(x)k ≤ kxk.
II.BDans cette partieII.B, on suppose queEest un espace euclidien. SoitfB(E). On notefl’adjoint def. II.B.1Montrer quefappartient ÀB(E). 2 II.B.2Montrer que sixEvrifief(x) =xalorskf(x) −xk ≤0. Montrer l’galit Ker(fIdE) =Ker(fIdE). II.B.3En dduire que Ker(fIdE)et Im(fIdE)sont des sous-espaces vectoriels deEsupplmentaires dansE (on pourra utiliser le rsultat suivant : pourϕendomorphisme deE, Ker(ϕ) = (Imϕ)).
II.CDans cette partieII.C, on suppose queEest un espace vectoriel norm de dimension finie. Soit`B(E). Pour tout xdeEet toutndeN, on reprend la notationLn(x)dfinie au dbut de la partieII. II.C.1On suppose quexappartient À l’intersection de Ker(`IdE)Im(`IdE). SoitydansEtel quex=`(y) −y. n PournN, exprimer`(y)en fonction dex,yetn. En dduire Ker(`IdE)et Im(`IdE)sont des sous-espaces vectoriels supplmentaires dansE. II.C.2SoitxE. Montrer que la suite(Ln(x))deEa une limite lorsquentend vers+et dterminer nN cette limite. PARTIE III Dans cette partie,Eest une espace euclidien et`O(E). Soiteun vecteur non nul deE. (x|e) Pour toutxdeE, on noteσe(x) =x2 e. 2 kek
III.1Calculerσe(e). Pourxorthogonal Àe, calculerσe(x). Montrer queσeest un automorphisme orthogonal deE. σeest donc la rflexion par rapport À l’hyperplan orthogonal(Vect(e)).
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III.2On noteW=Ker(`IdE)et on suppose queWest diffrent deE. Soituun vecteur fix deEtel queu/ W. Dans la suite, on choisite=`(u) −u. III.2.1Montrer queeest orthogonal ÀW(on pourra utiliser le rsultat deII.A.1). III.2.2Calculerσe(`(u) −u)etσe(`(u) +u). En dduireσe(`(u))etσe(u). III.2.3Montrer l’galit Vect(u, W) =Ker(σe/ellIdE). III.2.4En dduire que`peut se dcomposer en la compose deprflexions et exprimerpen fonction de k=dim(W)etn=dim(E).
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