Correction du DL n˚

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Correction du DL n˚ 17 Mines-Ponts 2000 Theoreme de Cauchy cas lineaire sans second membre Toutes les equations differentielles considerees dans ce probleme sont des equations differentielles lineaires du second ordre resolues en y” sans second membre a coefficients continus sur R . Leurs solutions sont des R solutions et le probleme de cauchy aux donnees initiales (t0, y0, y?0) admet une unique solution . En particulier la fonction nulle est la seule solution au probleme (t0, 0, 0).. Premiere partie 1 caracterisation d'une solution periodique Si f est solution de E1 et admet 2pi pour periode alors f(0) = f(2pi) et f ?(0) = f ?(2pi). Reciproquement sous cette hypothese en definissant g par g(t) = f(t+ 2 ? pi), g est solution de E1 pour le probleme de Cauchy (t = 0, f(2pi), f ?(2pi)) .E1 etant une equation differentielle lineaire resolue en y” a coefficients continus ,ce probleme admet une unique solution et donc g = f et f admet 2 ? pi pour periode 2 construction d'une solution periodique 2.1 Si f est une solution admettant 2 ? pi pour periode solution de E1 elle est de classe C∞ et verifie donc les hypotheses du theoreme de convergence normale des series de Fourier 2.2 Comme f est de classe C1 le cours donne cn(f ?) = incn(f).

  • theoremes de derivation des series

  • croissance de l'exponentielle ?

  • solution de e1

  • fixe sur les intervalles respectifs

  • application du critere des series alternees

  • unique solution

  • application du meme critere

  • rayon de convergence


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Correction du DL n˚17
Mines-Ponts 2000
TheoremedeCauchycasline´airesanssecondmembre Toutesles´equationsdi´erentiellesconside´re´esdansceproble`mesontdes´equations die´rentielleslin´eairesdusecondordrere´soluesenya`mbrendmesecosans coefficients continus sur R . Leurs solutions sont des R solutions et le probleme de 0 n . En particulier cauchyauxdonn´eesinitiales(t0, y0, y0) admet une unique solutio lafonctionnulleestlaseulesolutionauproble`me(t0,0,0). .
Premie`repartie
1
caract´erisation
dunesolutionpe´riodique
Sifest solution deE1et admet 2πapl´oerrpiooudresf(0) =f(2π) et 0 0 f(0) =f(2π). Reciproquementsouscettehypotheseend´enissantgparg(t) =f(t+ 2π), g est 0 solution deE1pour le probleme de Cauchy (t= 0, f(2π), f(2π)) .E1´etaenutn e´quationdie´rentiellelin´eairere´solueenyborpemelunitec,sientscon`acoec admet une unique solution et doncg=fetfadmet 2πdeerio´pruop
2
constructiondunesolutionpe´riodique
2.1 Sifest une solution admettant 2πe´irdoselotuoidnpourepE1elle est de classe Cconvmedeeoreuth´esdshte`yhoplcseonedierv´et´essesriamroedelegrenecn de Fourier
2.2 0 Commefest de classeC1le cours donnecn(f) =incn(fonfaqiautna`.)nEpalp 2 donccn(f”) =n cn(fuantpliqenapduiteicudocclluuaacetdenenO.e´dn) Fourierdordrendumembredegauchedele´quationque
2 n cn(f) +cn1(f) = 0
1
2.3 Par suite avecn= 0c1(f) = 0puis cn(f) = 0pour n ne´gatif. Puis pourndans c0(f) Ncn(f) =2existOn.deiune´disefqteu (n!)
+X exp(int) f(t) =c0 2 (n!) n=0
Remarque :sqnuei:surtoutdufaittiqcuieuliaefnon´crtcieopniaoirfaIlraud de´nieestbiendeclasseC2e´iredssseeded´emesdtionrivaasileltn´htseroeetinu 2 4 fonctions normalement convergentes 1/(n!) =o(1/n).
3
ine´galit´ev´eri´eeparfetf
3.1 Lase´riedeFourierdef,fesentevergtconmenemrlatnone´atsulpeD.ee´nrobt avecN(f) =supR{|f(t)|}comme f est solution deE1riellee´veN(f”) =N(f) . Lin´egalite´edesaccroissementsnisconduita`lamajorationde|C|et|D|par 2 h N(f). 2
3.2   0 0h1 2hf(t) =DC+f(t+h)f(th) par suiteh >0N(f)+N(f) avec 2h   p h1 +(2) . On conclut 2h p 0 N(f)(2)N(f)
Deuxie`mepartie
1
rayon de convergence
n n x un(x) = (1)2dere`itnednoyareundalereeri´eeseletetse´´nmrgeconvergence (n!) R=osmmnetoe´gede
2
signe de g
0 Onv´eriequelase´rieentie`rede´rive´edegde sommegconverge sur [0,2] par applicationducrit`eredesse´riesalterne´esd`eslerang0.Lesignedupremierterme 0 0 (ne´gatif)donnelesignedegsur [0,2] :g <s´ermelaiedeeˆmeD.0gconverge par applicationdumˆemecrit`erea`partirdurang1.Avecg(0) = 1 et g(2) = 12 +R1(2) avec|R1(2)|≤u2(2) = 1 ,g(2)0 , puis p p p p p 2 g= 1( (2)) (2) + +R2et( (2) |R2( (2))|≤|u3( (2)|soit 4 p p p 2 (2) |R2( (2))|≤<0,08 (en majorant (2) par 1,42 CommeR2( (2))<0 36
2
(Crite`respe´cialdesSA)onaa`nouveauparlamˆememajoration p g( (2)))>1,51,420,08 = 0 . Parde´croissancedegsurlintervalleonpeutconclurequegsannuleen p x0] (2),2] ,est positive avantx0´etntigaapveesr`.e
Troisi`emepartie
ETUDE de L’EQUATION :E2y”(t) +exp(t)y(t) =O
On note queE2´erendillelntieutensetaoie´uqneesr´ueol´einreaiyicestneoca` continus sur R .
1
ze´rosdelafonctiony
1.1 Dapre`slethe´ore`medeCauchycaslin´eairesanssecondmembrey= 0
1.2 Soitzsolution de F etyv´entH(riametcirtstisoptne[uresivα, βe´irenv.O]) z(t)0 0 ais´ement(utiliser1.1etfaireundessin)quez(α) = lim0et6= 0 et de tα tα+ 0 0 0 meˆmez(β)<0. Un calcul direct donne avecW(t) =y(t)z(t)y(t)z(t) , 0 W(t) = (exp(t)exp(a))y(t)z(t) est donc strictement positif sur ]α, β[. W est 0 0 croissante sur [α, β]) . CommeW(α) =y(α)z(α)>0 etW(β) =y(β)z(β)<0 ceciconduituneabsurdite´.Doncsur[α, βntervalled´eniposerz´uxdeair] conse´cutifsdez,ysannule. Remarque :tnpmisemelupnssepoenuriotsedematstseluse´rlzetyde signe strictxesurlesintervallesrespectifs(les´equationsdi´erentiellese´tantlin´eaires changer si besoinzenzet si besoinyeny)
1.3 Aveca=τ z(t) = sin(exp(τ /2)(tτ)) est une solution de F s’annulant enτet τ+πexp(τ /2)uxdeerz´ocsoe´snitucP.sfitearsuys’annule sur tout intervalle [τ, τ+πexp(τ /2)].
2
espacementdesze´rosdelafonctiony
2.1 0 Commeyn’est pas nulle ety(τ) = 0y(τ)6= 0.y´etantC1y est srictement monotone au voisinage deτet pour un certainc >0 non nulle sur ]τ, τ+c[. Cequijustielanotiondez´eroscons´ecutifs.
3
2.2 Avec 0<  < cSoitz(t) = sin(exp(β/2)(tβ)osre´zxuedselcevA. cons´ecutifschoisisonan´ecessairementunze´rodeydansl’intervalle semi ouvert [βπexp(β/2), βraocsnq´e[uPtn:
(βπexp(β/2))α < β < β
. En faisant tendrevers 0 ,
Quatrie`mepartie
βπexp(β/2)α < βDouat:tseluel´r
βαπexp(β/2)
1
FonctionΨ
On remarque que Ψ(t) =g(exp(t)) (g fonction de II) .
1.1 vn(t) =un(exp(t).x(−∞, a]|vn(t)|≤|un(exp(a)|eleteitsuenmrdeies´erqu num´eriqueconvergence(Rayondeconvergencepourg). Las´eriedefonctionsdetermege´n´eralvnconverge normalement donc uniform´ementsur(−∞, a].
1.2 Aveclaremarquepr´eliminaireΨestparcompositiondeclasseCavec Ψ”(t) =exp(2t)g”(exp(t)) +exp(t)g(exp(t))ceioutenda`tilosΨciuqudnoE2sur 0 R si et seulement si (x=exp(t)et xg”(x) +g(x) +g(xontivari´edraP.)0=) terme`atermedunes´erieenti`eresursonintervalledeconvergenceiciR,avecun changementdindicelere´sultatestimm´ediat.
2
Vuelaremarquetze´rodeΨSietseulementsiexp(ted.gposotifiunsterz´)e Sur[0,2]gadmetluniqueze´rox0> sqrt(2) .Par croissance de l’exponentielle Ψ ln 2 admetunpluspetitz´erot0= ln(x0)>enislesz´eroscosne´ucitsfpuS.osop´dsn 2 de Ψt0,∙ ∙ ∙, tnen ordre croissant . Par application du III 1 c et III 2 ,Ψ admet des z´erosquisontdansAn= [tn+ctn,[ .An´etoerz´itetsplunpeutsixelie´mreftna de Ψ dansAntsup´eririctemenodcnts`rueatnsoittn+1tpui.arenOnedd´ re´currencequelesze´rosdeΨconstituentunesuitemonotonecroissante.LeIII1c prouve en prenantτlimarbitrairement grand que tn= +. Enfin en reprenant n→∞ tn+tn+1mn le III 1c etmn= avecτ=mnon atn< mn< tn+1mn+πexp.( ) 2 2 tt mn n+1nmn Dou`0< tn+1tnmntn+πexp= +( ) πexp( ) Par suite 2 2 2 tn+1tnmn 0<πexp( ) 2 2
4
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