Courbure de Ricci flot et rigidite differentielle

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Courbure de Ricci : flot et rigidite differentielle Laurent Bessieres Memoire d'Habilitation a Diriger des Recherches Soutenu le 10 decembre 2010 a l'Institut Fourier devant un jury compose de ? Gerard Besson (Institut Fourier) ? Michel Boileau (Universite de Toulouse) ? Gilles Carron (Universite de Nantes) ? Zindine Djadli (Institut Fourier) ? Sylvain Maillot (Universite de Montpellier) ? Carlo Mantegazza (Scuola Normale Superiore Pisa) au vu des rapports de Bernd Ammann (Universitat Regensburg), Gilles Carron et Tobias Colding (Courant Institute)

  • infimum des vo- lumes parmi les metriques

  • courbure de ricci minoree

  • metrique de courbure constante

  • exegese des papiers de perelman

  • flot de ricci

  • preuve de la conjecture de poincare

  • maniere exemplaire par la recente preuve de la conjecture de poincare


Publié le : mercredi 1 décembre 2010
Lecture(s) : 62
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 43
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Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois
M´emoirepre´sente´par MICHAELERMSEINAN pour obtenir L'HABILITATION ADIRIGER DESRESECHERCH ´ ialite´ spec M ´QUE ATHEMATI
Soutenuele14de´cembre2007al'InstitutFourierdevantlejurycompose´de Thomas FIEDLER(Toulouse) Nathan HAGGEBRE(Nantes) Michael HEUSENER(Clermont-Ferrand) Pierre VOGEL(Paris VII) Louis FUNAR(Grenoble) Christine LESCOP(Grenoble) Vlad SERGIESCU(Grenoble) Au vu des rapports de Thomas FIEDLER, Colin ROURKE, et Pierre VOGEL.
Andrea,
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Hannah
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´ EminentsAcad´emiciens, Vous me faites l'honneur de me demander de fournir a l'Acade´mie un rapport sur mon passe´ gordien. d'apres Franz Kafka (1883-1924), Rapport pour une acade´mie
Remerciements
Quand je suis arrive´ de´but septembre chez le president de la commission d'habili-´ tation,MichelBrion,pourdiscuterdemonprojetd'habilitationavantlandel'ann´ee, Michel m'a convaincu que ce serait un de´ sportif, d'abord p our moi, mais plus encore pour les rapporteurs. Je remercie d'autant plus sincerement Thomas Fiedler, Colin Rourke, etPierreVogeld'avoiraccept´eetassume´cetravail. J'´etendsmesremerciementsatouslesmembresdujurydem'avoirfaitl'honneurde leur participation a ma soutenance, malgre´ de multiples contraintes. ´ Durant mes premieres anne´es en France,Etienne Ghys a Lyon puis Christine Lescop etVladSergiescuaGrenoblem'ontparticulierementsouetnuetencourag´e,etjeleuren suis tres reconnaissant. Jeremercie´egalementChristophLammpournotrecoop´erationquiatenusilongtemps bienquenousnoussoyonse´loigne´sg´eographiquementetprofessionnellement. Quantal'´eternelleaventurelinguistique,enexag´erantunecitationdeWeyl[96] je dirais :writing the yoke of two foreign tongues that wereThe gods have imposed upon my not sung at my cradle.emcsehsrrgaˆecatirc'estam'ensorue´rissiSia'jsaiugelloc¸cnarfse qui m'ont tout appris. Sylvain Gallot, Christine Lescop, et Alexis Marin m'ont patiemment expliqu´edesnessesdelalanguefranc¸aise,quiestlaleur.Lesbizarreriessubsistantessont de ma propre fabrication artisanale. Ainsi je conclus par l'expression de mon profond sentiment d e soulagement. —
Dansl'ensemble,jesuisarrive´acequejevoulaisobteni.r Quel'onnedisepasquecen'´etaitpaslapeine.
Table des matieres
Remerciements Introduction 1.Unbrefaper¸cuhistorique 2. Topologie classique vs quantique 3.L'organisationdecem´emoire Publications 1. Publications issues de la these 2. Articles poste´rieurs a la these 3. Articles soumis 4. Vulgarisation ChapitreI.Invariantsdetypenietvari´ete´sexotiques 1.Nœudsetcompl´etionparhomotopie 2. Varie´te´s exotiques 3. La question de la torsion ´ 4. Etude des nœuds locaux 5. Quelques perspectives Chapitre II. The´orie des quandles 1.D´enitionetpremiersexemples 2. Ope´rateurs de Yang-Baxter 3. Correspondance de Galois 4. Quelques perspectives ChapitreIII.Entrelacsrubansetunionssym´etriques 1. Le polyn ˆome de Jones des entrelacs rubans 2. Unions symetriques ´ Bibliographie
v
iii vii vii vii viii ix ix ix ix ix 1 2 4 6 8 11 13 13 14 18 21 23 23 27 31
Introduction
The golden age of mathematics — that was not the age of Euclid, it is ours. Cassius J. Keyser (1862-1947)
1. Un bref aperc¸u historique Lafascinationdel'hommepourlesnœudsaunelonguehistoiremaisleur´etudemathe´-matique est relativement re´cente. Ses de´buts remontent au temps de Gauss, qui conside´ra des entrelacs dans ses travaux sur l'e´lectromagne´tisme, et qui donna une formule analy-tiquepourlenombred'enlacement.Ilregardaaussidestresses,parcuriosit´eintellectuelle semble-t-il, mais aussi en tant que description pratique d' entrelacs.1L'e´tude des nœuds fut continu´ee,entreautre,parson´eleveListing,aquionoditl'inventiondumot«topologie». Lespremierestentativesdeclassicationfurententrepisrespardesphysicienscomme Helmholtz,Maxwell,Kelvin,etTait.Cestravaux´etaientcombinatoiresetplutˆotempi-riques, culminant dans la compilation par Tait et Little d'u ne longue table de diagrammes. Abasedecesexp´eriences,Taitformulatroisconjecturesquidevinrentc´elebres,maisle manqued'outilsad´equatsrendittouttraitementthe´oriquequasiimpossible.2 Aude´butdu20esiecle,l'apparitiondelatopologiealg´ebriquefournissaitjustement detelsoutils,etpermettaitlespremieresapplicationsalath´eoriedesnœuds.Dansles anne´es suivantes les outils alge´briques et ge´ome´triques en rent un domaine hautement de´veloppe´, par Wirtinger, Dehn, Alexander, Artin, Reidemeister, Seifert, van Kampen, Whitehead, Fox, et bien d'autres. Les techniques et invaria nts de la topologie alge´brique, commelegroupefondamental,lepolynˆomed'Alexander,etleursrafnementsing´enieux, dominerentalorslathe´oriedesnœudsjusqu'aude´butdesann´ees1980. En 1984 Jones de´couvrit son invariant polynomial, qui ne ressemblait a aucun concept connuauparavant.Enquelquesann´eescettede´couverteaprovoqu´el'inventiondenom-breux autres invariants polynomiaux et des invariants dits quantiques, issus des repre´senta-tions du groupe des tresses et souvent inspire´s par des analogies avec la physique the´orique. La notion des invariants de type ni, dont on parlera plus loin, donne un cadre commun atouscesnouveauxinvariants.UndesplusbeauxsuccesdupolynˆomedeJonesestla re´solutiondesconjecturesdeTait,formule´esunsiecleplustˆot.3 2. Topologie classique vs quantique L'esquisse historique et la pratique actuelle suggerent de mettre en opposition les ap-proches«classique»et«quantique», ce qui explique le titre un peu e´nigmatique de ce m´emoire.(Enreprenantcestermessimplicateursjefrˆolelapol´emique,certes,maisc'est pour une bonne cause.) 1erse´eArptsurprenxionilesueds´dixqtnaeceuoutturjosseeenoictuasd'aeaujlit´h'iuuodrqn'ub,eiuna niveaupluspousse´:d'uncote´lesinvariantsdetypeni,pre´sente´sanalytiquementparl'int´egraledeKontsevich, del'autrecote´lathe´oriedugroupedestresses,sesrepr´esentations,etlesinvariantsquantiquesquiend´ecoulent. 2Pour une presentation plus complete voir Moritz Epple,Die Entstehung der Knotentheorie, Vieweg, ´ Braunschweig,1999.AndrewRanickiarassemble´plusieurstextessurl'histoiredelath´eoriedesnœudseten particulierunebellecollectiondesourcesnum´eris´ees;voirukc..aedknr/aa/~ww//:ptt.shtam.whots/. 3 les invariants polynomiaux ont trouve´ maintes autres applications a la the´orie des nœuds etBien s ˆur, des3-varie´t´es.L'histoirenes'arreˆtepasla:plusre´cemmentlanotiondecat´egoricationad´egag´edesaspects inattendusdupolynˆomedeJones.Ced´eveloppementfascinantade´jafaitsespremierespreuves,maisonn'en parlera pas ici. Je ne parlerai pas non plus de la ge´ome´trie en dimension 3 et de la conjecture du volume qui a suscite´d'intensesrecherchesautourdupolynoˆmedeJones.Quelesexpertsmepardonnenttoutescesomissions. vii
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