Cours de Francis Clarke

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Niveau: Supérieur, Master
Analyse Master 1 Cours de Francis Clarke (2011)

  • voisinage ouvert

  • applications lineaires

  • espace norme

  • proprietes de base

  • b?

  • base vecto- riel

  • boules fermees


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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Analyse
Cours
de
Master
Francis
Clarke
1
(2011)
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Chapitre 1
Espaces norme´s
1.1 Proprie´ te´ s de base
Dans ce chapitre,Xerssigneuned´eirotuslecapscevescdeaialecrlpsorR. Unenorme ￿￿surXest une fonction surXa` valeurs dansR+:= [0,+[qui satisfait 1.￿x￿= 0si et seulement six= 0; 2.￿x+x￿￿ ≤ ￿x￿+￿x￿￿ ∀x, x￿X(ine´galite´ du triangle) ; 3.￿tx￿=|t|￿x￿ ∀tR, xX´t)e´nie.og´e(hom L’espaceXupcoleme´elent´rpssiceo,ulpu(X,￿￿), est alors unrm´eespaceno. Lesboules ferme´es et ouvertes sont les ensembles B(x, r) :={x￿X:￿x￿x￿ ≤r}, B(x, r) :={x￿X:￿x￿x￿< r}. On e´crit souventBpour la boule unite´ ferme´eB(0,1), etBpour la boule unit ´e ouverte B(0,1). PourAune partie dansX, on e´crit￿A￿:= supxA￿x￿. La partieAest diteee´nrob lorsque￿A￿<+. SiAetCsont des parties dansXettR, alorsA+CettAsont respectivement les ensembles{a+c:aA, cC}et{ta:aA}. On a doncB(x, r) ={x}+rB; on admet l’e´critureB(x, r) =x+rB. On remarque queA+Clnuedsestouvertd`esque ensembles est ouvert. Nous examinons maintenant quelques aspects topologiques des espaces norm e´s. (Un documentannexere´sumelaterminologieetdonneunsommairedesr´esultatsdebase entopologieg´ene´raleauxquelsnousferonsappel.) La norme induit une distanced(x, x￿) :=￿xx￿￿surX, qui est en conse´quent un es-pacem´etrique,dot´edunetopologiepourlaquelleunebaseestfournieparlesboules B(x, r), xX, r >0.
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Cours de Francis Clarke : Espaces norme´s
Lafonction distancedAa`nu´ieeitneperassocadevionAdansXest de´finie par infxa￿. dA(x) :=aA￿ QuandA pointest un f ´xtraptnei`apaAssidA(x) = 0. erme, un Deux normes￿￿1et￿￿2sur un espaceXsont ditesesntelaviuqe´s’il existec, dtels que ￿x￿1c￿x￿2,￿x￿2d￿x￿1xX. Nous remarquons que des normes surXqu´entsoteenalivelleisssesiudnismˆemntlae topologie surX. 1.1 Exercice SoitXetYedsexuesm´es,lcepaorsnattnon´tonmrsee´ees￿￿Xet￿￿Yrespective-ment.Alorsleproduitcart´esienZ:=X×Y qui admet comme ´eest un espace norm norme les possibilite´s suivantes (entre autres) : ￿(x, y)￿1:=￿x￿X+￿y￿Y,￿(x, y)￿2:=￿￿x￿2X+￿y￿2Y1/2 ￿(x, y)￿:= max{￿x￿X,￿y￿Y},￿(x, y)￿p:=￿￿x￿Xp+￿y￿p1/p Y, o`u1p <+ivqu´entsoesrmnosetnere´ffidseC.laneet.s Sauf avis contraire, la norme utilis e´e surRneumeidclaleroransnoe,nnieeet´| ∙ |: |x|:=i=n1|xi|21/2xRn.
Applicationslin´eaires PourXetYdes espaces vectoriels, on noteL(X, Y)l’espace vectoriel des applications line´aires deXenY. On note sans preuve le resultat suivant : ´ 1.2 Proposition SoitΛL(X, Y)uo`,X,Ycaseonmrtsnedespsaeleonrtsr´eeleq´ueisv.aIlleynacso trois assertions suivantes : 1.Λest continue ; 2.Λest continue a` l’origine ; 3.Λofmrutinseuoevtreganisiovtuotruo:pueinntcontme´eVde l’origine dansY, il existe un voisinage ouvertUde l’origine dansXtel que pour toutx, x￿x+U=Λ(x￿)Λ(x) +V;
1.1 Proprie´te´s de base
4. Il existeM0tel que￿Λx￿YM￿x￿XxX. Lese´l´ementsdeL(X, Y)sont parfois appele´s deserp´euatrso,eestle´´lmenestedL(X,R) desformeslin´eseria. 1.3 Exercice SoitΛrlesurine´naeviainortunlimeorefX. Prouver queΛ(V)est ouvert dansR quandVest un ouvert dansX. PourXetYcaseonmredespstenoons,´eLc(X, Y)l’espace vectoriel des applications line´aires etcontinuesdeXenYA.otl´emut´eentΛdeL(X, Y)sanoqaleicos´eitntua ￿Λ￿=￿Λ￿L(X,Y):= sup￿Λx￿Y, xX,xX1 la´poetareruenormdeΛ, qui est finie si et seulement siΛLc(X, Y)(cela suit de la proposition 1.2). 1.4 Exercice SoitΛL(X, Y)u,o`X,Ysont des espaces norme´s. Montrer que ￿Λ￿=xX,suxpX=1￿Λx￿Y= sup￿Λx￿Y= sup0￿￿Λxx￿￿YX. xX,xX<1xX, x= 1.5 De´finition Uneisometriecepaorsnesm´tneedersexuXetYin´eaireseutenibejtcoilnT:XY ´ telle que￿T x￿Y=￿x￿XxX. Onremarquequuneisom´etrieTest continue, et queT1l’est aussi. Lorsque deux es-pacesnorm´essontisome´triques,onpeutdirequelesdeuxespacessontidentiquesen tant qu’ensemble, en tant qu’espace vectoriel, en tant qu’espace topologique, et en tant q´,quitte`achangerles´etiquettesqueportentlespoints. u espace norme On montre maintenant queRnest￿le seulespace vectoriel norme de dimensionn. ´ 1.6The´or`eme SiXest un espace norme´ de dimension finiennorme´eqxisteunelaroisel,rusetnelaviu l’espaceXqui le rend isome´trique a`Rn(muni de la norme| ∙ |). D´emonstration(esquisse)ceotirleth`ese,lespacevraPopyhXadmet une base vecto-riel (c-a` -d, alge´brique) den´eentsl´em{e1, e2, . . . , en}. ChaquexXutendaemn-´eserepr tation uniquex=1nλieioodrno´nicnestc(ees)pfoescintaerrcouλi. Alors la for-mule T x:=λ= (λ1,λ2, . . . ,λn)Rn d´finit une bijection line´aire deXdansRn. On pose￿x￿￿:=|λ|, et on observe que ceci est e une norme par rapport a` laquelleTerrtnomederulcnocrsteeiunm´soirtelI.efusuopt
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CoursdeFrancisClarke:Espacesnorm´es
que la norme￿￿￿´tseiuqeelav`etnanalmeorigorelinelusrXL.i´ngelait´e￿x￿ ≤c￿x￿￿ (pour un certainc, pour toutxri´eeeire´ves)epret;unemenais´drvebausralvupe quunetellein´egalite´ausenscontrairealieu. ￿
Corollaire :Toute norme surRnest e´quivalente `a la norme euclidienne. 1.7 Exercice SoitXun espace norme´, et soitLun sous-espace deXde dimension finie. AlorsL est f ´ erme. Ler´esultatsuivantexpliqueengrandepartielede´delanalysedanslesespacesde dimension infinie. 1.8Th´`eme eor La boule unit ´e ferme´e d’un espace norme´Xest compacte ssiXest de dimension finie. D´emonstrationSiXest de dimension finien, alorsXeairuq´mteitosesRn, par le ` th´eor`eme1.6.MaislabouledeRnetuneisom´etrieevniolebauoela`alctseapmo,etc boule. Il suit que la boule deXest compacte. Pour prouver la re´ciproque, supposons queXsoit de dimension infinie. Il existe alors une suiteMnde sous-espaces (vectoriels, sous-entendu) de dimension finie (donc ferm e´s dapr`eslexercice1.7)telsqueMn1￿Mn. En invoquant le lemme ci-dessous, on construit une suite(xn)avecxnMn,￿xn￿= 1, etdMn1(xn)1/2. Il suit￿xnxm￿ ≥ 1/2pourm < n. Donc la suite(xn)n’admet aucune sous-suite convergente, ce qui prouve que la boule n’est pas compacte. LemmeSoientXun espace norm ´e etMun sous-espace ferme´,M=X. Alors pour tout￿>0il existexXavec￿x￿= 1tel quedM(x)1￿. Pour de´montrer le lemme, on prendvX\M; on a alorsd:=dM(v)>0, puisqueM est ferme´. On choisitm0Mtel que d≤ ￿vm0￿ ≤d 1￿, et on pose vm0 x:=vm0￿. ￿ Alorsxre´pond a` la question, car simMon a ￿xm￿=vm0m=￿v(m0+￿vm0￿m)￿ ￿vm0￿￿vm0￿￿vmd0￿1￿ puisquem0+￿vm0￿mM.
1.1 Proprie´tes de base ´
￿
Corollaire :evtcroeinlro´meesUncepaXadmet un compact d’int e´rieur non vide ssiXest de dimension finie.
Exemple : Espaces de suites 1.9D´enition Pour une suitex= (xi) = (x1, x2, . . .)de re´els, et pour1p <+, on note ￿(xi)￿p=￿x￿p:=i1|xi1/p. |p L’ensembleLp(N,R)de toutes les suitesxtelle que￿x￿p<+, le plus souvent note´p, est un espace vectoriel norm e´ par￿￿p(voir ci-dessous). L’espace de toutes les suites born´eesestnot´e; il est muni de la norme￿x￿:= supi1|xi|. On pose c:={x= (x1, x2, . . . lim) :xiexiste}, c0:={x= (x1, x2, . . .) : limxi= 0}, muni dans les deux cas avec la norme dedes suites dont tous les termes. L’espace sauf un nombre fini sont0(muni e´galement de￿￿´te)enostc. On voit facilement que tous ces espaces vectoriels sont de dimension infinie. Pour1p+, on de´signe parp￿gu´uesantconjlexpodep, le nombre tel que 1 1 +￿= 1 p p (on prendp￿= +lorsquep= 1, et vice versa). Lin´egalite´deHo¨lderaffirme que si(ai)et(bi)sont des suites, alors ￿(aibi)￿1≤ ￿(ai)￿p￿(bi)￿p. 1.10 Proposition Soit1p+. Alorspest un espace vectoriel et￿￿pest une norme surp. D´emonstration(esquisse)Les casp= 1, p= +osvident´ePournts.1< p <+, l’ine´galite´(a+b)p2p(ap+bp) (a, b0)implique quepest stable sous l’addition. Line´galite´dutrianglesev´eriea`laidedelarelation |xi+x￿i|p|xi+x￿i|p1|xi|+|xi+x￿i|p1|x￿i|.
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