Cours de Francis Clarke

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Niveau: Supérieur, Master
Analyse Master 1 Cours de Francis Clarke (2011) Rappels en topologie 1. Un ordre sur un ensemble non vide P est une relation qui satisfait (a) x x ? x ? P. (b) x y et y x =? x = y. (c) x y et y z =? x z. On dit alors que (P,) est un ensemble ordonne. Si P est ordonne et Q ? P , alors Q est aussi ordonne par restriction de l'ordre. On dit que Q est totalement ordonne si tous ses elements sont comparables ; c-a-d : ? x, y ? Q, on a x y ou y x. Soit (P,) un ensemble ordonne et Q ? P . Un element m ? P est dit un majorant de Q lorsque q m ? q ? Q. L'ensemble ordonne (P,) est inductif si toute partie non vide Q ? P totalement ordonnee admet un majorant m ? P . M ? P est un element maximal de P si x ? P,M x =? x = M . Le Lemme de Zorn a?rme que tout ensemble ordonne inductif (P,) admet un element maximal. 2. Soit X un ensemble et ? une collection de parties de X. On dit que ? est une topologie sur X si : (a) ? ? ? et X ? ? ; (b) ? est stable par rapport aux intersections finies : Oi ? ? (i = 1, .

  • projections continue

  • espaces topologiques

  • rappels de topologie

  • famille d'espaces topologiques

  • fini d'indices

  • oi ?

  • ??a

  • sequentiellement compact

  • base denombrable

  • collection finie de boules de rayon


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Analyse Master 1
Cours de Francis Clarke (2011)
Rappels en topologie
1. Unordre sur un ensemble non videPontila´enureets￿qui satisfait (a)x￿xxP. (b)x￿yety￿x=x=y. (c)x￿yety￿z=x￿z. On dit alors que (P,￿.eiSno´noedrnsneblem)tuesPetsetnn´eordoQP, alors Qeuqtdeonorle.drdiOnodroissuatsetiictresrrpa´ennQestatotemelntordonn´esi tousses´ele´mentssontcomparables;c-a`-d:x, yQ, on ax￿youy￿x. Soit (P,￿esbmnuneodnnelrotee´)QPe´nUme´lten.mPest dit unmajorantde Qlorsqueq￿mqQLensemb.(e´nnodroelP,￿) estinductifsi toute partie non videQPraddomneenn´teoeaajloermtutnomtnatmP. MPest unntme´eellmaxima´dePsixP, M￿x=x=M. LeLemme de Zornaorlenndoin´ectdu(fimrqeeuottuneesbmP,￿net´lmea)temde´nu maximal. 2. SoitXun ensemble etτune collection de parties deX. On dit queτest unetopologie surXsi : (a)∅ ∈τetXτ; (b)τest stable par rapport aux intersections finies : n ￿ Oiτ(i= 1, . . . , n) =Oiτ; i=1 (c)τsestperaatlbasnotibrriar:sepprataorr´uxnieu Oγτ(γΓ) =Oγτ. γΓ Les sous-ensembles deXanetrappa`antτsont lesouvertsde la topologie, et le couple (X,τ) forme unespace topologique. Toute partieAdeXadmet un ouvert maximalO compris dansA; cet ouvert estni´treeiurldeAtnes´eottniil;AouA. 1
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3. Soient(X,τespace topologique et) unFune partie dansX. On dit queFeste´ferm siX\Fappaeitri(tr,.e.`anteuoevtsnuτ). Alors toute partieAdeXamdteunferm´e minimalFqui inclutArefec;lasteem´fermeturedeA´tetsoni;elA. 4. Soient (X,τ) un espace topologique etVune partie dansX. On dit queVest un voisinaged’un pointxsi il existe un ouvertOtel quexOV. Le pointxest adhe´rent`enuaetirapEsi tout voisinage dexcontient un point deE. On dit qu’un pointxest une´vhareneecelruddad’une suite{xn}si pour tout voisinageVdexil existe des indicesiarbitrairement grands tels quexiV. (a)Lensembledespointsadhe´rents`aE(re´hecneadldeEeeadh,´tonE) coincide avec la fermeture deE: adhE=E. (b) SoientE´m,eerefblemnsneu{xn}une suite dansE, etxnereecdru´hdavaleune de cette suite. AlorsxE. 5. Soient(X,τ) un espace topologique etBune collection d’ouverts dansX. On dit que Best unebase d’ouvertsde la topologieτsi pour tout ouvertOdansXet tout point xOe´le´nuetsixeliemtnBBtel quexBO. (a) UnecollectionBde parties deXforme une base d’ouverts d’une topologieτsur Xsi et seulement si chaque pointxXnptpmeant´`eaun´teiealrBdeB, et chaque fois qu’un pointxappartietna`B1B2(`ouB1, B2B), il existeB3B tel quexB3B1B2ieenologatop.Lapr´reeegdnBconsiste alors de toutes lesre´unionsdepartiessetrouvantdansB. (b) SoitCune collection de parties deX. SoitBla collection consistant deXainsi que toutes les intersections finies d’ensembles dansC. AlorsBest une base d’ouverts pour la plus faible topologie qui contientC. (Cest alors unesous-basepour la topologie.) 6. Soit(X,τ) un espace topologique etxun point dansX. Une collectionBxd’ouverts contenantxforme unebase localeenxsi pour chaque ouvertOqui contientxil existe BBxtel quexBO. La topologie est diteolbaded´selecantmeelmonebarbsi chaquepointadmetunebaselocalede´nombrable.Elleestditelbeedasebdrambno´e sielleadmetunebasedouvertsd´enombrable.Onditque(X,τ) estarlbespa´esiX contientunensembled´enombrabledensetseeage´a`el(.i.e,dontladh´erencX). (a)Toutespaceme´trisableestlocalementdebasede´nombrable. (b)Unespacedebasede´nombrableests´eparable. (c)Unespaceme´triqueestdebasede´nombrablesietseulementsiilestse´parable. (d) SiXebtdenemaloctles,elbarbmone´desarolasxEsi et seulement si il existe une suite dansEqui converge versx.)aler.(Ceuaftseic´ne´gnex (e) SiXmbra´enoalorble,menecolasadedtbetlessxdecenu´hdanerelevaduresnetu suite{xn}si et seulement si il existe une sous-suite qui converge versx.
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7. Unefonctionf:XY(`ouXetYsont des espaces topologiques) est ditecontinue enxXsi pour tout ouvertOcontenantf(x) il existe un ouvertUcontenantxtel quef(U)O. La fonctionfest dite continue surXsi elle est continue en chaque point deX. 1 (a)fest continue si et seulement sif[O] est un ouvert dansXpour tout ouvertO dansY. 1 (b)fest continue si et seulement sif[Fadsn]estnuefmre´Xem´puoourtertfF dansY. (c)fest continue si et seulement sif(A)f(A) pour tout ensembleAX. 1 (d) Sifoemoe´mohnutseihpr(ems.e.ienu,jebiioctelntqulefetfsoient conti-nues), alors f(A) =f(A), f(intA) = intf(A) pour tout ensembleAX.
1 (e)fest continue si et seulement sif[O] est un ouvert dansXpour tout ouvertO dans une base d’ouverts de la topologie deY. (f) SoientBxune base locale enxetCyune base locale eny:=f(x).Alorsfest continue enxsi et seulement si pour toutCCyil existeBBxtel que 1 Bf[C]. 8. [Topologie faible] SoitF={fα:XYα}αAune collection de fonctions sur un ensembleXo,s(le`uYα,τα) sont des espaces topologiques. Latopologie faibleinduite par la collectionFest la plus petite topologie surXqui rend continue chaque fonction fαt´eestnolleee;σ(X,F). (a) Une base pour la topologieσ(X,F) consiste de toute intersection finie des en-sembles 1 f(Oα) [αA,Oατα]. α (b) SichaqueYαco¨ıncide avecR, une base pourσ(X,F)edoster-tuottniee´nnrape section finie des ensembles ￿ ￿ V(x, fα, r) :={xX:|fα(x)fα(x)|< r}[xX,αA, r>0]. (c) SoientZun espace topologique etg:ZXune fonction,Xetan´aledinumt topologieσ(X,F). Alorsgest continue si et seulement sifαgest continue pour toutα. (d) Unesuite{xn}dansXconverge versxpour la topologieσ(X,F) si et seulement sifα(xn) converge versfα(x) pour chaqueαdansA. (Ceci motive la terminologie topologie de la convergence simple.)
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9. Soitfspnerusuueiqerm´A.euqigolopotecalorscnitnounuenoffest continue si et seulement si tous les ensembles de la forme{x:f(x)> a}et{x:f(x)< a}sont ouverts. 10. Soit{fn}une suite de fonctions continues appliquant un espace topologique dans un espacem´etrique.Silasuiteconvergeuniform´ementversunefonctionf, alorsfest continue. 11. Unespace topologiqueXest ditcompactsi tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini. (Attention:rtcensaiysininpantdacluerudsuaetreatucntacmpcoe´dalsnednoitin laconditionquelespacesoitse´pare´;voirci-dessous.) Un espace topologiqueXest ditbromleabend´tcatnempmocsi tout recouvrement ouvert de´nombrableadmetunsous-recouvrementni.OnditqueXopssale`ed´et´oprirpede Bolzano-Weierstrasssi toute suite dansXmdteuaomniuspniontdadh´erence.Ona dit que l’espace topologiqueXest´stcapmotcenemllientueeqsi toute suite dansX admet une sous-suite qui converge vers une limite dansX. (a)XsinteisssartemeluestlzandeBoierso-Wepaordeletee´rp´ip`ssoXsteb-omend´ rablement compact. (b)Unespaces´equentiellementcompactestd´enombrablementcompact,etunes-pacequiestd´enombrablementcompactetlocalementdebased´enombrableest se´quentiellementcompact. (c)Dansunespaceme´trique,lesnotionsdecompacit´e,decompacit´ese´quentielleet decompacite´de´nombrablecoincident. (d)Unespaceme´triquequiestcompactests´eparable. 12. Unespace topologique estspa´eer´(oude hausdor) lorsque deux points distincts quel-conquesposs`edentdesvoisinagesdisjoints. (a)Unepartieferm´eedansunespacecompactestcompact. (b)Unepartiecompactdansunespaces´epar´eestferme´. (c) L’imagecontinue d’un compact est compact. (d)Unebijectioncontinueduncompactdansunespaces´epar´eestunhom´eomor-phisme. (e) Soit(X,τopoliguqsee´ap´r)unespacetoigelopotoreuteauttosrolA.tcapmoctee surXstrictement plus fine n’est pas compact, et toute autre topologie strictement moinsnenestpass´epar´e. 13.Unespacem´etriqueXestrnbontme´eatelotsi pour chaque￿>0 il existe une collection finie de boules de rayon￿qui recouvreXtetcismoaps.eUctpsenmecarte´euqi seulementsiilestcompletettotalementborne´.
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